22.2.1配方法（第一课时）(人教版)

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
学科：数学
学段：初中
教材版本：人民教育出版社
年级：九年级
课题：第二十二章 一元二次方程 22.2.1配方法
作者：海南省琼海市嘉积中学海桂学校 周兵
教学设计：
22.2.1配方法
（第一课时）
一、教学目标
1、运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2、会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程.
3、能够建立一元二次方程刻画现实世界中的数量关系,增强应用数学知识的意识和能力.
4、体会转化的数学思想.
二、教学设想
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学设想，结合一些实际问题展开，重点讨论配方法解一元二次方程。教学中，应注意循序渐进地让学生掌握直接开平方的做法，并且理解开方是“降次”，即将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
三、教材分析
本节教材在第一节的基础上，首先通过一个实际问题，进一步引出一元二次方程的应用的具体例子，然后再引导学生得出的这个方程的具体的解。直接开平方法是解一元二次方程的一种常用的方法，也是为后面学习其它一元二次方程的解法作好铺垫。
四、重点难点
重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，领会降次──转化的数学思想．
难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
五、教学方法
引导学习法
六、教具准备
多媒体课件
七、教学过程
【引入】
市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
建立一元二次方程模型解决实际问题：
回顾以前学习过的列一元一次方程解应用题的方法与步骤.你能说说如何列一元二次方程解应用题吗 与同伴交流自己的想法.
列一元二次方程解应用题步骤:
(1)审题:弄清题意,找出已知量和未知量,并分清数量关系,明确所求的量.
(2)设出未知数,根据题意,设出合适的未知数,根据所设未知数,列出有关的代数式.
(3)分析等量关系:即找到能反映全部意义的相等关系.
(4)列方程:根据等量关系列出方程。
(5)解方程
(6)检验:检验所求得的解是否符合题意,正确取舍。
(7)写出答案
在解一元一次方程时,只要题目,方程及解法正确,那么得出的根便是所列方程的根,一般也就是所解应用题的解,而一元二次方程有两个根,这些根虽然满足所列一元二次方程,但未必符合题意,因此在解完一元二次方程之后,要按题意检验这些根是否符合实际问题,作出正确取舍.
【知识探究1】
你能解下列方程吗 并结合自己解方程的过程与结果探索方程的解的情况.
① ② ③
(①;②;③无实根)
【知识互动】
直接开平方法解一元二次方程：
对于形如x2=m或(ax+n)2=m(a≠0,m≥0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用直接开平方法求解.
X2=m的解为x=,即
(ax+n)2=m转化为ax+n=,即ax+n=,或ax+n=-,这两个一元一次方程来解.
因为负数没有平方根,所以当m<0时,x2=m或(ax+n)2=m无解
运用配方法解一元二次方程：
通过配方的方法把一元二次方程转化成形如(ax+b)2=m的形式,再运用直接开平方的方法求解.
用配方法解一元二次方程的步骤如下:
(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边.
(2)根据等式的性质把二次项的系数化为1.
(3)把方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成一个完全平方式.
这时,方程右边如果是一个非负数,就可直接用开平方的方法求出它的解,如果方程右边是负数,则这个方程无解.
用配方法解一元二次方程比较麻烦,在解一元二次方程时一般不用配方法,这是为公式法作准备的一种方法.但在今后的学习中,配方法经常用到,因而必须正确掌握配方法的方法.
【知识探究2】
例1.解下列方程:(1)4(2x-1)2-9=0 (2)9(3x-2)2=(1-2x)2
分 析：
(1)方程可化为,直接开平方法即可求解.
(2)中方程可化为[3(3x-2)]2=(1-2x)2因而方程化转化为3(3x-2)=1-2x或3(3x-2)+(1-2x)=0两个一元一次方程求解.
解(1)原方程化为 ,
开平方得:2x-1=±,
即2x-1=或2x-1=-,
所以:.
(2)原方程化为: [3(3x-2)]2=(1-2x)2
所以:3(3x-2)=1-2x或3(3x-2)+(1-2x)=0
所以.
思路探究：
形如(ax+b)2=c形的一元二次方程用直接开平方法解较简单.注意两边开平方时不要漏掉负号的情况.
例2.阅读材料解答问题
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0我们可以将x2-1视为一个整体,设x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程化为y2-5y+4=0(1)解得y1=4,y2=1
当y=4时,x2-1=4, ∴x2=5 , ∴.
当y=1时,x2-1=1, ∴x2=2, ∴x=.
∴原方程的解为:.
解答问题:
(1)填空:在由原方程得到方程(1)的过程 ,利用 方法达到降次的目地,体现了 的数学思想.
(2)解方程:x4-x2-6=0
分 析：阅读理解,并运用材料中所反映的方法,结论解决问题,这是近年中考中热点题型,解答此例问题的关键是弄懂材料内容.发现材料所揭示的方法或结论.
解(1)换元, 转化, (2)设x2=y,则此方程化为:y2-y-6=0 解得:y1=3,y2=-2
又∵x2≥0 ∴y=3 , 即x2=3 . ∴. ∴原方程的根是x1=3, x2=-.
思路探究：换元,转化的数学思想方法在很多时候是我们解决问题的有效途径.
【达标训练】
1.方程的解是
A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6
2.解方程:的解为
A.x1=2 x2=-2 B.
C.x1=4 x2=-4 D.此方程无实根
3.关于x的一元二次方程有一根为-1,则m的值应为
A.1,-1 B.-1 C.1 D.
4.方程的根是
A. B.
C. D.
5.将方程化为二次项系数为1的一般形式是
A. B.
C. D.
6．完成课本第36页练习，解下列方程：
【小结】
1、用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2、用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程.
3、体会转化的数学思想.
【作业】
习题22.2第1题
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网