2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知非零向量，，则是成立的条件．( )
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
2.已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
4.对于函数，有以下个结论：
函数的图像是中心对称图形；
任取，恒成立；
函数的图像与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；
函数与直线的图像有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等．
其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.若点，，则向量的坐标是______．
6.扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为______．
7.函数在上的定义域为______．
8.已知，则 ______．
9.设向量，，且，则的值为______．
10.若向量，的夹角，，，则 ______．
11.将函数的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为______．
12.已知顶点在原点的锐角，始边在轴的非负半轴，，终边绕原点逆时针转过后交单位圆于，则的值为______．
13.在中，，，为的中点，在线段上，则的最小值为______．
14.已知函数与函数的图象交于，两点，则______．
15.已知函数的表达式是，若对于任意都满足，则实数的取值范围是______．
16.已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知、是同一平面内的两个向量，其中，．
求与的夹角；
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，为边上一点，设．
若，试用，的线性组合表示；
若，且，，求的值．
19.本小题分
设为常数，函数．
设，求函数的严格增区间；
若函数为偶函数，求此函数在上的值域．
20.本小题分
落户上海的某休闲度假区预计于年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点处，出口在点处，游客可从入口沿着观景通道到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道到达出口为内一点．
若是以为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？结果精确到分钟
园区计划将区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．
21.本小题分
已知函数，函数，设．
求证：是函数的一个周期：
当时，求在区间上的最大值；
若函数在区间内恰好有奇数个零点，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若，则，所以，即，故充分性成立；
若，则两边同时平方得：，所以，即，
因为，为非零向量，所以，即，故必要性成立，
所以是成立的充要条件．
故选：．
由平面向量的数量积与夹角知识分别分析充分性和必要性即可．
本题考查平面向量的数量积与夹角，充要条件的判断，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：．
根据投影向量公式求解即可．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由正弦型函数的性质，函数示意图如下：
所以，则，
可得．
故选：．
利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为的时间，，，即可得，可求参数的值．
本题主要考查了正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：：因为，
所以函数是奇函数，
它的图像关于原点对称，是中心对称图形，故正确；
：因为，
所以，
因此不成立，故不正确；
：令，即，
所以或，
当，显然成立，
当时，，，
显然函数的图像与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，故正确；
：，解得或，
当，显然成立，
当时，，，
，，
显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，故不正确．
所以说法正确有．
故选：．
根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可．
本题考查了函数的零点、正弦函数的性质，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，点，，
则向量．
故答案为：．
根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得答案．
本题考查向量的坐标计算，涉及向量坐标的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为扇形的半径，弧长，
根据扇形的面积公式得，．
故答案为：．
利用扇形的面积计算公式即可得出．
本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为函数，
所以，
所以函数在上的定义域为：．
故答案为：．
直接根据满足的条件列不等式即可．
本题主要考查函数的定义域和正弦函数的性质应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据正切函数两角和公式直接运算即可．
本题主要考查了两角合的正切公式的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，，且，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：向量，的夹角，，，
可得．
故．
故答案为：．
把所求平方，再代入已知条件即可求解结论．
本题主要考查向量的模长，考查计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位，所得函数的图象，所求函数的解析式为：．
故答案为：．
直接利用三角函数的平移变换法则，左加右减，写出结果即可．
本题考查三角函数的图象的变换，注意平移的方向以及的系数，基本知识的考查．
12.【答案】
【解析】解：设终边绕原点逆时针转过后角度为
由题意可知，，
，
则，
，
终边绕原点逆时针转过后交单位圆于，
则，即．
故答案为：．
根据已知条件，结合余弦的两角和公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查余弦的两角和公式，以及任意角的三角函数的定义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：如图：以线段的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，，
则，
当时，．
故答案为：．
以线段的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，，关于点对称，
，
故答案为．
由题意，，关于点对称，即可求出
本题考查三角函数图象的对称性，考查向量知识的运用，确定，关于点对称是关键．
15.【答案】
【解析】解：，
设，，
则，开口向下，对称轴，
当，即时，的最大值为，解得，
当时，即时，在上单调递增，则，
由题意，显然恒成立，这时的范围为；
当时，即，在上单调递减，则，
由题意，解得，此时与相矛盾，
综上所述满足条件的的范围为．
故答案为：．
求出的值，再换元，分类讨论求出的最大值，由题意可得的范围．
本题考查换元法的应用及分类讨论的思想，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：
．
令，可得，．
令，解得，
函数在区间内没有零点，
区间内不存在整数．
又，，
又，
或．
或，
解得：或．
的取值范围是
故答案为：
化简变形，求出的零点，根据条件得出区间内不存在整数，再根据可得为或的子集，从而得出的范围．
本题考查了正弦函数的性质，函数零点的计算，属于中档题．
17.【答案】解：，；
因为与得夹角为锐角，，并且与不平行，
其中， 解得，并且；
；
综上，，．
【解析】运用数量积求夹角；
夹角为锐角即，并且不平行于，运用数量积求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：在中，为边上一点，设，
因为，
则
；
已知，
则，
又，，
则
．
【解析】结合平面向量的线性运算求解；
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
19.【答案】解：当时，函数，
令，，
得，．
所以此函数的单调递增区间为，；
由题意，得函数的定义域为，
因为函数为偶函数，
所以对于任意，均有成立，
即，
即对于任意实数均成立，
只有当时成立，此时．
因为，所以，
故此函数的值域为．
【解析】结合辅助角公式先化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
结合偶函数的定义先求出，然后结合余弦函数的性质即可求解函数的值域．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的单调性及奇偶性的应用，还考查了余弦函数值域的求解，属于中档题．
20.【答案】解：由题已知，，米，米，
在中，由余弦定理得，
所以米．
游客可从入口沿着观景通道到达出口，所需时间为分钟，
游客沿便捷通道到达出口所需时间为分钟，
所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快分钟．
，设则，
在中，
由正弦定理得，
得，．
所以面积
，
当时，面积的最大值为平方米．
【解析】本题以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，属于基础题．
由三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，在三角形中，利用余弦定理求出的长即可，进而计算即可得出结果；
在三角形中由的度数表示出的度数，利用正弦定理表示出与，进而表示出三角形面积，再利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可．
21.【答案】证明：因为，
所以是函数的一个周期．
当时，在区间上的解析式为，
令，，则，
则可转化为，，
由二次函数的性质可得函数的最大值为，
所以当时，在区间上的最大值为．
当时，设，
令，则，，
，在上为单调递减函数，
可知当时，即时，此时只有一个解；
当时，即时，此时只有一个解；
当时，即时，此时有两个解．
当时，设，
令，则，
，在上单调递增，
则可知当时，即时，此时有两个解；
当时，即时，此时只有一个解．
综上可得，若函数在区间内恰好有奇数个零点，
则或或．
【解析】由即可得证；
令，，可得，从而将函数转化为，，利用二次函数的性质即可求解最大值；
讨论时与时函数解析式，令，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案．
本题主要考查三角函数的周期，三角函数的最值以及三角恒等变换，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
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