2023北京十三中初三6月月考数学试卷（PDF版含解析）

2023北京十三中初三 6月月考
数 学
考生须知：
1． 本试卷分为第 I卷和第 II卷，第 I卷共 2 页，第 II卷共 6 页．
2． 本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟．
3． 在试卷（包括第 I卷和第 II卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号．
4． 考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师．
第一部分 选择题
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
第 1－8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱
2. 实数 a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. a b B. | a | b C. a + b 0 D. a 3
3. 如果一个多边形的内角和等于 540°，则它的边数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 如图，在 ABC 中，M，N分别是边 AB，AC 上的点，MN∥ BC ， BM = 2AM ．若 AMN 的面积
为 1，则 ABC 的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
5. 如图， AB 为 O 的直径，C，D为 O 上的点， BC = DC ．若 CBD = 35 ，则 ABD 的度数为
（ ）
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A. 20 B. 35 C. 40 D. 70
6. 一组数据：1，2，5，0，2，若添加一个数据 2，则发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
7. 下图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．
下面有四个推断：
①当移植的棵树是 800 时，成活的棵树是 688，所以“移植成活”的概率是 0.860；
②随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在 0.852 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移
植成活”的概率是 0.852；
③与试验相同条件下，若移植 10000 棵这种树苗，可能成活 8520 棵；
④在用频率估计概率时，移植 3000 棵树时的频率 0.852 一定比移植 2000 棵树时的频率 0.853 更准确
其中合理的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
8. 下面三个问题中都有两个变量：
①如图 1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度 y 与从车头进入隧道至车尾离开
隧道的时间 x；
②如图 2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心 O表示王大爷家的位置），他离家的距离 y与
散步的时间 x；
③如图 3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积 y与所用时
间 x
其中，变量 y与 x之间的函数关系大致符合下图的是（ ）
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A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
第二部分 非选择题
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9. 式子 x 3 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
2 5
10. 方程 = 的解为_________．
x +3 x
11. 写出一个比 3 大且比 10 小的整数是___________．
12. 如果3x2 x 1= 0 ，那么代数式 (2x + 3) (2x 3) x (x +1)的值为_________．
1 k
13. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y1 = (x 0)和 y2 = (x 0)的图象如图所示，k 的值可以是
x x
___________．（写出一个即可）．
14. 如图，在矩形 ABCD中，点 M，N分别为 BC，CD的中点，若MN = 5 ，则 AC 的长为__________．
CF
15. 如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 与CD 边的中点 E 重合，折痕恰好为 AF ，则 的值为
BF
______．
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16. 在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃 2 ~ 10 共9张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、
乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是12，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之
和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是______，丙的三张牌上的数字是
______．
三、解答题（共 68 分，第 17－20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22－23 题，每题 5 分，第
24－26 题，每题 6 分，第 27－28 题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
程．
1
1
17. 计算：4sin 60 + 27 2 + ．
2
1+ x 5 3x

18. 解不等式组 x + 6 并写出其整数解．
x
2
19. 已知：如图 1，直线 AB及 AB外一点 P ．
求作：直线 PQ ，使得 PQ∥AB．
作法：如图 2，
①在直线 AB 上任取一点 C，连接 PC ；
②C为圆心， PC 长为半径作弧，交直线 AB 于点 D；
③分别以点 P，D为圆心， PC 长为半径作弧，两弧在直线 AB 外交于一点 Q；
④作直线 PQ ．
直线 PQ 就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 DQ ．
CD = DQ = PQ = __________，
四边形 PCDQ 是__________形（__________）（填推理的依据）．
PQ∥ AB
20. 已知关于 x的一元二次方程 x2 2mx + m2 1= 0 ．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
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（2）若m 1，且该方程的一个根是另一个根的 2 倍，求m 的值．
21. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD 相交于点O ，过点 B 作 BM AC ，过点 C作CN∥DB 交 BM
于点 E ．
（1）求证：四边形 BECO 是矩形；
（2）连接DE ，若 AB = 2 ， BAC = 60 ，求 DE 的长．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = kx +b (k 0)的图像过点 A(3, 1)， B (0, 2)．
（1）求该函数的解析式；
（2）当 x 3时，对于 x的每一个值，函数 y = 2x +m 的值大于函数 y = kx +b (k 0)的值，直接写出
m 的取值范围．
23. 某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请
居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取 20 名居民的两次问卷成绩（百
分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这 20 名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如下：
b．这 20 名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下
平均数 中位数 方差
讲座前 72.0 71.5 99.7
讲座后 86.8 m 88.4
c．结合讲座后成绩 x，被抽取的 20 名居民中有 5 人获得“参与奖” (x 80)，有 7 人获得“优秀奖”
(80 x 90) ，有 8 人获得“环保达人奖” (90 x 100)，其中成绩在80 x 90 这一组的是：
80 82 83 85 87 88 88
根据以上信息，回答下列问题：
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（1）居民小张讲座前的成绩为 80 分，讲座后的成绩为 95 分，在图中用“○”圈出代表居民小张的点；
（2）写出表中m 的值；
（3）参加公益讲座的居民有 160 人，估计能获得“环保达人奖”的有_____人．
24. 如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨
度 AB为 12 米，拱桥顶面最高处到水面的距离 CD为 4 米．
（1）在边长为 1 的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点 A，B，C，并用平滑
曲线连接；
（2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；
（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为 4 米，顶棚到水面的高度为2.8 米．当游船从拱桥正下方通过时，
为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．
25. 如图， AB 是 O 的直径，弦CD ⊥ AB 于点 E ，过点 D 作 DH ⊥ CB 交CB 的延长线于点 H ，点 F
是 DH 延长线上一点，CF = CD ．
（1）求证：CF 是 O 的切线；
1
（2）若 tan DCB = ，CF = 8，求 O 半径的长．
2
2
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2x + c (a 0)与 y 轴交于点A ，将点A 向右平移 4 个单
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位长度，得到点 B ．
（1）若c = 4，点C ( 2, 4)在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；
（2）若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数图像，求 a的取值范围．
27. 如图，在等边 ABC 中，点 D ， E 分别在CB ， AC 的延长线上，且 BD = CE ， EB 的延长线交 AD
于点 F ．
（1）求 AFE 的度数；
（2）延长 EF 至点G ，使 FG = AF ，连接CG 交 AD 于点 H ，依题意补全图形，猜想线段CH 与GH
的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点M （不与点O 重合）和线段 PQ ，给出如下定义：连接OM ，平移
线段OM ，使点M 与线段 PQ 的中点M 重合，得到线段O M ，则称点O 为线段 PQ 的“中移点”．已
知 O 的半径为 1．
（1）如图，点 P ( 1，0)，点Q (m，4)，
①点M 为 O 与 y 轴正半轴的交点，OO = 5 ，求m 的值；
②点M 为 O 上一点，若在直线 y x 3上存在线段 PQ 的“中移点”O ，求m 的取值范围；
1
（2）点Q 是 O 上一点，点M 在线段OQ 上，且OM = t 0 t ．若 P 是 O 外一点，点O 为线
2
段 PQ 的“中移点”，连接OO ．当点Q 在 O 上运动时，直接写出OO 长的最大值与最小值的差（用
含 t 的式子表示）．
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参考答案
第一部分 选择题
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
第 1－8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 【答案】A
【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可．
【详解】根据主视图和左视图为矩形，则几何体为柱体；
由俯视图为圆形，所以得几何体为圆柱．
故选 A．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
2. 【答案】B
【分析】根据数轴上点的位置推出 3 a 0 b，a b ，进而推出 a b，a + b 0 ，由此即可得到答
案．
【详解】解：由题意得， 3 a 0 b，a b ，
∴ a b，a + b 0 ，
∴四个选项中只有 B 选项符合题意，
故选 B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确推出 3 a 0 b，a b 是解题的关键．
3. 【答案】C
【分析】根据 n边形的内角和为(n-2) 180°得到(n-2) 180=540，然后解方程即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为 n，
∴(n-2) 180=540，
∴n=5．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为(n-2) 180°．
4. 【答案】D
2
S AB
【分析】先求出 AB = 3AM ，再证明△AMN ∽△ABC 得到 △ABC = = 9 ，由此即可得到答案．
S△AMN AM
【详解】解：∵ BM = 2AM ，
∴ AB = 3AM ，
∵MN∥ BC ，
∴△AMN ∽△ABC ，
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2
S
∴ △ABC
AB
= = 9 ，
S△AMN AM
∵ AMN 的面积为 1，
∴ ABC 的面积为 9，
故选 D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题
的关键．
5. 【答案】A
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得 CAB = CBD = 35 ，根据直径所对的圆周角为 90 度可得
ADB = 90 ，进而可得 CBA = 90 CAB = 55 ， ABD = CBA CBD = 20 ．
【详解】解：如图，连接 AD ， AC ，
BC = DC ， CBD = 35 ，
CAB = CBD = 35 ，
AB 为 O 的直径，
ADB = 90 ，
CBA = 90 CAB = 55 ，
ABD = CBA CBD = 55 35 = 20 ，
故选 A．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半
圆（或直径）所对的圆周角是直角．
6. 【答案】D
【分析】分别按照平均数，中位数，众数，方差的求解方法，去求发生变化前后的数值．
1+2+5+0+2
【详解】解：A、发生变化前的平均数： x1= =2，发生变化后的平均数：
5
1+ 2+ 5+ 0+ 2+ 2
x2 = =2，，没有变化，故该选项不符合题意；
6
2+ 2
B、发生变化前的中位数： 2 ，发生变化后的中位数： = 2，没有变化，故该选项不符合题意；
2
C、发生变化前的众数：2，发生变化前的众数：2，没有变化，故该选项不符合题意；
2 2 2 2
2 (2 2) + (0 ) + ( ) + (5 )
D、发生变化前的方差： s2 = = 2.8，发生变化后的方差：1
5
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2 2 2 2
2 3 (2 2) + (0 ) + ( ) + (5 ) 7s2 = = ，发生变化，故该选项符合题意；
6 3
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，熟记概念和公式是解题的关键．
7. 【答案】C
【分析】根据频率与概率的关系逐项判断即可得出答案．
【详解】解：当移植的棵树是 800 时，成活的棵树是 688，所以“移植成活”的频率是 0.860，但概率不一
定是 0.860，故①错误；
随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在 0.852 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植
成活”的概率是 0.852，故②正确；
试验条件下“移植成活”的概率是 0.852，因此与试验相同条件下，若移植 10000 棵这种树苗，可能成活
8520 棵，故③正确；
在用频率估计概率时，移植 3000 棵树时的频率 0.852 不一定比移植 2000 棵树时的频率 0.853 更准确，故④
错误；
其中合理的是②③，
故选 C．
【点睛】本题考查用频率估计概率，一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率会稳定在某一个
常数 p的附近，那么事件 A发生的概率 P (A) = p，掌握上述内容是解题的关键．
8. 【答案】D
【分析】根据 y值随 x的变化情况，逐一判断．
【详解】解：①当货车开始进入隧道时 y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时
y不变且最大，当货车开始离开隧道时 y逐渐变小．故①正确；
②王大爷距离家先 y逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时 y不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回
家，即 y逐渐变小，故②正确；
③往空杯中匀速倒水，倒满后停止，水的体积逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水
量先保持不变，然后逐渐减少，杯中水的体积 y与所用时间 x，变量 y与 x之间的函数关系符合图象，故③
正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准
确的信息．
第二部分 非选择题
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9. 【答案】x≥3
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于 x的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】由题意可得：x—3≥0，
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解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
10. 【答案】 x = 5
【分析】先将分式方程转化为整式方程，再解方程，检验即可．
【详解】解：方程两边同乘 x(x +1)，得 2x = 5( x + 3)，
即 2x = 5x +15，
解得 x = 5，
经检验， x = 5是原方程的解，
故答案为： x = 5．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
11. 【答案】2 或 3
【分析】先估算出 3 、 10 的大小，然后确定范围在其中的整数即可．
【详解】∵ 3 2 ，3 10
∴ 3 2 3 10
即比 3 大且比 10 小的整数为 2 或 3，
故答案为：2 或 3
【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．
12. 【答案】 8
【分析】先根据已知条件式得到3x2 x =1，再把所求式子去括号并合并同类项化简得到3x2 x 9 ，把
3x2 x =1整体代入求解即可．
【详解】解：∵ 3x2 x 1= 0 ，
∴3x2 x =1
∴ (2x + 3) (2x 3) x (x +1)
= 4x2 9 x2 x
= 3x2 x 9
=1 9
= 8，
故答案为： 8 ．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确把所求式子化简为3x2 x 9 是解题的关键．
13. 【答案】2（答案不唯一）
【分析】先确定 k 的取值范围，然后在范围内去一个值即可．
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k 1
【详解】如图，在 y2 = (x 0)上任取一点A ，作 AB ⊥ x轴，交 y1 = (x 0)与点D ，作 AC ⊥ y
x x
轴，过点D 作 DE ⊥ y轴，
k 1
设 A a, ，则 D a, ，
a a
k 1
∴OC = ，OE = ．
a a
∵OC OE ，
k 1
∴ ．
a a
∵ a 0 ，
∴ k 1．
∴k的值可以是 2．
故答案为：2．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14. 【答案】10
【分析】如图所示，连接 BD，先证明MN 是△BCD 的中位线，得到 BD = 2MN =10，再根据矩形的
对角线相等即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 BD，
∵点 M，N分别为 BC，CD的中点，
∴MN 是△BCD 的中位线，
∵MN = 5 ，
∴ BD = 2MN =10，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ AC = BD = 10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，熟知三角形中位
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线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键．
1
15. 【答案】
2
【 分 析 】 根 据 矩 形 的 性 质 ， B = C = D = 90 ， 根 据 折 叠 可 得 AE = AB ， 进 而 得 出
DE 1
sin DAE = = ，则 DAE = 30 ，进而得出 CEF = 30 ，即可求解．
AE 2
【详解】解：∵四边形 ABCD是矩形，
∴ B = C = D = 90 ，
∵将矩形纸片 ABCD折叠，使点 B 与CD 边的中点 E 重合，
∴ AE = AB
DE 1
∴ sin DAE = = ，即 DAE = 30 ，
AE 2
∴ DEA = 60
∴ CEF =180 60 90 = 30
CF CF 1
∴ = = sin CEF = ，
BF EF 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正弦的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16.【答案】 ①. 2, 4,6 ②. 3,8,10
【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙丙的三
张牌数字和相同进行分配即可．
【详解】解：已知红桃 2 ~ 10 有数字 2,3,4,5,6,7,8,9,10共计9张牌
甲的三张牌数字之和为12的情况有 2, 4,6、 2,3,7 、3, 4,5三种组合，
9张牌中共有 4 个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数，
甲最多只能有一个奇数，只有 2, 4,6符合，
乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，
乙的三张牌数字为5,7,9，丙的三张牌数字为3,8,10 ，
故答案为： 2, 4,6；3,8,10
【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键．
三、解答题（共 68 分，第 17－20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22－23 题，每题 5 分，第
24－26 题，每题 6 分，第 27－28 题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
程．
17. 【答案】5 3
【分析】先计算特殊角三角函数、化简二次根式、去绝对值、计算负整数次幂，再进行加减运算．
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1
1
【详解】解： 4sin 60 + 27 2 +
2
3
= 4 +3 3 2+ 2
2
= 2 3 + 3 3 2+ 2
= 5 3
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂的运算法则
是解题的关键．
18. 【答案】不等式组的解集为：1 x 6，整数解为： 2,3, 4,5
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
1+ x 5 3x①

【详解】解： x + 6 ，
x ②
2
解不等式①得： x 1
解不等式②得： x 6
∴不等式组的解集为：1 x 6，
∴整数解为： 2,3, 4,5
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确掌握一元一次不等式解集确定方法
是解题的关键．
19. 【答案】（1）见解析 （2） PC ，菱，四边相等的四边形是菱形
【分析】（1）根据题意，按照步骤补全作图即可；
（2）根据菱形的判定与性质求解即可．
【小问 1 详解】
解：直线 PQ 如下图所示：
【小问 2 详解】
证明：连接 DQ ．
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CD = DQ = PQ = PC ，
四边形 PCDQ 是菱形（四边相等的四边形是菱形）．
PQ∥ AB ．
故答案为： PC ，菱，四边相等的四边形是菱形．
【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质，解题的关键是根据作图方法判断出
CD = DQ = PQ = PC ．
20. 【答案】（1）证明见解析
（2）3
【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可；
s + 2s = 2m
（2）设方程的两个根分别为 s、2s ，利用根与系数的关系得到 2 ，由此建立关于 m的方程求
s 2s = m 1
解即可．
【小问 1 详解】
2 2
证明：由题意得，Δ = ( 2m) 4 1 (m 1)
= 4m2 4m2 + 4
= 4 0 ，
∴关于 x的一元二次方程 x2 2mx + m2 1= 0 总有两个不相等的实数根；
【小问 2 详解】
解：设方程的两个根分别为 s、2s ，
s + 2s = 2m
∴
s 2s = m2
，
1
2
∴ s = m，
3
2
2
∴2 2 m = m 1，
3
8
m2 = m2∴ 1，
9
解得m = 3，
又∵m 1，
∴m = 3．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键．
21. 【答案】（1）证明见解析
（2） 13
【分析】（1）根据菱形的性质可得 AC ⊥ BD ，再根据 BE∥ AC ，CN∥DB 可得四边形 BECO 是平行四
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边形，进而证明四边形 BECO 是矩形；
（2）根据题意可得 ABC 是等边三角形，勾股定理求得 BO的长，进而求得 BD的长，在Rt△BED
中，勾股定理即可求解．
【小问 1 详解】
证明： 四边形 ABCD是菱形，
AC ⊥ BD ，
BE∥ AC ，CN∥DB
四边形 BECO 是平行四边形，
OC ⊥ BO，
平行四边形 BECO 是矩形；
【小问 2 详解】
解： 四边形 ABCD是菱形，
AB = BC ，
BAC = 60 ，
ABC 是等边三角形，
∴ ABC = 60
1
CBO = ABC = 30 ，
2
在Rt BOC 中， BC = AB = 2，
1
∴OC = BC =1
2
OB = BC2 OC2 = 3，
BD = 2BO = 2 3，
四边形 BECO 是矩形，
BE =OC =1， EBD = 90 ，
2
在Rt△BED 中， ED = BE2 + BD2 = 12 + (2 3) = 13．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，含 30 度角的直角三角形
的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
1
22. 【答案】（1） y = x 2
3
（2）m 3
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【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
1 1
（2）先求出不等式 2x +m x 2 的解集，再根据当 x 3 时， 2x +m x 2 ，即可得到
3 3
6 3m
3 ，解不等式即可得到答案．
5
【小问 1 详解】
3k +b = 1
解：把 A(3, 1)， B (0, 2)代入 y = kx +b (k 0)中得： ，
b = 2
1
k =
∴ 3 ，

b = 2
1
∴函数 y = kx +b (k 0)的结束为 y = x 2；
3
【小问 2 详解】
1 1
解：当函数 y = 2x +m 的值大于函数的 y = x 2值时，则2x +m x 2 ，
3 3
6 3m
解得 x ，
5
∵当 x 3时，对于 x的每一个值，函数 y = 2x +m 的值大于函数 y = kx +b (k 0)的值，
6 3m
∴ 3 ，
5
∴m 3．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，灵活运用所学知识是
解题的关键．
23. 【答案】（1）见解析 （2）87.5
（3）64
【分析】（1）找出横坐标是 80，纵坐标是 95 的点即可；
（2）根据中位数的定义求解；
（3）利用样本估计总体思想求解．
【小问 1 详解】
解：代表居民小张的点如下图所示：
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【小问 2 详解】
解：将讲座后 20 人的成绩从低到高排序，第 10 名和第 11 名的成绩分别为 87，88，
87+88
因此中位数m = = 87.5；
2
【小问 3 详解】
8
解：160 = 64（人），
20
即估计能获得“环保达人奖”的有 64 人，
故答案为：64．
【点睛】本题考查统计图、中位数、利用样本估计总体等知识点，解题的关键是看懂所给统计图，掌握中
位数的定义，能够利用样本估计总体思想解决问题．
1 4
24. 【答案】（1）见详解 （2） y = x
2 + x
9 3
（3）能安全通过，理由见详解
【分析】（1）以点 A 为原点， AB 所在的直线为 x轴，过点A 作垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立平面直角
坐标系即可；
（2）待定系数法求抛物线的表达式即可；
（3）游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为 x = 6, 游船也关于直线 x = 6 对称，宽度为 4 米，对称
轴左右两边各 2 米，当 x = 6 2 = 4时，求出 y 的值，再进行比较即可．
【小问 1 详解】
以点 A 为原点， AB 所在的直线为 x轴，过点A 作垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图
所示，
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【小问 2 详解】
解： A(0,0), B(12,0) ，根据交点式，设抛物线的表达式为 y = a(x 0)(x 12) = ax2 12ax，
1
代入点C(6, 4) 得：36a 72a = 4,a = ，
9
1 2 4
抛物线的表达式为 y = x + x ；
9 3
【小问 3 详解】
解：能安全通过，理由如下:
游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为 x = 6, 游船也关于直线 x = 6 对称，
宽度为 4 米，对称轴左右两边各 2 米
1 2 4 32
当 x = 6 2 = 4时， y = 4 + 4 = ，
9 3 9
32 55
0.5 = 2.8，
9 18
故能安全通过．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
25. 【答案】（1）见解析 （2）5
【分析】（1）连接OC ，根据等腰三角形三线合一得出 DCH = FCH ，再由等腰三角形的性质得出
OCB = OBC ，利用等量代换确定 OCF = 90 ，即可证明；
（2）根据垂径定理得出 CE = DE = 4 ，再由正切函数的定义得出 BE = 2 ，设 O 半径的长为 r，则
OE = r 2，利用勾股定理求解即可．
【小问 1 详解】
证明：连接OC ，如图所示：
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∵CF = CD ，CH ⊥ DF ，
∴CH 平分 DCF ，
∴ DCH = FCH ，
∵CO = BO ，
∴ OCB = OBC ，
∵CD ⊥ AB ，
∴ BCE + OBC = 90 ，
∴ OCB + HCF = 90 ，即 OCF = 90 ，
∴OC ⊥ CF ，
∵OC 为 O 的半径，
∴CF 是 O 的切线；
【小问 2 详解】
∵CF = 8，CF = CD ，
∴CD = 8 ，
∵CD ⊥ AB ，
∴CE = DE = 4 ，
1
∵ tan DCB = ，
2
BE 1
∴ = ，
CE 2
∴ BE = 2，
设 O 半径的长为 r，则OE = r 2，
∵OE 2 +CE 2 =OC 2 ，
2
∴ (r 2) + 42 = r2 ，
解得： r = 5，
∴ O 半径的长为 5．
【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，正切函数的定义，垂径定理及勾股定理，理解题
意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
第20页/共25页
2
26. 【答案】（1） y = x 2x + 4，对称轴为直线 x= 1
1
（2） a<0或0 a
2
【分析】（1）把 c = 4，C ( 2, 4)代入抛物线解析式求出抛物线解析式，进而求出对称轴即可；
（2）分 a 0 和 a 0 两种情况，画出对应的函数图象，结合函数图象求解即可．
【小问 1 详解】
解：∵ c = 4，
∴抛物线解析式为 y = ax2 2x + 4 ，
把C ( 2, 4)代入 y = ax2 2x + 4 得：4 = 4a + 4 + 4 ，
解得 a = 1，
2
∴抛物线解析式为 y = x2 2x + 4 = (x +1) + 5 ，
∴抛物线对称轴为直线 x= 1；
【小问 2 详解】
2
解：∵抛物线 y = ax 2x + c (a 0)与 y 轴交于点A ，
∴ A(0，c)，
∵将点A 向右平移 4 个单位长度，得到点 B ，
∴ B (4，c)；
当 a 0 时，如图 3-1 所示，
∵抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，
2
∴当 x = 4 时， y = ax 2x + c c ，
∴16a 8 + c c ，
1
∴0 a ；
2
第21页/共25页
当 a 0 时，如图 3-2 所示，
由函数图象可知，对于任意的 a都符合题意；
1
综上所述， a 0 或0 a ．
2
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与 x轴的交点问题，利用数形结合的思想求解是解
题的关键．
27. 【答案】（1） AFE = 60
（2）GH = HC ，证明见解析
【 分 析 】（1） 由 三 角 形 ABC 为 等 边 三 角 形 ， 利 用 等 边 三 角 形 的 性 质 得 到 AB = BC ，
ACB = ABC = 60 ，利用等角的补角相等得到夹角相等，利用 SAS 得到三角形 ABD 与三角形 BCE
全等，利用全等三角形的对应角相等得到 D = E ，利用外角性质及等量代换即可得证；
（2）在FE上取 FM = FG ，连接 AM , MC ，证明 FAB≌ MAC ，进而证明 FH∥MC ，根据平行线
分线段成比例即可得出结论．
【小问 1 详解】
证明： ABC 为等边三角形，
AB = BC ， ACB = ABC = 60 ，
ABD = BCE =120 ，
在 ABD 和 BCE 中，
AB = BC

ABD = BCE ，

BD =CE
ABD≌ BCE (SAS )，
D = E ，
则 AFE = D + DBF = E + CBE = ACB = 60 ．
【小问 2 详解】
证明：补全图形，如图所示，在FE上取 FM = FG ，连接 AM , MC ，
第22页/共25页
∵ AFM = 60 ， AF = FG, FM = FG
∴ AF = FM
∴△AFM 是等边三角形，
∴ FAM = AMF = 60 ， AF = AM ，
∴ FAB = MAC ，
又∵ AB = AC ，
∴ FAB≌ MAC (SAS)，
∴ AMC = AFB = 60 ，
∴ FAM = AMC = 60 ，
∴ FH∥MC ，
GH GF
∴ = =1，
HC FM
∴GH = HC ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，平行线
分线段成比例，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
28. 【答案】（1）①m = 3或m = 5；② 1 2 2 m 1+ 2 2 ；
（2）1 2t
【分析】（1）①如图，连接OP ，根据“中移点”确定点M 和O 的坐标，然后根据勾股定理即可求出m
的值，
②由①得， M 的半径为 1，圆心M 在直线 y = 2上，当 M 与直线 y x 3相切时，可求得m 的值
即可．
（2）如图，当点 P 、Q 在同一象限内，存在OO 最小，当 P 、Q 在相对象限内，存在OO 最大值，再
根据三角形三边的关系可得当O ， M ，Q ，O ，M 在同一直线上且Q ，Q1 关于原点对称时，O O
有最小值，设 P 、Q 的坐标，分别求出OO ，O O 即可．
【小问 1 详解】
解：①如图：连接OP ，
第23页/共25页
，
点 P ( 1，0)，点Q (m，4)，M 为线段 PQ 的中点，
m 1
∴M ，2 ，
2
∵点M 为 O 与 y 轴正半轴的交点，
MO =1，
平移线段OM ，使点M 与线段 PQ 的中点M 重合，得到线段O M ，
∴M O = MO =1，
m 1
∴O ，1 ，
2
2
m 1
∴OO = +1
2 = 5 ，
2
解得：m = 3或m = 5；
②由①得， M 的半径为 1，圆心M 在直线 y = 2上，
当 y = 2时， 2 = x + 3，
解得 x= 1，
∴ N ( 1，2)，
直线 y x 3与坐标轴的交点坐标为 A( 3，0)， B (0，3)，
M 与直线 y x 3的切点为G ，如图，
∴ BAO = M NG = 45 ，
第24页/共25页
∴△M GN 是等腰直角三角形，
∴M N = 12 +12 = 2 ，同理M N = 12 +12 = 2 ，
∴m 的取值范围为： 1 2 2 m 1+ 2 2 ；
【小问 2 详解】
解：如图，经分析，当点 P 、Q 在同一象限内，存在OO 最小，当 P 、Q 在相对象限内，存在最大值
OO ，
OO OO O O ，
当O ，M ，Q ，O ，M 在同一直线上且Q ，Q1关于原点对称时，O O 有最小值，
设Q(a,b)， P(c,d ) ，则 a2 + b2 =1，
PQ = (a c)2 + (b d )2 ， PQ = (a c)21 + (b d )
2 + 2 ，
1 1 2 1 1 QM = PQ = (a c) + (b d )2 t ，QM = PQ1 = (a c)
2 + (b d )2 +1+ t ，
2 2 2 2
1 1
OO OO = (a c)2 + (b d )2 +1+ t (a c)
2 + (b d )2 t =1 2t ．
2 2
【点睛】本题主要考查了平移的性质、圆的基本性质、两点间距离公式、勾股定理等知识点，正确画出图
形、明确线段间的关系是解答本题的关键．
第25页/共25页