南昌十九中 2023-2024学年下学期高二期中考试
数学试卷
考试时间：120 分钟
第 I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合M x 2x 1 0 ,P x 2log2x 1 0 ，则M P （ ）
A x
1 x 2 1 B． x x 4 C． x 2 x 4 D． x 2 x 4． 2 2
2 x．已知集合 A x ln x 0 ， B x 2 2 ，则“ x A ”是“ x B ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知数列 an 对于任意 p,q N*，都有 ap q apaq，若 a1 2，则 a4 （ ）
A．2 B． 2 2 C．4 D． 4 2
4．若函数 f x 2ax ln x 在 1,3 上不单调，则实数 a的取值范围为（ ）
1 1 1 1 1
A． ， B． ,
1 , , , 1
1 , C． D．
6 2
6 2 6 2 6 2
5．已知函数 f (x) x(2x 2 x )，则 f (x 2) f (2x 1) 的解集为（ ）
A． ( 3,3) B． ( , 3) C． ( 3, ) D． 3,
1
3
6．已知函数 f x a ex e x
1
x3 bx既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成
3
立的是（ ）
A．b 2a B．b 2a C．b 2a D．b2 4a2
7．函数 f (x)在实数集R上连续可导，且 2 f (x) f (x) 0在R上恒成立，则以下不等式一定
成立的是（ ）
A． f 2 e3 f 1 f 2 f 2B ． f 1 2 C． f 1 2 D． f 2 e
3 f 1
e e
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABCYCUoggAAJBAABhCEwXiCEIQkBACCKoOhBAEoAAAiBFABAA=}#}
8．不等式 2xex 2ax ln 2x 1 0恒成立，则实数 a的最大值为（ ）
1 1
A． B． C．1 D． 2
4 2
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，（若有 3个正确选项，选对一个得 2 分。选对两个得 4
分，若有 2 个正确选项，选对一个得 3 分，选对两个得 6 分），有错选的得 0分。
9．已知等比数列 an 中，满足 a1 1,q 2，则（ ）
A．数列 a2n
1
是等比数列 B．数列 是递增数列
a
n
C．数列 log2an 是等差数列 D．数列 an 中， S10 , S20 , S30仍成等比数列
10．已知函数 f x 的导函数是 f x ， f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x 在 2, 1 上单调递减 B．函数 f x 在 1,1 上单调递减
C．函数 f x 在 x 3处取得极大值 D．函数 f x 共有 2个极小值点
f x f x11 ．已知函数 y f x 在R 上可导且 f 0 1，其导函数 f x 满足 0，对于
x 1
函数 g f xx x ，下列结论正确的是（ ）e
A．函数 g x 在 , 1 上为减函数 B． x= 1是函数 g x 的极小值点
C．函数 g x 必有 2 2个零点 D． e f e ee f (2)
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．在等差数列 an 中， a5 a7 a18 12，则 an 的前 19项和 S19 ．
试卷第 2页，共 4页
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13．已知函数 g x x ax 2ln x ，若曲线 y g x 在 x 1处的切线方程为 y 6x b，则
a b ．
m
14 2．若关于 x的方程 x x x 1有三个不等实数根，则实数m的取值范围是 ．e
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题 13分）已知函数 f (x) x3 3x2 9x 9．
(1)求 f (x)在 x 1处的切线方程;
(2)求 f (x)的单调区间和极值．
1 n 2 a
16．（本题 15 n 1分）在数列 an 中， a1 1，a2 ， a 是公差为 1的等差数列.3 n
(1)求 an 的通项公式；
(2)设bn n 1 anan 1，Sn为数列 bn 的前 n项和，若对任意 n N ，总有 Sn m 0，求m
的取值范围。
a17.（本题 15分）已知数列 n 2的通项公式为 an n，在 an 与 an 1中插入 n n 1个数，
2
使这 n n 1个数组成一个公差为 dn的等差数列，记数列 dn 的前 n项和为 Sn，
（1）求 dn 的通项公式及 Sn；
（2）设b an nn 1 ，Tn为数列 bn 的前 n项和，求Tn。2 Sn
试卷第 3页，共 4页
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18．（本题 17分）已知函数 f x ln x ax a R .
（1）若 f x 有且仅有一个零点，求 a的取值范围；
f x m
（2 x）当 a 1时，若 e 0恒成立，求m的取值范围.x x
ax
19．（本题 17分）已知函数 f (x) ln x
ex
．
(1)当 a 1时，证明： f (x)有且仅有一个零点．
(2)当 x 0时， f (x) x恒成立，求 a的取值范围．
(3)当 a 0时,证明: x2 f (x) 2xe x 2 0．
试卷第 4页，共 4页
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数学试卷答案
选择题填空题答案汇总
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A A C B D D C B AC BD ABD
5
12. 76 13. 2 14. ,0
e2
1．已知集合M x 2x 1 0 ,P x 2log2x 1 0 ，则M P （ ）
1 1
A． x x 2 B． x x 4 C． x 2 x 4 D． x 2 x 4
2 2
【答案】A
【分析】求出集合M ,P，根据集合交集运算可得结果.
1
【详解】因为M x 2x 1 0 x x ,P x 2log 2x 1 0 x 0 x 2 ，
2
M P 1 所以 x x x 0 x 2 1 x x 2 ．
2 2
故选：A．
2 x．已知集合 A x ln x 0 ， B x 2 2 ，则“ x A ”是“ x B ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必
要性.
【详解】不等式 ln x 0解得0 x 1，则 A 0,1 ；
不等式 2x 2解得 x 1，则 B ,1 .
0,1 ,1 ，
所以“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件.
故选：A
3．已知数列 an 对于任意 p,q N*，都有 ap q apaq，若 a1 2，则 a4 （ ）
试卷第 1页，共 10页
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A．2 B． 2 2 C．4 D． 4 2
【答案】C
【分析】根据题意，分别取 p q 1， p q 2然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为数列 an 对于任意 p,q N*，都有 ap q apaq，
取 p q 1，则 a2 a1 a1 2 2 2，
取 p q 2，则 a4 a2 a2 2 2 4，则 a4 4 .
故选：C
4．若函数 f x 2ax ln x 在 1,3 上不单调，则实数 a的取值范围为（ ）
1 1 1 , 1 , 1 1 ,
1 1
, , A． ， B． C． D． 6 2
6 2 6 2
6 2
f x 2ax ln x f x 2a 1 2ax 1【详解】由 ，得 .
x x
因为 f x 在 1,3 上不单调，所以 f x 在 1,3 上有极值点.
1
当 a 0时， f x 0在 1,3 上恒成立，
x
所以 f x 在 1,3 上单调递减，不满足题意；
1
当 a 0时，令 f x 0，得 x ，
2a
1 1 1
所以有1 3，解得 a .
2a 6 2
a 1 1 综上所述，实数 的取值范围为 , .故选：B.
6 2
5．已知函数 f (x) x(2x 2 x )，则 f (x 2) f (2x 1) 的解集为（ ）
A． ( 3,3)
1
B． ( , 3) C． ( 3, ) D． 3, 3
【详解】 f (x)定义域为R ， f ( x) x(2 x 2x ) x(2x 2 x ) f (x)，故 f (x)为R 上偶函数，
2x
当 x 0时， f (x) 2 x 2 x x(2 x 2 x) ln 2 2 1 x ln 2(2 x 2 xx ) ，2
因为 22x 1,22x 1 0,2 x 0 ，所以 f (x) 0，
所以 f (x)在 (0, )上单调递增，在 ( , 0)上单调递减，
所以 f (x 2) f (2x 1) | x 2 | | 2x 1| (x 2)2 (2x 1)2，
试卷第 2页，共 10页
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整理得， (x 3)(3x 1) 0，解得 x (
1
3, )，
3
故选：D．
6．已知函数 f x a x e e x
1
x3 bx既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成
3
立的是（ ）
A．b 2a B．b 2a C．b 2a D．b2 4a2
x x 2
【详解】由题意得 f x a e e x b，
∵ f x 既有极大值，也有极小值，
∴ f x 0有两个不同的根，
a ex e x即 x2 b 0有两个不同的根，
x x 2 b
显然 ab 0，故 e e x 有两个不同的根，
a
令 g x ex e x x2，则 g x 与 y b 图象有两个交点，
a
因为 g x ex e x 2x在 R 上单调递增，且 g 0 0，
所以当 x 0时， g x 0, g x 单调递减，当 x 0时， g x 0, g x 单调递增，
所以 g(x)min g 0 2；而 x 时， g x ， x 时， g x ，
b b2
所以 2，即 2 4，即a b
2 4a2，故选：D.
a
7．函数 f (x)在实数集R 上连续可导，且 2 f (x) f (x) 0在R 上恒成立，则以下不等式一定
成立的是（ ）
f 2 e3 f 1 f 2 f 2A B f 1 C f 1 ． ． 2 ． 2 D． f 2 e
3 f 1
e e
【详解】解：由 2 f (x) f (x) 0
f (x)
，可得设 g(x)
e2x
，
f (x)e2xg (x) f (x)e
2x 2 f (x) 2 f (x)
则
e4x
e2x
，
∵ 2 f (x) f (x) 0，∴ g (x) 0，即 g(x)在R 上单调递减，
∴ g 1 g 2 f 1 f 2 f 2 ，即 2 4 ，∴ f 1 2 ，e e e
又 g 2 g 1 f 2 f 1 6，即 4 2 ，所以 f 2 e f 1 ，e e
3
由于无法确定 f 1 的取值情况，故无法判断 f 2 与 e f 1 的大小关系，
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故选：C.
8.不等式 2xex 2ax ln 2x 1 0恒成立，则实数 a的最大值为（ ）
1 1
A． B． C．1 D． 2
4 2
【详解】
2a 2xe
x ln 2x 1 eln 2x x ln 2x 1 ln 2x x 1 ln 2x 1 故选：B．
1
x x x
9．已知等比数列 an 中，满足 a1 1,q 2，则（ ）
A．数列 a 12n 是等比数列 B．数列 是递增数列
an
C．数列 log2an 是等差数列 D．数列 an 中， S10 , S20 , S30仍成等比数列
n 1 2n 1
【详解】等比数列 an 中，满足 a1 1,q 2，则 an 2 ，有 a2n 2 ，
a
由 a2 2
2 n 1
， 4，数列 a2n 是首项为 2公比为 4的等比数列，故 A正确；a2n
1 1 n 1 1
而 ，则数列 是递减数列，故 B不正确；an 2 an
又 log2 an n 1， log2 a1 0， log2 an 1 log2 an n n 1 1，
故数列 log2an 是首项为 0公差为 1的等差数列，故 C正确；
1 210 S S
数列 an 中， S10 210 1 S 20 30
20 30
， 20 2 1， S30 2 1， S S ，故 D错误.1 2 10 20
故选：AC．
10．已知函数 f x 的导函数是 f x ， f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x 在 2, 1 上单调递减 B．函数 f x 在 1,1 上单调递减
C．函数 f x 在 x 3处取得极大值 D．函数 f x 共有 2个极小值点
试卷第 4页，共 10页
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【详解】解：由导函数 f x 图象知当时 f x ＞0，所以函数 f（x）在（﹣2，﹣1）上为单
调递增函数，故 A错误；
由导函数 f x 图象知 x∈（﹣1，1）时 f x ＜0，所以函数 f（x）在（﹣1，1）上为单调
递减函数，故 B正确；
由导函数 f x 图象知 x∈（1，3）时 f x ＞0，x∈（3，+∞）时 f x ＞0，f（x）在 x＝3
时不是极值，故 C错误，
由导函数 f x 图象知 x∈（﹣∞，﹣3）时 f x ＜0，x∈（﹣3，﹣1）时 f x ＞0，f（x）
在 x＝﹣3时取极小值，
由导函数 f x 图象知 x∈（﹣1，1）时 f x ＜0，x∈（1，3）时 f x ＞0，f（x）在 x＝
1时取极小值，故函数有两个极小值点；故 D正确.故选：BD．
f x f11 x ．已知函数 y f x 在R 上可导且 f 0 1，其导函数 f x 满足 0，对于
x 1
f x函数 g x x ，下列结论正确的是（ ）e
A．函数 g x 在 , 1 上为减函数 B． x= 1是函数 g x 的极小值点
C．函数 g x 必有 2个零点 D 2 e． e f e e f (2)
f x f x f x
【详解】因为 g x
ex
，所以 g x x ，e
f f x x f x 因为导函数 满足 0，
x 1
当 x 1时， f x f x 0，则 g x 0，所以 g x 是增函数；
当 x 1时， f x f x 0，则 g x 0，所以 g x 是减函数；
故 A错误，B正确；
又 f 0 1 f 0 ，则 g 0
e0
1，
当 g 1 0时， g x 没有零点；
当 g 1 0时， g x 有一个零点；
当 g 1 0时， g x 可能有 1个或 2个零点，故 C错误；
因为函数 g x 在 1, 上为增函数，
试卷第 5页，共 10页
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所以 g 2 g e f 2 f e ，即 ，整理得 e2 f e ee f (2)2 e ，故 D正确；e e
故选：ABD
12．在等差数列 an 中， a5 a7 a18 12，则 an 的前 19项和 S19 ．
【详解】设 an 的公差为 d，则 a5 a7 a18 3a1 27d 12 ，即 a1 9d 4．
19 a a 18d
故 S 1 119 19 a1 9d 76 ．故答案为：76.2
13．已知函数 g x x ax 2ln x ，若曲线 y g x 在 x 1处的切线方程为 y 6x b，则
a b ．
【详解】函数 g x x ax 2ln x ， g x 2ax 2ln x 2，
若曲线 y g x 在 x 1处的切线方程为 y 6x b，则切点坐标为 1,6 b ，切线斜率 k 6，
g 1 1 a 2 ln1 a 6 b a 2
则有 g 1 2a 2 ln1 2 2a 2 6，解得 ，
b 4
所以 a b 2．故答案为： 2 .
m
14 x x2．若关于 的方程 x x 1有三个不等实数根，则实数m的取值范围是 ．e
2 x
【详解】由已知可知关于 x的方程m x x 1 e 有三个不等实数根，
即函数 y x2 x 1 ex的图象与直线 y m有三个公共点，
2 x
构造函数 g(x) x x 1 e ，求导 g (x) (x 1)(x 2)e x ，
令 g (x) 0，解得 x1 1, x2 2
当 x ( 2,1)时， g (x) 0，故 g(x)在区间 ( 2,1)上单调递增，
当 x ( , 2) (1, )时， g (x) 0，故 g(x)在区间 ( , 2)和 (1, )上单调递减，
且 g(
5
2) 1 5 1 5
e2
， g(1) e，当 x 或 x 时， g(x) 0，
2 2
且当 x 时， g(x) 0，当 x 时， g(x) ，
画出 g(x) x2 x 1 ex的大致图象如图，要使 g(x)的图象与直线 y m有三个交点，需
g( 2) m 0 5 5，即 2 m 0
，即m的取值范围是
e
e2
,0 ．
5
故答案为： 2 ,0
e
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15．已知函数 f (x) x3 3x2 9x 9．
(1)求 f (x)在 x 1处的切线方程;
(2)求 f (x)的单调区间和极值．
【详解】（1） f (x)的定义域为R, f (x) 3x 2 6x 9 ．
所以 f (1) 12，又 f (1) 2，
因此， f (x)在 x 1处的切线方程为: y f (1) f (1)(x 1)．
化简得 y 12x 10；
（2） f (x) 3x 2 6x 9 3(x 3)(x 1) ，
令 f (x) 0，解得 x= 1或 3．
因此， f (x)的单调递增区间为 ( , 1), (3, )；单调递减区间为 ( 1,3)．
f (x)的极大值为 f ( 1) 14，极小值为 f (3) 18．
n 2 a
16．（本题 15分）在数列 an 中， a1 1，a
1
n 12 ， a 是公差为 1的等差数列.3 n
(1)求 an 的通项公式；
(2)设bn n 1 anan 1，Sn为数列 bn 的前 n项和，若对任意 n N ，总有 Sn m 0，求m
的取值范围。
1 3a2
【详解】（1）由 a1 1， a2 可知 1.3 a1
n 2 an 1 a n
由题设条件可知 1 n 1 1 n n 1，所以 ，
an an n 2
a n 1
当 n 2 n时， a ，n 1 n 1
a an an 1 a2 a n 1 n 2 n 3 2 1 2所以 n 1 an 1 a
1 .
n 2 a1 n 1 n n 1 4 3 n n 1
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2 2
当 n 1时， a1 1满足 an n an 1 ，故 n 的通项公式为
an n n 1 .
4 1 1
（2）由（1）可知bn n 1 anan 1 2 n ，n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2
S 2 1 1 1 1 1 1
所以 n
1 2 2 3 2 3 3 4 n n 1 n 1 n 2
2 1 1
1
2
1
2 n 1 n 2
.
n 1 n 2
则m 1。
a
17. n 已知数列 的通项公式为 an n 2 2，在 an 与 an 1中插入n n 1个数，使这 n n 1
个数组成一个公差为 dn的等差数列，记数列 dn 的前 n项和为 Sn，
（1）求 dn 的通项公式及 Sn；
（2）设b ann n 1 ，Tn为数列 bn 的前 n项和，求T 。2 S nn
d 1 1 1 S 1 1 1 1 1 1 n解：（1） n 2 ， n n n n n 1 2 2 3 n n 1 n 1
（2）易 b n 1知 n 2n 1
．
2 3 4 n 1 1 2 3 4 n n 1
所以Tn 0 2 21 22
n 1 ， T ，2 2 n 21 22 23 2n 1 2n
1 n 11 1
1 T 2 1 1 1
两式相减得 n 1 2 3
1 n 1 2 2
2 2 2 2 2 n 1 2 n 2
n 1 n 3 ，
1 1
n 3 n
2 2
2
T 6 n 3所以 n n 1 ．2
18．已知函数 f x ln x ax a R .
（1）若 f x 有且仅有一个零点，求 a的取值范围；
f x m
（2）当 a 1 x时，若 e 0恒成立，求m的取值范围.x x
【详解】（1）函数 f x 的定义域为 0, ，
a ln x ln x ln x ，令 h(x) ，易知 h(x) 在（0，e）单调递增，在（e, ）单调递减
x x x
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由图像可得 a 1 或 a 0
e
（2）当 a 1时， ln x x xe x m 0，则m ln x x xex
设 h 1 1x ln x x xe x ' x，其定义域为 0, ，则 h x 1 x 1 e x 1 ( e x )
x x
1
h x 0 x0有唯一的实根 x0 0，且 e ， x 0 ln xx 0 .0
当0 x x0时， h ' x 0；当 x x0时， h ' x 0，
h x 在0 x x0单调递增，在 x x0单调递减
hmax x ln x x x x00 0 0e 1， m 1
ax
19．已知函数 f (x) ln x
ex
．
(1)当 a 1时，证明： f (x)有且仅有一个零点．
(2)当 x 0时， f (x) x恒成立，求 a的取值范围．
(3)当 a 0时,证明: x2 f (x) 2xe x 2 0．
x 1 1 x e x x 2 x
【详解】（1）当 a 1时，函数 f (x) ln x x 定义域为 (0, )，则 f (x) x ，e x e xex
令 g(x) ex x2 x，则 g (x) ex 2x 1 0在 (0, )上恒成立，则 g(x)在 (0, )上单调递
增，
则 g(x) g 0 1，即 f (x) 0在 (0, )上恒成立， f (x)在 (0, )上单调递增，
1 e
而 f 1 0， f e 1 e 0，e e
所以根据零点存在定理知， f (x)有且仅有一个零点．
x
2 x 0 f (x) x a e ln x xe
x
（ ）当 时， 等价于 ，
x
x
h(x) e ln x xe
x x
h (x) e (x 1)(ln x x 1)令 ，求导得 ，令 (x) ln x x 1，
x x2
(x) 1 x则 ，当 x 0,1 时， (x) 0， (x)单调递增，当 x 1, 时， (x) 0， (x)
x
单调递减，则 (x) 1 2 ，于是当 x 0,1 时， h (x) 0， h(x)单调递增，
当 x 1, 时， h (x) 0， h(x)单调递减，因此 h(x) h 1 e，
所以 a的取值范围为 e, ．
试卷第 9页，共 10页
{#{QQABCYCUoggAAJBAABhCEwXiCEIQkBACCKoOhBAEoAAAiBFABAA=}#}
x
（3）要证明 x2 f (x) 2xe x 2 0 ln x 2 e，只要证明
x e2 x2
令 g(x) ln x ，则 g ' (x) 1 ln x 2 0 x 0,e ，x x
g(x)在 0,e 为增函数， e， 为减函数，
x x
gmax (x) g(e)
1
2 e 2 e (x 2)，令 h(x) ，
e e2 x2
(x 0) h' x 2 e x3 0 x 2
所以 h(x)在 0,2 为减函数，在 2， 为增函数，
1 1 1 x
所以 hmin (x) h(2) ，又因为 ，所以 g x h x ln x 2 e即 所以得证2 e 2 x e2 x2
试卷第 10页，共 10页
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