南昌十九中 2023-2024 学年下学期高一期中考试（数学）试卷
一、单选题（每题 5分）
1．在 OMN 中，ON MN MO （ ）
A．0 B．2MO C．2ON D．2OM
2 ．已知 a x ,1 ，b 2, 1 ，若a∥b，则实数 x的值为（ ）
A 1 1． 2 B．2 C． 2 D． 2
3．已知 cos 3 sin
8
，则 cos
π
5 3
（ ）
3 4 3 4
A． B． C．- D．
5 5 5 5
4．如图， ， 是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则 （ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
5．已知向量a，b满足 a 2 3， b 3
π
，且a，b的夹角为 ，则向量b在向量 a方向上的投影向量为（ ）3
3 3 3 A． b B． b 34 C． a D．4 4
a
4
1 1 1
6．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 , , ，则此人（ ）
25 22 7
A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形
7．古希腊数学家帕普斯（Pappus，约 A．D．290－A．D．350）利用如图所示的几何图形，由 |OC | |OD | |CD |
直观简洁地证明了当 , 为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（ ）
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABKYIUgggIAJIAABgCAwGyCEEQkAECAKoOQAAAsAAASRNABAA=}#}
A． cos( ) cos cos sin sin B． cos( ) cos cos sin sin
C． sin( ) sin cos cos sin D． sin( ) sin cos cos sin
b c 2
8．在 ABC中，a,b,c分别为角 A,B,C的对边，若 ，则a （ ）
cosB cosC cosBcosC
A 1 B 3． 2 ． C．1 D．22
二、多选题（每题 6分，错选 0分，未选全 3分）
9．在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若2bcsin2A b2 c2 a2，则 A的大小可能为（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 3 2 6
1
10．已知 0 x π，sin x cos x ，则（ ）
5
A． sin x cos x
12
sin x cos x 12B．
25 25
7
C． sin x cos x D． sin x cos x
7
5 5
π
11．在 ABC中，内角A， B，C的对边分别为 a，b，c， A ，b 2，则下列说法正确的是（ ）
3
A．若c 1，则CA AB 1
B．当 t R时， AC t AB 最小值为 3
C．当 ABC有两个解时， a的取值范围是 3,2
D．当 ABC为锐角三角形时， a的取值范围是 3,2 3
三、填空题（每题 5分）
12．已知在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c
a b c
，点G是 ABC的重心，且 GA GB GC 0，
3 5 7
则角C的大小为 ．
13． ABC中，角A的平分线交边BC于点D, AB 3, AC 2, BAC 60 ，则角平分线 AD的长为 ．
14．如图， AB1C1, B1B2C2 , B2B3C3是三个边长为 2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边 B3C3上有 5
个不同的点P1,P2 ,P3,P4 ,P5，设mi AC 2 AP i i 1,2, ,5 ，则m1 m2 m5 .
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABKYIUgggIAJIAABgCAwGyCEEQkAECAKoOQAAAsAAASRNABAA=}#}
四、解答题
1 tan
15．（13分）已知 2，求下列各式的值．
1 tan
sin 2cos
(1) ；(2)sin cos 2．
2sin cos
x x 3x 3x π
16．（15 a cos ,sin b 分）已知向量 ， cos , sin ，且 x , π .
2 2 2 2 2
(1) 若a b ，求 x的值；
(2)求 a b 的取值范围；
17．（15分）在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c
c cosC
，且 ．
2b a cosA
(1)求角C的大小；
(2)若c 2, ABC 的面积 3，求 ABC的周长．
18．（17分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 B与小岛A、小岛C相距都为 5 nmile，
3
与小岛D相距为3 5 nmile． BAD为钝角，且sinA ．5
(1)求小岛A与小岛D之间的距离；
(2)求四个小岛所形成的四边形的面积；
(3)记 BDC为 ， CBD为 ，求sin 2 的值．
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABKYIUgggIAJIAABgCAwGyCEEQkAECAKoOQAAAsAAASRNABAA=}#}
19 17
π
．（ 分）已知函数 f x Asin x A 0, π 的图象如图所示，点B、D、F为 f (x) x2 与 轴的交点，
1
点C， E分别为 f (x)的最高点和最低点，而函数 f (x)在 x 处取得最小值.
2
(1)求参数 的值；
(2)若 A 1，求向量2BC CD与向量BC 3CD夹角的余弦值；
(3)若点 P为 f (x)函数图象上的动点，当点 P在C， E之间运动时， BP PF 1恒成立，求A的取值范围.
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABKYIUgggIAJIAABgCAwGyCEEQkAECAKoOQAAAsAAASRNABAA=}#}南昌十九中 2023-2024 学年下学期高一期中考试（数学）试卷
参考答案：
1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D 9．ACD 10．AD 11．ABD
b c bcosC c cos B 2
8.【详解】 ,所以bcosC ccosB 2，设 ABC外接圆的半径为 R，
cosB cosC cosBcosC cosBcosC
由正弦定理可得： 2Rsin BcosC 2RsinC cosB 2R sin BcosC sinC cosB 2Rsin B C 2Rsin A a 2 .
b29 c
2 a2 1
．【详解】依题可得 sin 2A cos A，即 2sin Acos A cos A，则 cos A 0或 sin A ，
2bc 2
π π 5π
因为 A 0, π ，所以 A 或 或 ．故选：ACD
6 2 6
1
10．【详解】 sin x cos x ， 5 sin x cos x
2 1 2sin xcos x 1 12 ， sin xcos x ，故 A正确 B错误；
25 25
24 49
由 0 x π，所以 cos x 0， sin x 0，又 sin x cos x 2 1 2sin xcos x 1 ，
25 25
7
所以 sin x cos x ，故 C错误 D正确.
5
11．【详解】 ABC π中，内角A， B，C的对边分别为 a，b， c， A ，b 2，
3
若 c 1，则CA AB CA AB cos π A bccos A 1，故 A正确；
2 2 2
当 t R时， AC t AB AC 2t AC A B t 2 AB b2 2tbc cos A t 2c2 4 2tc t 2c2 2 3 1 tc 3，
当 tc 1时等号成立，所以 AC t AB 最小值为 3，故 B正确；
a b
bsin A 3 3由正弦定理 ，则 ，当 ABC有两个解时， a b且 1，则 ，
sin A sin B sin B 3 a 2a a a
所以 a的取值范围是 3,2 ，故 C错误；
0 π B
π 2π π π 1
因为 A ，C π A B B，当 ABC 2为锐角三角形时， B sinB 13 3 0 2π π
，解得 ，则 ，
B 6 2 2
3 2
1 1 2 a b sin A 3，所以 ，所以 a的取值范围是 3,2 3 ，故 D正确.
sin B sin B sin B
2π
12．
3
【详解】记 AB , BC ,CA的中点分别为D,E,F，则GA GB 2GD，
由重心性质可知，GC 2GD，所以GC GA GB ，
答案第 1页，共 4页
{#{QQABKYIUgggIAJIAABgCAwGyCEEQkAECAKoOQAAAsAAASRNABAA=}#}
3
a b c 7a 3c 0
a c
所以 GA GB GA GB 0 7a 3c 7b 5c 7，即 GA GB 0，由平面向量基本定理可知3 5 7 21 35 7b 5c 0，即 ， b 5 c
7
9 c2 25 2 2a2 b2 c2 c ccosC 49 49 1所以， 3 5 ，因为C 0, π ，所以C
2π
.
2ab 2 c c 2 3
7 7
13 6 3． .
5
【详解】依题意，设 AD x， BAD CAD
1
BAC 30 ,由 S△BAD S2 △CAD
S△BAC ,可得，
1 3xsin 30 1 2xsin 30 1 2 3sin 60 6 3 6 3，解得: x .故答案为： .
2 2 2 5 5
14．90
【详解】因为 AB1C1, B1B2C2 , B2B3C3是三个边长为 2的等边三角形，所以△AB1C2为等腰三角形，
AB 1C2 120 , AB3C3 60
，所以 C2AB3 30
, AC2 2 3，延长 AC2 ,B3C3交于点D，如图所示，
则 D 90 ，所以 AC2 B3C3 ，所以 AC2 B3C3 0，所以mi AC2 APi AC2 AB3 B3Pi AC2 AB3 AC2 B3Pi
2 3 6 cos30 0 18 ，所以m1 m2 m5 90 .
1 tan
15．【详解】（1）由 2 tan
1 tan 2
，解得 .原式 5；
1 tan 3 2tan 1
sin cos tan 23
（2）原式
sin2 2
2 2 .
cos 1 tan2 10
答案第 2页，共 4页
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x
16．【详解】（1）首先有 a b cos cos
3x
sin x sin 3x cos x 3x
cos 2x .2 2 2 2 2 2
a
π 3π
由 b知cos2x a b 0，结合 x , π 可知 x . 2 4
2 2 2
（2）首先有 a b a b a b 2a b 1 1 2cos 2x 2 2cos 2x 2 cosx
x π
当 , π 时， cos x
的取值范围是 1,0 ，所以 a b 2 cosx 的取值范围是 0,2 .
2
c cosC17．【详解】（1）在 ABC中，由 ，得 ccosA acosC 2bcosC ，由正弦定理得
2b a cosA
sinCcosA sinAcosC 2sinBcosC ，即 sin C A 2sinBcosC，又C A π B，即 sin C A sinB，于是
1 π
sinB 2sinBcosC，由 B 0, π ，得 sinB 0，因此 cosC ，又C 0, π ，所以C ．
2 3
1
（2）由 ABC的面积 S ABC 3，得 absinC 3，得 ab 4，2
又 c 2，由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC，得 a2 b2 ab 4，则 a2 b2 8，
于是 (a b)2 a2 b2 2ab 16，解得a b 4，
所以 ABC的周长为 a b c 4 2 6．
3
18 3
2 4
．【详解】（1） sinA ，且 A为钝角， cosA 1 ，在△ABD中，由余弦定理可得5 5 5
BD2 AD2 AB2 2AD AB cosA， 23 5 AD2 52 2AD 4 5 5 ，即 AD2 8AD 20 0，
解得： AD 2或 AD 10（舍去）． 小岛 A与小岛D之间的距离为 2nmile．
（2） A、B、C、D四点共圆， A与C互补，则 sinC
3
cosC cos 180 4 A cosA ．
5 5
在 BDC中，由余弦定理得：CD2 CB2 2CD CB cosC BD2，
2
CD2 52 2CD 4 5 3 5 ，得CD2 8CD 20 0，解得CD 2（舍去）或CD 10．5
S 1 1 1 3 1 3
四边形 ABCD S△ABD S△BCD AB AD sinA CB CD sinC 5 2 5 10 3 15 18（平方海里），2 2 2 5 2 5
四个小岛所形成的四边形的面积为 18平方海里．
5 3 5
（3）方法 1：在 BDC
BC BD 5
中，由正弦定理得： ，即 ，解 sin ．
sin sinC sin 3
5 5
DC2 DB2 BC2， \ 为锐角，则 cos 2 5 ，
5
答案第 3页，共 4页
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又 sin 3 4 sin 180 C sinC ， cos cos 180 C cosC ，
5 5
sin 2 sin
5 4 2 5 3 2 5
sin cos cos sin ．5 5 5 5 25
方法 2
在三角形 BCD中，CD 10； BC 5； BD 3 5； 由余弦定理可得：
2
CD2 BD2 BC 2 10
2 2
3 5 52
cos CDB cos 2 5 ； 0,π
sin 1 cos2 1 2 5 5 ；
2CD BD 2 10 3 5 5 5 5
又 sin sin 180 C sinC 3 cos cos 180 C cosC 4 ， ，
5 5
sin 2 sin sin cos cos sin 5 4 2 5 3 2 5 ．5 5 5 5 25
1 π π
19．【详解】（1）由题意可得 f (x)在 x 处取得最小值，则 2kπ， k Z，
2 4 2
π π
所以 2kπ ， k Z， | | π，则 k 0 .
4 4
（2）由题， f (x) sin(
π x π) B(1 ,0) C(3 ，则 ， ,1)，D(
5 ,0)，
2 4 2 2 2
则 2BC CD 2 1,1 1, 1 1,3 ，BC 3CD 1,1 3 1, 1 4, 2 ，
2BC CD 10 ， 2BC CD BC 3CD 2， BC 3CD 2 5 ，设向量 2BC CD与向量CB 3CD的夹角
2BC CD BC 3CD 2 2
为 2，则 cos ， 0, π ，
10 π arccos
.
2BC CD BC 3CD 10 2 5 10
π π 3 7
（3） f (x) Asin(
π x π ) B(1 ,0) 9， ， F ( ,0)， P是 f (x)
上动点，设 P x, Asin( x ) , x , ，
2 4 2 2 2 4 2 2
1 BP x , Asin(
π x π 9 ) PF x, Asin(π x π ) BP 1 PF x 9 ， ， x
A sin(
πx π π π ) A sin( x )
2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 4
x2 5x 9 A2 sin2 ( π x π) y x2
9 3 7
5x , x , x 3 x 7 ，易知 ，在 或 处有最小值，4 2 4 4 2 2 2 2
y A2 sin2 ( π x π), x 3 , 7 3 7 3 7 在 x 或 x 处有最大值， 当 x 或 x 时， BP PF 有最小值，2 4 2 2 2 2 2 2
3 7 7
即当 P在C或 E时，BP PF 有最小值，此时 P ,A 或 P , A ，若 P , A ，则 BP (3, A)，2 2 PF (1, A)，
2
BP PF 3 A 2 1，又 A 0，解得0 A 2，
3
若 P ,A ，则 BP (1, A)，PF (3, A)， BP PF 3 A 22 1
，又 A 0，解得0 A 2，综上可得 A (0, 2] .
答案第 4页，共 4页
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