参考答案：
1．D
【分析】利用向量、零向量、单位向量及共线向量的定义，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，由零向量的定义知，零向量方向任意，所以选项A错误，
对于选项B，当共线向量方向相反时，它们肯定不是相等向量，所以选项B错误，
对于选项C，向量不能比较大小，所以选项C错误，
对于选项D，单位向量的模长均为1个单位长，所以选项D正确，
故选：D.
2．D
【分析】先求出两个向量的坐标，再根据数量积的坐标公式计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：D.
3．A
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故选：A
4．A
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式求解即得.
【详解】角的终边过点，则，
所以.
故选：A
5．C
【分析】根据角的终边在直线上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角的集合.
【详解】由题意知角的终边在直线上，
故或，
即或，
故角的取值集合为.
故选：C.
6．C
【分析】先求出函数的增区间，结合选项可得答案.
【详解】令，，得，
令可得，的一个增区间为，结合选项可得C符合题意.
故选：C
7．C
【分析】根据投影向量定义计算即可.
【详解】由投影向量定义可知，在上的投影向量为.
故选：C
8．C
【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案．
【详解】如图所示，
延长到点使，连接，
又∵，∴(SAS)，
∴的面积等于的面积．
在中，由余弦定理得，
又，则，
∴．
故选：C．
9．AC
【分析】根据所在的象限，结合基本不等式，即可求解.
【详解】若，则为第一或第三象限角，
当第一象限时，，得，，
当第三象限时，，得，，
故选：AC
10．BD
【分析】利用周期公式可判断A；代入验证可判断BC；由正弦函数值域可判断D.
【详解】由周期公式知，A正确；
因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误；
因为，所以是函数的零点，C正确；
由正弦函数的值域可知，的最大值为2，D错误.
故选：BD
11．BD
【分析】由已知条件，利用正弦定理角三角形，根据结果判断解的个数.
【详解】由正弦定理，，得，
若，，无解，A选项错误；
若，，得，恰有一个解，B选项正确；
若，，，有两解，有两个解，C选项错误；
若，，，恰有一个解，D选项正确.
故选：BD
12．
【分析】根据伸缩变换和平移变换得到答案.
【详解】纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍变为，
将图象上所有点向右平移个单位，
可得.
故答案为：
13．
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
14．/
【分析】建立平面直角坐标系求得向量的坐标表示联立方程组即可求得，可得结果.
【详解】以为坐标原点，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：
易知，
则，
由可得，解得；
可得.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）计算出扇形的弧长，可求得扇形的圆心角的弧度数；
（2）利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】（1）解：由题意可知，该扇形的弧长为，故该扇形圆心角的弧度数为.
（2）解：由题意可知，该扇形的面积为.
16．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）设，进而根据向量相等，利用向量数乘运算，加法运算的坐标公式计算即可；
（2）由向量坐标运算得，，再根据向量共线坐标表示计算即可；
（3）由向量坐标运算得，再根据向量垂直的坐标表示即可得答案.
【详解】（1）设；所以有，
，所以
（2）因为，，
因为，所以：，
解得.
（3）因为，，，
所以，即：，
解得：
【点睛】方法点睛：设，
则，
17．(1)
(2)
【分析】（1）由，求得，再利用夹角公式求解；
（2）由，利用数量积的运算律求解.
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又.
解得，
∴，
又∵，
∴（或）.
（2）∵，
，
∴.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式；
（2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围.
【详解】（1）由图象可知，，，
设最小正周期为，，∴，
∴，
又∵，且，
∴，，∴，
∴函数的解析式为.
（2）当时，，，
∴函数的取值范围是.
19．(1)；(2).
【分析】(1)利用与的数量积及为单位向量列出方程组，求解即得；
(2)类比平面向量的长度及夹角公式，计算向量与的夹角的余弦得解.
【详解】(1)时，坐标系为平面直角坐标系，
设点P(x,y)，则有，而，，
又，所以，又因，
解得，故点P的坐标是；
(2)依题意夹角为45 ，，，
，
，，
所以＝2，，而，故.
【点睛】坐标系下新定义的创新试题，类比原有平面向量的模、数量积解决，但不能直接类比原有平面向量的直角坐标方法处理.蓝天教育集团2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题5分，共40分）
1．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量
C．若向量同向，且，则 D．单位向量的模都相等
2．已知点，则（ ）
A． B．0 C．2 D．
3．在中，，，，则角B的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数在下列哪个区间上单调递增（ ）
A． B． C． D．
7．若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，边上的中线，则的面积S为( )
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分）
9．若，则的值可以取（ ）
A． B． C． D．
10．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．的最大值为1
11．在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；再将图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则 .
13．已知 ，则
14．已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15．（13分）
一个扇形所在圆的半径为，该扇形的周长为.
(1)求该扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积.
16（15分）．平面内给定三个向量，，，
（1）若以，为基底，用该基底表示向量；
（2）若，求实数；
（3）若，求实数.
17（15分）．已知，，.
(1)求向量与的夹角；
(2)求.
18（17分）．已知函数的一部分图象如图所示，如果，，．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的取值范围．
19（17分）．如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)．
(1)若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值．
