南昌十九中2023-2024学年下学期高三第四次模拟考试数学
试卷答案
一、单选题
1． D. 2． C. 3． 4．C．5．B. 6．D 7．D. 8．A.
二、多选题
9．BD. 10．BCD． 11．AC
三、填空题
12． 13．10.65 14．.
四、解答题
15．【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，所以.
（2）由（1）易知，因为.所以，
由余弦定理，得.又因为，所以代入得，
所以，所以.又因为，所以，
所以的周长为.
16．【详解】（1）由棱台定义，可得的延长线必定交于一点，
在中，因为，所以为的中位线，所以.
又因为，则，且，所以四边形为平行四边形，可得，
因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：由平面平面，过点作，
因为平面平面，平面，所以平面，即为四棱锥的高，由，则在直角中，，当且仅当时成立，
此时点与重合，此时，四棱锥取最大值.
如图所示，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，则，
所以与平面夹角的正弦值为.
17．【详解】（1）当时，R），所以，令，则，
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以，所以的极小值为，无极大值.
（2）函数在上仅有两个零点，
令，则问题等价于在上仅有两个零点，易知，因为，所以.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以在上没有零点，不符合题意；
②当时，令，得，所以在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.
因为在上有两个零点，所以，所以.
因为，令，则，
所以在上，，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，即当时，在上仅有两个零点.
综上，实数的取值范围是.
18．【详解】（1）由题可得，，的中点为，
故椭圆的方程为；
（2）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，
由，得.
设，则，依题意可知直线的斜率存在，
直线的方程为，令，得
，同理可求得，
，线段的中点为定点.
19．【详解】（1）当时，赌徒已经欠债元，因此．
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率；
（2）记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元上一场赢的事件，
，即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得；
（3），由（2），
代入可得，即，
当时，，当时，，
当B增大时，也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光并负债．南昌十九中 2023-2024 学年下学期高三第四次模拟考试数学试卷
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1
1．已知集合M x 0 ，则 RM （ ）
x 1
A． x x 1 B． x x 1 C． x x 1 D． x x 1
a b
2．设a，b R，则“ab 0 ”是“ 0 ”的（ ）
a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5 4
3． 1 x 1 2x 的展开式中 x2 的系数为（ ）
A． 14 B． 6 C．34 D．74
P B A P A
4．人工智能领域让贝叶斯公式：P A B 站在了世界中心位置，AI 换脸是一项深度伪造技术，某视
P B
频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为 0.001．某团队决定用 AI 对抗 AI，研究了深度鉴伪技术
来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是 0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的
误报率是 0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频
是“AI”合成的可能性为（ ）
A．0.1% B．0.4% C．2.4% D．4%
1 1 1
5．若 ，则sin 2 （ ）
sin2 tan tan
1 1
A． B．0 C． D．1
2 2
6．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.
如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形 ABCDEFGH ，其中 AB 1,O为正八边形的中心，则
AB HD （ ）
A． 2 1 B．1 C． 2 D．1 2
7．加斯帕尔·蒙日是 18～19 世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都
x2 y2
在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆C ： 1， P 是直线 l ：
9 7
试卷第 1 页，共 4 页
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4x 3y 20 0上一点，过 P 作C 的两条切线，切点分别为M 、 N ，连接OP （O是坐标原点），当 MPN 为直角
时，直线OP 的斜率 kOP （ ）
4 4 3 3
A． B． C． D．
3 3 4 4
1 1 1
8．已知 log a ， log4 b 6 ，c 1 e3
e ，则（ ）
4
A．a b c B．b
C．b a c D． a c b
二 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
2 π π
9．已知 f x sin x cos
2
x ( 0)，下列判断正确的是（ ）
3 3
π
A．若 f x1 f x2 0，且 x1 x2 ，则 2 min 2
π
B． 1时，直线 x 为 f x 图象的一条对称轴
6
π
C． 1时，将 f x 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
3
53 59
D．若 f x 在 0,2π
上恰有 9 个零点，则 的取值范围为 , 24 24
10．如图，已知正三棱锥 A PBC和正三棱锥D PBC的侧棱长均为 2, BC 2．若将正三棱锥 A PBC绕BC旋转，
使得点 A, P分别旋转至点 A , P 处，且 A , B,C, D四点共面，点 A , D分别位于BC两侧，则下列说法中正确的是（ ）
A．多面体 ABDPC存在外接球 B． PP BC
3π
C．PP //平面 A BDC D．点 P 运动所形成的最短轨迹长大于
3
11．已知 f x x2 xlnx 2， g x f x ex，则（ ）
1
A．函数 f x 在 ,1 上的最大值为 3 B． x 0， f x 2
4
C．函数 g x 在 3,4 上没有零点 D．函数 g x 的极值点有 2 个
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若向量a 3, 4 在向量b 2,1 上的投影向量为 b，则 等于 ．
13．某单位有男职工 30 人，女职工 70 人，其中男职工平均年龄为 40 岁，方差为 4，女职工平均年龄为 35 岁，方
差是 6，则该单位全体职工的方差为 .
1 n 1 n n n
14．已知首项为 的正项数列满足 an 满足an an 1，若存在n N*，使得不等式 m ( 1) an m ( 1) an 3 0成2
立，则m 的取值范围为 ．
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四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（13 分）在 ABC中，角 A, B,C 的对边分别是a,b,c，且4acosB bcosC ccosB .
(1)求 cosB的值；
3 15
(2)若 ABC的面积为 ,b 3 2 ，求 ABC的周长.
2
1
16．（15 分）如图，在四棱台 ABCD A1B1C1D1中，O为 AC 的中点， AA1 A1C1 C1C AC 2 .
2
(1)证明：OC1 / / 平面 AA1D1D；
(2)若平面 ABCD 平面 ACC1A1 ， AB BC ，当四棱锥B AA1C1C 的体积最大时，求CC1 与平面 AA1B1B夹角的正弦
值.
x
17．（15 分）已知函数 f x x e kx ,k R .
(1)当 k 0时，求函数 f x 的极值；
(2)若函数 f x 在 0, 上仅有两个零点，求实数 k 的取值范围.
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x2 y2
18．（17 分）已知椭圆C : 1(0 b 2 2)，右顶点为E ，上 下顶点分别为B
2 1
, B2 ,G是EB1的中点，且
8 b
EB . 1 GB2 1
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点D 4,0 的直线 l 交椭圆C 于点M , N ，点 A 2, 1 ，直线MA, NA分别交直线 x 4于点P,Q，求证：线
段 PQ的中点为定点.
19．（17 分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言
处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……
X t 2 , X t 1, X t , X t 1，…，那么 X t 1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 X ，即P X t 1 X, t 2X, t 1X, t P X tXt 1 t ．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得 1 元，每一局赌徒
赌输的概率为50%，且赌输就要输掉 1 元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒
*
的本金为 A A N , A B 一种是赌金达到预期的 B 元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌
场借钱，最多借 A 元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
当赌徒手中有 n 元 A n B,n Z 时，最．终．欠．债．A 元．（．可．以．记．为．该．赌．徒．手．中．有． A元．）．概．率为P(n)．． ，请回答下列
问题：
(1)请直接写出P( A)与P(B)的数值．
(2)证明{P(n)}是一个等差数列，并写出公差 d．
(3)当 A 100时，分别计算B 300, B 1500时，P(A)的数值，论述当 B 持续增大时，P(A)的统计含义．
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