2023-2024学年广东省广州市玉岩中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省广州市玉岩中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，，复数所对应的点位于第四象限，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.若复数是纯虚数为虚数单位，则的值为( )
A. B. C. D. 或
6.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
7.将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在中，为中点，过点的直线分别交，于不同的两点，，设，，则的值为( )
A. B. C. D. 不确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 若，则
C. 若，与垂直的单位向量只能为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
10.如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则取值可能为( )
A.
B.
C.
D.
11.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 的表达式可以写成
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 若方程在上有且只有个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______．
13.若是方程的一个根，则 ______．
14.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则 ______；若，则面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知单位向量的夹角为．
求；
求；
求与的夹角．
16.本小题分
已知向量，函数．
求的单调递增区间；
若，求．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱C、的中点．
求四边形的周长；
求多面体的体积．
18.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足____；
求角的大小；
若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
设函数，试求的伴随向量；
记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
已知将中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，，，
可得，解得．
故选：．
根据向量平行的坐标表示，即可求解．
本题考查向量平行的坐标表示，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：设，
，
则，解得，
，
则，解得负值舍去，
故．
故选：．
结合复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，，
因为是的中线，所以．
故选：．
根据题意，以作为基底，依次表示出，然后根据三角形中线的性质算出答案．
本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：设与夹角为，
向量在向量方向上的投影向量是，
则
，
则．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
复数是纯虚数，可得：，，于是，再利用同角三角函数基本关系式、两角差的正切公式即可得出．
本题考查了纯虚数的定义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：复数是纯虚数，
，，
，
．
则．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由，，，满足两边之和大于第三边，
由余弦定理可得：，
则为锐角，可得三角形只有一解，故A错误；
B.由，，，可得，则三角形有两解，故B正确；
C.由，，，可得，则三角形有一解，故C错误；
D.由，，，可得，则，为锐角，可得三角形只有一解，故D错误．
故选：．
根据正弦定理，余弦定理，三角形的性质即可逐项判断三角形的个数．
本题考查三角形个数的判断，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设，则，
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，
在四边形中，过点作于点，
则，所以，
所以，解得，
在平面中，过点作于点，
易知为正四棱台的高，则，
所以．
故选：．
作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解．
本题考查了正四棱台高的计算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三点共线的应用，属于中档题．
当三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为即可．
【解答】
解：为中点，，，
，
，，三点共线，
，，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：已知，
对于选项A，，
即的最小值为，
即选项A正确；
对于选项B，若，
则，
即，
即选项B正确；
对于选项C，若，
则，
则与垂直的单位向量为或，
即选项C错误；
对于选项D，若向量与向量的夹角为钝角，
则且与不共线，
即，
即且，
即选项D错误．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量共线及垂直的坐标运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量共线及垂直的坐标运算，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有，如图，
当，，三点共线时，则即为的最小值．
在中，，，
由余弦定理得：，
，即，
在中，，，
由勾股定理可得：，且．
同理可求：，，
为等边三角形，，
在中，，，，
由余弦定理得：．
则即为的最小值，故A错误，B正确．
当 在中点，，故C正确；
当在点处时，，的最大值为，故D错误．
故选：．
连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短及最大值求解即可．
本题主要考查两点之间距离的求法，棱柱的结构特征，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：依题意，，即，
又，
则；
又的图象过点，
则，可得，，
解得，；
又，
所以．
所以．
因为，
所以的表达式可以写成，故A正确；
由于，
则的图象不关于直线对称，故B错误；
当时，，由余弦函数单调性知，在单调递减，故C错误；
由，得，解得或，
方程在上有个根，
从小到大依次为：，
而第个根为，
所以，故D正确．
故选：．
先求出函数的解析式，再逐一判断各选项是否正确．
本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，长度为，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：．
故答案为：．
由斜二测画法的规则知在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，长度保持不变，已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来一半．由于轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为，且其在平面图中的轴上，由此可以求得原图形的周长．
本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．
13.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
是方程的另一个根，
，解得，，
故．
故答案为：．
由题意，可得是方程的另一个根，再结合韦达定理，即可求解．
本题考查了实系数方程虚根成对定理，考查了方程思想，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，由正弦定理得，
因为，所以，则有，
所以，得，即，
故；
因，，故，
可得，，
由，解得，
得，
由余弦定理得，
即，
由，当且仅当时等号成立，
可得，
，
即面积的最大值为．
故答案为：； ．
先由正弦定理化边为角整理得到，两边平方即得的值；再利用同角的三角函数基本关系式求得，的值，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，从而得到面积的最大值．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：已知单位向量的夹角为，
则，
则；
；
，
设与的夹角为，
则，
又，
则．
即与的夹角为．
【解析】结合平面向量数量积的运算求解；
结合平面向量的模的运算求解；
结合平面向量夹角的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算及夹角的运算，属基础题．
16.【答案】解：，
，
解，，得，，
的单调递增区间为；
，
，，
，
．
【解析】根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式可求出，进而得出，然后解，，即可得出的单调递增区间；
根据条件得出，进而得出，然后根据即可求出答案．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和差的正弦公式，正弦函数的增区间，复合函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：连接，因为、分别是棱C、的中点，
故G且，
又，，，
所以四边形的周长．
多面体为三棱台，
又，，高，
所以．
【解析】连接，即可得到且，再求出四边形的周长；
确定多面体为三棱台，再利用棱台的体积公式计算即可．
本题考查几何体的结构特征以及三棱台体积的计算，属于中档题．
18.【答案】解：选取条件：，
在中，则，
又，即，，则不合题意，舍去或，
故；
选取条件：
由正弦定理得，即，
，即
为锐角三角形，，且，
故；
选取条件：，
由正弦定理得，
，
为锐角三角形，，即，
故；
由得，角与角的内角平分线相交于点，故，，
在中由正弦定理得，
设，则，，
，
为锐角三角形，，解得，即，
，则
故的面积取值范围为．
【解析】利用正弦定理边角互化，中用正弦的半角公式展开计算即可；中用三角函数的恒等变换计算即可；中用余弦的二倍角公式计算即可；
由得，角与角的内角平分线相交于点，故，，设，则，，，利用正弦函数的性质，即可得出答案．
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解，
由伴随向量的定义可知，函数的；
依题意，
当时，，
又，
所以，
所以；
由题意，可得，
若，则，
所以
令，则可化为，
即，
因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数，
所以时，函数单调递减；时，函数单调递增，
所以，
又当，时，；当时，，
所以；
因为存在，使成立，
所以存在，使成立，
因此只需．
【解析】化简函数，再根据定义即可求得伴随向量；
根据已知条件可知，再利用正弦的差角公式即可得解；
易知，令，则原问题可化为，即，然后研究二次函数的性质即可得到答案．
本题以新定义为载体，考查了三角恒等变换，三角函数的图象及性质以及三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
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