九年级数学上册试题 24.5相似三角形的性质-沪教版（含解析）

24.5相似三角形的性质
一、选择题．
1．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
2．已知△ABC与△DEF相似，又∠A＝40°，∠B＝60°，那么∠D不可能是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
3．如果两个相似三角形对应角平分线之比是2：3，那么它们的对应边之比是（　　）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．：
4．如果两个相似三角形对应边之比是1：2，那么它们的对应高之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：6 D．1：8
5．如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（　　）
A． B．
C．AD AB＝DE BC D．AD AC＝AB AE
6．已知△ABC的三边长为4cm、5cm、6cm，△DEF的一边长为2cm，若两个三角形相似，则△DEF的另两边长不可能是（　　）
A．2.5cm，3cm B．1.6cm，2.4cm
C．cm，cm D．1.6cm，2.5cm
7．在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（　　）
A．AB2＝BE BC B．CD AB＝AD AC
C．AE2＝CD BE D．AB AC＝BE CD
10．如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，如果△DEM与△ABC相似（点D和A对应，点E和B对应），那么点M应是F、G、H、K四点中的（　　）
A．F B．G C．H D．K
二、填空题
11．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为　 　．
12．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应角平分线的比为　 　．
13．如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为　 　．
14．已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为　 　．
15．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE＝　 　．
16．有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为　 　．
17．如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是　 　．
18．已知△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，若△DEF 的面积为36，则△ABC的面积等于　 　．
三、解答题
19．两个相似三角形对应边的比是2：3．它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．
20．在平面直角坐标系中，四边形AOBC的顶点O是坐标原点，点B在x轴的负半轴上，且CB⊥x轴，点A的坐标为（0，6），在OB边上有一点P，满足AP＝3．
（1）求P点的坐标；
（2）如果△AOP与△APC相似，且∠PAC＝90°，求点C的坐标．
21．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是它们的中线，求证：AD：A′D′＝AB：A′B′．
22．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，ADcm，AFcm．
（1）求DE的长；
（2）求 ABCD的面积．
23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
24．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
答案
一、选择题．
1．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．
【解析】∵两个相似三角形对应边的比为1：4，
∴它们的周长比是：1：4．
故选：B．
2．
【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．
【解析】∵△ABC∽△DEF，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠A＝∠D＝40°或∠B＝∠D＝60°或∠C＝∠D＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
故选：D．
3．
【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．
【解析】∵相似三角形对应角平分线的比是2：3，
∴它们的相似比为2：3，
故选：A．
4．
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比解答．
【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1：2，
∴它们的对应高之比是1：2，
故选：A．
5．
【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
【解析】∵∠EAD＝∠CAB，
∴当，
即AD AC＝AB AE，
∴ED∥BC，
故选：D．
6．
【分析】设△DEF的另两边长为xcm，ycm，讨论：利用相似三角形的性质得到或或，然后分别其x、y即可对各选项进行判断．
【解析】设△DEF的另两边长为xcm，ycm，
∵△ABC与△DEF相似，
∴当，解得x＝2，y＝2.5；
当，解得x＝2.5，y＝3；
当，解得x＝1.6，y＝2.4．
故选：D．
7．
【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解析】∵∠A＝∠D＝60°，，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠B＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝180°﹣60°﹣50°＝70°
故选：C．
8．
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解析】∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
9．
【分析】根据相似三角形的性质，由△ABE∽△CBA得到AB：BC＝BE：AB，则可对A选项进行判断；由△ABE∽△CBA得到∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，则证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质得CD：AC＝AD：AB，则可对B选项进行判断；证明△CAD∽△ABE得到AD：BE＝CD：AE，加上AD＝AE，则可对C选项进行判断；利用△CBA∽△ABE得到AB AC＝AE CB，由于AE2＝CD BE，AE≠CB，则可对D选项进行判断．
【解析】∵△ABE∽△CBA，
∴AB：BC＝BE：AB，
∴AB2＝BE BC，所以A选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，
∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，
∴∠ADE＝∠BAC，
∵∠ADC＝∠BAC，
∴△CAD∽△CBA，
∴CD：AC＝AD：AB，
即CD AB＝AD AC，所以B选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，
∴△CAD∽△ABE，
∴AD：BE＝CD：AE，
即AD AE＝CD BE，
∵AD＝AE，
∴AE2＝CD BE，所以C选项的结论正确；
∵△CBA∽△ABE，
∴AC：AE＝CB：AB，
∴AB AC＝AE CB，
∵AE2＝CD BE，AE≠CB，
∴AB AC≠BE CD，所以D选项的结论不正确．
故选：D．
10．
【分析】由图形可知△ABC的边AB＝4，AC＝6 DE＝2，当△DEM∽△ABC时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H．
【解析】根据题意，
△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6 DE＝2，
∴DE：AB＝DM：AC，
∴DM＝3，
∴M应是H，
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【解析】∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，
∴其相似比为5：4，
∴这两个相似三角形的周长的比为5：4，
故答案为：5：4．
12．
【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．
【解析】∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的对应角平分线之比为2：3，
故答案为：2：3．
13．
【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
【解析】∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴两三角形的相似比为1：4，
∴两三角形的面积比为1：16．
故答案为：1：16．
14．
【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．
【解析】∵两个相似三角形的相似比为4：9，
∴它们的周长比等于相似比，即：4：9．
故答案为4：9．
15．
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，再分类讨论：当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，所以CE＝AE，根据等腰三角形得CEAC＝2；当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠B，接着证明CD⊥AB，利用面积法可计算出CD，利用相似比可计算出CE；当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，证明CD为斜边上的中线，则CD＝DA＝DBAB，然后利用相似比可计算出CE，综上所述，CE的长为2，，．
【解析】∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，
∴△ADC为等腰三角形，
∴CE＝AE，
∴CEAC＝2；
当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠B，
而∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴CD⊥AB，
∴CD，
∵△ABC∽△DCE，
∴AB：CD＝BC：CE，即5：3：CE，
∴CE；
当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，
∴DC＝DA，
∵∠A+∠B＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴DB＝DC，
∴CD＝DA＝DBAB，
∵△ABC∽△CED，
∴CE：AB＝CD：AC，即CE：5：4，
∴CE，
综上所述，CE的长为2，，．
故答案为2，，．
16．
【分析】首先根据第一个三角形的三边和第二个三角形的最短边求得三角形的另外两条边，然后求得周长即可．
【解析】∵三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，
∴第二个三角形的另外两边的长分别为8和10，
∴第二个三角形的周长为4+8+10＝22，
故答案为：22．
17．
【分析】分△ABP∽△PDC、△ABP∽△CDP两种情况，根据相似三角形的性质列方程计算即可．
【解析】设BP＝x，则PD＝14﹣x，
当△ABP∽△PDC时，，即，
解得，x1＝2，x2＝12，
当△ABP∽△CDP时，，即，
解得，x，
综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，
故答案为：2或12或．
18．
【分析】直接利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出两三角形面积比，进而得出答案．
【解析】∵△ABC～△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC的面积与△DEF的面积比为：4：9，
∵△DEF的面积为36
∴△ABC的面积为16，
故答案为16．
三、解答题
19．设两个三角形的面积分别为x，y，则有，
解得x＝20，y＝45
答：较小三角形面积为20．
20．（1）∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵∠AOP＝90°，AP＝3，
∴OP3，
∴P点的坐标为（﹣3，0）；
（2）如图，∵∠AOP＝∠PAC＝90°，△AOP与△APC相似，
∴或，
∴或，
∴AC或AC＝6，
过C作CD⊥y轴于D，
∵∠CDA＝∠PAC＝∠AOP＝90°，
∴∠DCA+∠CAD＝∠CAD+∠PAO＝90°，
∴∠DCA＝∠PAO，
∴△ADC∽△POA，
∴，
∴，或2，
解得：CD＝3，AD＝1.5或CD＝12，AD＝6，
∴OD＝7.5或OD＝12，
∴点C的坐标为（﹣3，7.5）或（﹣12，12）．
21．证明：∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，
∴BDBC，B′D′B′C′，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AD：A′D′＝AB：A′B′．
22．（1）∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝6；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD＝∠AEB＝90°，
∴在Rt△EAD中，，
∴AE＝3（cm），
∴S ABCD＝BC AE．
23．（1）当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
（2）结论：CDBD．
理由：∵△BCD∽△BAC，
∴，
∴，
∴CDBD．
24．（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：．