2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
2.函数是( )
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数
C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数
3.定义平面向量的正弦积为，其中为、的夹角，已知中，，则此三角形一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
4.八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角八边形可分为正八边形和非正八边形如图所示，在边长为正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知角的终边与单位圆交于点，若，则点的坐标是______．
6.在中，内角，，的对边分别为，，，若：：：：，则 ______．
7.已知，则 ______．
8.已知，，在上的投影向量的坐标为______．
9.在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若点满足，则点的坐标为______．
10.已知平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
11.已知，，则 ______．
12.若函数，的图象关于对称，则______．
13.函数的部分图象如图所示，其中，，则的解析式为______．
14.已知的内角、、的对边分别为、、，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ______．
15.如图，长为，宽为的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是______．
16.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知向量．
若，求；
若，求与的夹角．
19.本小题分
某医院对发热门诊进行改造，如图，原发热门诊是区域，可利用部分为，，米，米，为三角形，为以为半径的扇形，且．
若需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；
在中，设置作为补充门诊，求补充门诊面积最大值．
20.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
当时，求的最值．
当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数，其中．
若，，求的对称中心；
若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在，且上恰好有个零点，求的最小值；
已知函数，在第问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数的意义，则，即，解得，
所以函数的定义域为．
故选：．
根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得．
本题考查的知识点：函数的定义域，三角函数的不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：
，
函数为最小正周期为的奇函数
故选：．
先利用诱导公式将函数化为，再利用奇函数的定义和周期计算公式证明其为最小正周期为的奇函数即可
本题主要考查了函数奇偶性的定义，三角函数的图象和性质，诱导公式的应用，属基础题
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
由正弦定理与二倍角的正弦得：，
、均为的内角，
，，
，
，
此三角形一定是等腰三角形，
故选：．
利用平面向量的正弦积可得，再利用正弦定理与二倍角的正弦可得，从而可得答案．
本题考查三角形的形状判断，考查平面向量的正弦积的应用，突出考查正弦定理与二倍角公式，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：正八边形中，，，
所以，连接，过点作，交、于点、，交于点，
设，中，由余弦定理得，，
，
中，由余弦定理得，，
所以，解得，
，解得，
所以，
当与重合时，取得最小值为，
当与重合时，取得最大值为，
因为点是其内部任意一点，所以的取值范围是
故选：．
根据正八边形的边长为，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出的取值范围．
本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得点的坐标是，即．
故答案为：．
根据三角函数的定义即可得解．
本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意：：：：，
不妨令，，
则，，
由余弦定理的推论得．
故答案为：．
利用余弦定理的推论即可求解．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，
可得．
故答案为：．
根据给定条件，利用反三角函数求出结果即可．
本题考查了反三角函数的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，
则，
则在上的投影向量的坐标为：．
故答案为：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设，由点、的坐标分别为、且点满足，
得，得，解得，点的坐标为．
故答案为：．
设，由点、的坐标分别为、且点满足，利用坐标运算产生方程组可解决此题．
本题考查平面向量坐标运算，考查数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】且
【解析】解：由题意知，得，
当时，，得．
故答案为：且
因夹角为锐角可知数量积大于，但要去掉夹角为的情况．
本题主要考查了向量夹角公式的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据条件可求出的值，然后根据两角和的正弦公式即可得解．
本题考查了正余弦的平方关系，两角和的正弦公式，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：由三角函数的性质可知，函数的对称轴处取得函数的最值
故答案为：
由三角函数的性质可知，函数的对称轴处取得函数的最值可得，代入可求
本题主要考查了三角函数的对称性的应用：对称轴处取得函数的最值，属于基础试题，但注意本题还有多种解法．
13.【答案】
【解析】解：由函数的部分图象可知：，
因为的个最小正周期为，所以，则，
根据五点法作图，得，解得，适合，
所以．
故答案为：．
由函数图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：的面积为，
则，即，
，
则，
，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合余弦定理，以及正弦定理，即可求解．
本题主要考查余弦定理，以及正弦定理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，
此次点走过的路径是．
第二次是以为旋转中心，
以为半径旋转，
此次点走过的路径是．
第三次是以为旋转中心，
以为半径旋转，
此次点走过的路径是，
点三次共走过的路径是．
故答案为：．
由弧长公式计算各段弧长，相加可得答案．
本题考查弧长公式，求出各段弧长的圆心角和半径是解决问题的关键，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意知，，作出的图象以及的图象，
与的图象在内有个交点，这交点的横坐标为方程在内的个实数根，
根据函数的对称性可知，，，，，
所以，
故答案为：．
由题意知，与的图象在有个交点，结合函数的对称性即可求解．
本题主要考查了三角函数图象的变换及函数对称性的应用，属于中档题．
17.【答案】解：因为，即，
；
．
【解析】由已知结合同角基本关系进行化简即可求；
由已知结合同角基本关系进行化简即可求．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：向量，则，
由，得，
解得，即，
所以．
向量，则，由，得，
解得，则，，而，
因此，而，
所以与的夹角．
【解析】利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出，再求出向量的模．
利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出，再求出向量夹角．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为，，，
所以，，
因为为锐角，所以，
因为，所以，
所以弧的长为，
所以隔离带的总长度为米；
连接，设，
因为，所以，，
因为，所以，
所以，
所以
，
因为，
所以，
当时，取得最大值，
所以补充门诊面积最大值为平方米．

【解析】在直角三角形中由已知条件可求出和，则可求得，从而可求出弧的长，进而可求得结果；
连接，设，则结合已知条件表示出，，然后表示出矩形的面积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值．
本题考查三角函数在生活中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由题意，得函数
，
由，解得，
所以的单调递增区间为．
当时，，所以，则，
当即时，函数取得最小值为；
当即时，函数取得最大值为；
由题意得时，有解，
而此时，即有解，只需要即可，
，，
令，则在上单调递减，
所以当时，，即，
所以．
【解析】根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
由，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案；
化简，参变分离，可得，令，则求在上的最小值，即可求得答案．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：因为，所以的最小正周期是，
即，解得，
又因为，所以，，
令，解得，，
所以的对称中心为；
由题意知，，
又因为是的一个零点，所以，解得，
所以或，；解得或，；
又因为，所以，，的最小正周期为，
令，得，解得或，
若函数在上恰好有个零点，则，
要是的值最小，应使、恰好是的零点，则的最小值为；
由知，，设在上的值域为，在上的值域为，
对任意为，存在，使得成立，则，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
由，得，解得，又，所以实数的取值范围是．
【解析】由题意求出的最小正周期，得出，再求的对称中心；
根据函数图象平移得出的解析式，再根据函数零点求出和最小正周期，由此列出不等式组求出的最小值；
设在上的值域为，在上的值域为，由题意知，由此列不等式组求解即可．
本题考查了三角函数与不等式的综合应用问题，也考查了数学运算和逻辑推理核心素养，是难题．
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