2023-2024学年福建省莆田市仙游县六校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省莆田市仙游县六校联盟高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知四面体中，，，，，为中点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
3.高二甲乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率( )
A. B. C. D.
4.已知，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.函数在上的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，点在线段上，且当为锐角时，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量，，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖”
C.
D.
10.若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则称在上为凸函数以下四个函数在是凸函数的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，下列说法中正确的有( )
A. 函数的图象在处的切线方程为
B. 增区间为
C. 的极大值为
D. 方程有两个不同的解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，该电路由三个元件组成，每个元件之间能否正常运行是相互独立的，已知元件，，能正常运行的概率分别为、、，则该电路能正常运行的概率是______．
13.若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是______．
14.正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，，，是等边三角形，平面平面，，分别是，的中点，与交于点．
求证：平面；
平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．
16.本小题分
某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 合计
男生人数
女生人数
合计
若将一周参加体育锻炼次数为次及次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
若将一周参加体育锻炼次数为次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题以样本频率估计概率，在全校抽取名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
若将一周参加体育锻炼次或次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的名“运动爱好者”中，随机抽取人进行访谈，设抽取的人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
17.本小题分
已知函数在与时都取得极值．
求、的值与函数的单调区间；
若对，不等式恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有次投篮机会，若投中次或次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮次已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．
求甲同学通过测试的概率；
若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为，求的分布列与均值．
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数
Ⅰ若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
Ⅱ求函数的极值；
Ⅲ当时，若直线：与曲线没有公共点，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据导数的定义得：，即，
因为，所以，
解得．
故选：．
根据题意得，再求导求解即可解出．
本题考查了导数的定义，学生的数学运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
又，
，解得．
故选：．
根据向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及空间向量基本定理即可得解．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及空间向量基本定理，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：事件包含的基本事件的个数为，
事件，同时发生包含的基本事件的个数为，
则．
故选：．
先求出事件以及事件，同时发生包含的基本事件的个数，再由条件概率公式求解即可．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的投影问题，空间向量数量积的坐标运算以及空间向量模的坐标运算，解题的关键是掌握空间向量的投影向量的求解方法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
结合向量在向量上的投影向量的求解公式即可求得答案．
【解答】
解：，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量是．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是基础题．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可．
【解答】
解：，
令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增，
故最小值，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的导数的综合应用，属中档题．
将问题转化为在区间上存在子区间使得，即可求解．
【解答】
解：函数在区间上存在单调增区间，
函数在区间上存在子区间使得不等式成立，
，
由，则在区间上存在子区间使得，
令，在为增函数，，
所以．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，
则，所以，
所以，
，
由图可知，，
所以为锐角等价于，
所以
，
又因为，所以．
故选：．
建立空间直角坐标系，将为锐角转化为，利用向量的坐标运算求解即可．
本题考查空间向量的线性运算和坐标运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：依题意，有两个变号零点，
令，即，则，
显然，则，
设，则，
设，则，
在上单调递减，
又，
当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，
，且时，，时，，
，解得．
故选：．
依题意，有两个变号零点，由，可得，设，求出函数的单调性及取值情况即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：随机变量，，
对于，当时，，故A正确；
对于，由于，则随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖”，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，，
而，因此，故D错误．
故选：．
根据给定的正态分布，利用正态分布的性质逐项判断作答．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则，，在区间上，，是区间上的凸函数；
对于，，则，，在区间上，，是区间上的凸函数；
对于，，则，，在区间上，，则有，是区间上的凸函数；
对于，，则，，在区间上，，不是区间上的凸函数；
故选：．
根据题意，由“凹函数”的定义依次分析选项，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意理解“凹函数”的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，
，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
且时，；时，，
与只有一个交点，即方程有一的解，选项错误；
的单调增区间为，选项错误；
的极大值为，选项正确；
又，，
的图象在处的切线方程为，选项正确；
故选：．
先求导，再利用导数研究函数的单调性与极值，从而可分别求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：系统正常工作是指元件正常工作，同时元件和至少个正常工作，而和至少个正常工作的对立事件是和同时不能正常工作，
系统正常工作的概率为，
故答案为：．
系统正常工作是指元件正常工作，同时元件和至少个正常工作，而和至少个正常工作的对立事件是和同时不能正常工作，由此能求出系统正常工作的概率．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了对立事件的概率关系，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
因为在区间内单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
的解只能为，所以，，即实数的取值范围是．
故答案为：．
求出导函数，由在上恒成立可得．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为在正四棱锥中，，
所以正四棱锥的高为，
在三棱锥中，，
所以，
又在三棱锥中，，
由等体积法，，
设点到平面的距离为，
所以，解得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：．
利用等体积法，求出点到平面的距离，然后利用边角关系求解直线与平面所成角的正弦值即可．
本题考查了直线与平面所成角的求解，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：证明：因为为正三角形，是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，，
因为，所以，所以，
又因为，在平面内且相交，故BD平面；
因为，分别为，的中点，所以，
又平面过且不过，所以平面，
又平面交平面于，故E，进而，因为是中点，所以是的中点，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，解得，
令，得，所以，
所以，，所以，
所以直线与平面所成角的大小为．
【解析】由面面垂直的性质定理可证平面，从而得到，再由证得，再由线面垂直的判定定理即可证明；
建立空间直角坐标系，由向量法即可求得．
本题考查线面垂直的证明和求直线与平面所成的角，属于中档题．
16.【答案】解：列联表如下：
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，
根据列联表的数据计算，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过；
因学校总学生数远大于所抽取的学生数，
故近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，
，
故，
；
名“运动爱好者”有名男生，名女生，服从超几何分布，的可能取值为，，，，
，
，
故所求分布列为：


．
【解析】根据列联表数据计算即可求解；
由题意近似服从二项分布，利用方差和期望公式即可求解；
由题意服从超几何分布，的可能取值为，，，，计算出各自对应的概率即可求解．
本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望计算，属于中档题．
17.【答案】解；，，
由条件可得，解得
，
函数的单调区间如下表：
极大值 极小值
所以函数的递增区间是和，递减区间是．
，
当时，为极大值，而，所以为最大值．
要使对恒成立，须且只需．
解得或．
即的取值范围为．
【解析】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．
求出，因为函数在与时都取得极值，所以得到且联立解得与的值，然后把、的值代入求得及，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
根据函数的单调性，由于恒成立求出函数的最大值值为，代入求出最大值，然后令列出不等式，求出的范围即可．
18.【答案】解：记事件：甲同学通过测试，则甲同学在次投篮中，投中次或次，
则；
若甲通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，
所以甲通过测试的概率为，
同理可知，乙通过测试的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：
故．
【解析】利用独立重复试验的概率公式以及互斥事件的概率加法公式可求出甲同学通过测试的概率；
分别计算出甲、乙通过测试的概率，分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ由，得，
又曲线在点处的切线平行于轴，
得，即，
解得．
Ⅱ，
当时，，为上的增函数，
所以函数无极值，
当时，令，得，，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值，
综上所述，当时，函数无极小值，
当，在处取得极小值，无极大值．
解法一：
当时，，
令，
则直线的方程为与曲线没有公共点，
等价于方程在上没有实数解，
假设，此时，
又函数的图象连续不断，
由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，
故，
又时，，知方程在上没有实数解．
所以的最大值为．
解法二：
当时，，
直线的方程为与曲线没有公共点，
等价于关于的方程在上没有实数解，
即关于的方程在上没有实数解，
当时，方程可化为，在上没有实数解，
当时，方程化为，
令，则有，
令，得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以当时，，
同时当时，，
从而的取值范围为
所以当时，方程无实数解，
解得的取值范围是．
综上所述，得的最大值为．
【解析】Ⅰ求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率为，计算，由点斜式，即可得出答案．
Ⅱ求导得，分两种情况：当时，当时，讨论的符号，的单调性和极值．
Ⅲ解法一：当时，，令，问题等价于方程在上没有实数解，由零点存在定理，可知在上至少有一解，进而可得答案．
解法二：当时，，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，分两种情况：当时，当时，讨论的单调性，最值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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