2023-2024学年上海市黄浦区向明中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市黄浦区向明中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线上一点的横坐标为，则点到焦点的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知函数在处有极小值，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知点为正方体内部不包含表面的一点给出下列两个命题：
：过点有且只有一个平面与和都平行；
：过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．
则以下说法正确的是( )
A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题
C. 命题，都是真命题 D. 命题，都是假命题
4.已知直线：与：相交于点，线段是圆：的一条动弦，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的体积为______．
6.两条直线与平行，则实数 ______．
7.已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于______．
8.设函数的导函数为，若，则 ______．
9.在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
10.双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为______．
11.已知函数，则 ______．
12.若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是______．
13.图为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若是该抛物线上一点，点，则的最小值为______．
14.如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的个侧面的条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是______．
15.若函数在上是严格单调函数，则实数的取值范围为______．
16.已知双曲线的焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为______．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间单位：秒的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要秒．
求车轮转动前秒的平均角速度；
求车轮在转动开始后第秒的瞬时角速度．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，的中点为．
求直线与平面所成角；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点．
求的标准方程；
设点是上第一象限内的点，求的取值范围．
20.本小题分
如图，将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁矩形的高为，宽为已知梁的抗弯强度为．
将表示为的函数，并写出定义域；
求的值使得抗弯强度最大．
21.本小题分
双曲线的离心率为，圆：与轴正半轴交于点，点在双曲线上．
求双曲线的方程；
过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度；
设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意抛物线的准线为，的横坐标为，
点的纵坐标为，
所以点到焦点的距离即点到抛物线准线的距离为．
故选：．
由题意求得抛物线准线方程以及点纵坐标，再结合抛物线定义即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在处有极小值，，
，解得或，
当时，，
在、上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值，符合题意；
当时，，
在、上单调递减，在上单调递增，
在处取得极大值，不符合题意．
故选：．
利用函数在极值处的导数值为求得的值，再利用函数的单调区间检验即可．
本题考查导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：如图，
点为正方体内部不包含表面的一点，
，，由与可确定一个平面，在该平面内过作直线，使，
由与可确定以平面，在该平面内过作直线，使，则由两相交直线与确定平面，使得平面与和都平行，故命题是真命题；
由正方体的结构特征可知，和所在直线为异面直线，若过点作两条直线与和所在的直线都相交，则不存在两交点重合，可得和所在的直线共面，与和所在直线为异面直线矛盾，故命题是假命题．
故选：．
由题意画出图形，由平面的基本性质逐一判断两命题的真假得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：依题意得，半径，
设点坐标，易知直线：恒过点，
直线：恒过，且，
则，即，点轨迹为，
圆心为，半径为，但是去掉点，
若点为弦的中点，位置关系如图：
，连接，由易知，
，，此时在处，可以取到，故A正确．
故选：．
可得到，圆的半径，设，可看出直线过定点，直线过定点，并可得出，得出点的轨迹方程为，圆心，半径为，去掉点设点为弦的中点，并画出图形，根据图形可求出的最小值，并且，然后即可得出的最小值．
本题考查了向量垂直的充要条件，圆的标准方程，向量加法的平行四边形法则，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，因为圆锥的母线长为，底面半径为，
则圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故答案为：．
根据题意，利用圆锥的结构特征求得其高，再利用其体积公式即可得解．
本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：若直线与平行，
则且，解得．
故答案为：．
根据两条直线平行与方程的关系，建立关于的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意焦点在轴上的椭圆离心率为，
可得，解得．
故答案为：．
利用已知条件列出方程，求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，则．
故答案为：．
利用导数的定义可求得．
本题考查了极限的运算性质以及导数的几何意义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，，
因为异面直线夹角的取值范围为，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角即可．
本题考查异面直线夹角的求法，熟练掌握利用向量法求异面直线夹角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由双曲线，得，，
双曲线的渐近线方程为，
设与轴的夹角为，则，
．
故答案为：．
求出渐近线方程，然后求解一条渐近线与轴夹角的正切值，再由二倍角公式求解．
本题考查双曲线的简单性质，考查二倍角公式的应用，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则，解得：，
所以，则．
故答案为：．
对求导，再代入，从而求得，进而得到，由此计算可得．
本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：直线，即，
令，解得，
故直线过定点，
直线与圆至少有一个交点，
则，解得，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
先求出直线所过定点，再结合题意，推出该定点的位置，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设抛物线的方程为，，
再由，深度，可得，
将的坐标代入的方程，，解得，
所以抛物线的方程为：；
所以抛物线的准线方程为：，
将的坐标代入抛物线的方程，，所以在抛物线的内部，
过做准线的垂线交准线于，
则，当且仅当，，三点共线时取等号，
所以则的最小值为：．
由题意可得点的坐标，设抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线的方程，可得参数的值，进而求出抛物线的方程，过点作准线的垂线，垂足为，可得，可得最小值．
本题考查抛物线的方程的求法及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有个侧面，所以共有组，
若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有个顶点，所以共有组，
若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接，，，，，
先考虑下底面，根据正六边形性质可知，所以，
且，故ADC共面，且共面，
故AF，相交，且，相交，故共面有组，
则正六边形对角线所对应的有组共面的面对角线，
同理可知正六边形对角线，所对的分别有两组，共组，
故对于上底面对角线，，同样各对两组，共组，
若对面平行，一组对面中有组对角线平行，三组对面共有组，
所以共面的概率是．
故答案为：．
共面分为平行和相交，平行时，只需要考虑对面平行中的直线即可，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了棱柱的结构特征，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为函数在上是严格单调函数，
所以或．
当时，，，不符合题意．
故，即．
当时，，所以在上恒成立．
即求，因为，所以，，
所以．
当时，，所以在上恒成立．
即，因为，所以，，
即．
综上，．
故答案为：
由题意可得，或，分类讨论，转化为求最值的问题，从而得到实数的取值范围．
本题主要考查三角函数的单调性，解题的关键点是由，或，转化为求最值的问题，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理可得，
即为，
即有，
由三角形的中线长公式，可得，
即，
化为，
则．
故答案为：．
由双曲线的定义和三角形的余弦定理与中线长公式，化简整理，可得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理和中线长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设车轮旋转的角度为，车辆启动后车轮转动的时间为秒，
则，
由题意得时，，
即，解得，
故，车轮转动前秒的平均角速度为，
，，
由导函数的意义可得车轮在转动开始后第秒的瞬时角速度为．
【解析】设出未知数，得到，待定系数法求出解析式，从而计算出车轮转动前秒的平均角速度；
求导，由导函数的意义得到答案．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解：一点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，设是平面的一个法向量，
则，令，则，
所以．
，，，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角为．
，，
点到平面的距离．
【解析】根据题意建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量，求出平面的一个法向量．
根据直线和平面所成角的向量法求出即可；
根据点到平面的距离的空间向量法求出即可．
本题考查利用空间向量求空间角和距离，属中档题．
19.【答案】解：由题意可设的方程为，
将代入可得，，
解得，
的标准方程为．
设，则，
点在第一象限，，且，，
，
的取值范围是．
【解析】由共渐近线方程设法将点代入直接求解；
向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围．
本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．
20.【答案】解由勾股定理可得，则，
所以，其中，
即该函数的定义域为．
所以，定义域为；
对函数，求导得，
令，可得，列表如下：
增 极大值 减
所以当时，取得极大值，亦即最大值，且．
【解析】由勾股定理可得出，即可得出关于的函数，结合实际情况写出该函数的定义域；
利用导数分析函数的单调性，即可得出该函数取最大值时对应的的值．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了导数的综合运用，属于中档题．
21.【答案】解：不妨设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的离心率为，
所以，
即，
此时，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
此时，
则双曲线的方程为．
当切线的斜率不存在时，切线的方程为，
此时，圆心到直线的距离为，符合题意；
当切线的斜率存在时，
不妨设切线的方程为，
即，
易知，
解得，
此时，切线方程为，
联立，
解得或，
所以点，
联立，
解得或，
所以点，
则；
当圆在点处切线斜率不存在时，
此时点或，切线方程为或，
由及已知，得，
所以，
当圆在点处切线斜率存在时，
不妨设切线方程为，、，
易知，
即，
联立，消去并整理得，
显然，
由韦达定理可得，，
因为，，
所以
，
则，
在中，于点，
可得，
又，
所以∽，
此时，
则，
综上得为定值．
【解析】由题意，根据双曲线离心率为，可得，再由点在双曲线上可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
求出两条切线的方程，进而求出两切线与双曲线的交点坐标，结合两点间的距离公式可求得；
线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理、三角形相似可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
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