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高二下期中数学参考答案
单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】观察可得，数列的第个数可以写为，所以第12个数为： .
故选：D
2．下列数列中等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列；
对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；
对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；
对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；
故选：A
3．已知等比数列中，，公比，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】由等比数列中，，公比，
又由，可得．
故选：B.
4．在数列中，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，，，，，
故数列满足，故.
故选：A
5．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，，D正确．
故选：D．
6．一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，
故，故时小球的瞬时速度为（），
故选：A
7．已知函数的图象与直线相切于点，则（ ）
A．4 B．8 C．0 D．-8
【答案】B
【详解】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以，
又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以，
．则．
故选：B．
8．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，令，则，．
故选：C
多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
9．下列叙述不正确的是（ ）
A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．是等比数列
C．数列0，1，2，3，…的通项公式为 D．数列是递增数列
【答案】ABC
【详解】对于A：1，3，5，7与7，5，3，1显然不是相同的数列，
因为顺序不一样，故A错误；
对于B：当时常数数列不是等比数列，故B错误；
对于C：数列0，1，2，3，…的通项公式为，故C错误；
对于D：因为，
又，函数在上单调递增且，
所以，所以，即，
所以数列是递增数列，故D正确.
故选：ABC
10．数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对于A，，符合题意，A是；
对于B，，符合题意，B是；
对于C，，符合题意，C是；
对于D，，不符合题意，D不是.
故选：ABC
11．已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递减 B．的最小值为0
C．的对称中心为 D．方程有3个不同的解
【答案】AC
【详解】对于A：，令或，令，
函数在上单调递增，在上单调递减，且，
可画出函数的大致图象如图所示，故A正确；
对于B：此函数无最小值，故B错误；
对于C：根据解析式易知，故C正确；
对于D：根据图象可知有2个不同的解，故D错误，
故选:AC．
三、填空题(本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．在数列中，，则通项公式 ．
【答案】
【详解】因为，即
则，
，
所以
，
即，
又因为，所以，
故答案为：
13．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，当x∈时，，
因为，所以或，
即或或，解得或，
所以原不等式的解集为．
故答案为：.
14．已知数列的前n项和为，若，且，则 ， ．
【答案】 3 90
【详解】当时，可得，当时，可得，依次可求得，
依此类推可知该数列的周期为2，所以，．
故答案为：3；90
四．解答题（本大题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．数列的通项公式是.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
解：（1）数列的通项公式是．
这个数列的第4项是：．
（2）令，即，
解得或（舍，
是这个数列的项，是第16项．
16．已知，.
(1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和.
解：（1）因为，，又，
由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列，
故数列的通项公式为.
（2）由等差数列的求和公式可得：，所以
17．等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.
解：（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，
， ， 解得，
；
（2），
.
；
综上，
18．已知函数，点在曲线上．
(1)求函数的解析式；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求曲线过点的切线方程．
解：（1）当时，，
所以
（2）由（1）可知：，
则点处的切线的斜率为，
所以切线方程为：，即；
（3）设切点坐标为，切线的斜率为，
所以切线方程为：，
将点代入切线方程得：，则，
解得或，
所以切线方程为：或.
19．已知函数．
(1)若，求的单调区间；(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
（2）由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为
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蓝天教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分150分）
一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的.
1．在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列数列中等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列中，，公比，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．在数列中，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象与直线相切于点，则（ ）
A．4 B．8 C．0 D．-8
已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题意要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列叙述不正确的是（ ）
A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．是等比数列
C．数列0，1，2，3，…的通项公式为 D．数列是递增数列
10．数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递减 B．的最小值为0
C．的对称中心为 D．方程有3个不同的解
三．填空题：本大题共3小题，每小题 5 分，共 15分．
12．在数列中，，则通项公式______．
13．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为______．
14．已知数列的前n项和为，若，且，则______，______．
四．解答题：本大题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)数列的通项公式是.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
16.(15分)已知，.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
17.(15分)等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18.(17分)已知函数，点在曲线上．
(1)求函数的解析式；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求曲线过点的切线方程．
19.(17分)已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
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