安徽省庐巢联盟2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 安徽省庐巢联盟2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 634.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-18 11:27:55 | ||
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文档简介
安徽省庐巢联盟2023-2024学年高一下学期第二次月考
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 的实部与虚部之和为1 D. 在复平面内的对应点位于第一象限
2. 已知边长为2的正三角形采用斜二测面法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法：
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交；
②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；
③若直线在平面外，则.
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 已知是虚数单位，是复数的共轭复数，，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
6. 设非零向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角的对边分别为，若，则角的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
8. 五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛离地面1.5米，则这位在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（ ）
A. B. C. 3 D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10. 等腰直角三角形直角边长1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）
A. B. C. D.
11. 的内角的对边分别为，，则（ ）
A. B.
C. 外接圆的面积为 D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为________________.
13. 如图，在矩形，已知，且，则_____________.
14. 已知在中，角所对的边分别为，且，点为边的中点，已知，则当角取到最大值时等于_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
（1）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；
（2）已知复数为纯虚数，求实数的值.
16.（本小题15分）
已知向量，且.
（1）求及与的夹角的余弦值；
（2）若与垂直，求实数的值.
17.（本小题15分）
某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30°，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在北偏东120°，求：
（1）处与处之间的距离；
（2）灯塔与处之间的距离.
18.（本小题17分）
如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为.
（1）求圆柱的表面积；
（2）求三棱锥外接球的体积.
19.（本小题17分）
重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.
（1）将用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计，的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
参考答案
1. D 2. C 3. B 4. A 5. C 6. A 7. D 8. B 9. ABC 10. AB 11. ABD
12. 21 13. -16 14.
【解析】
1. 解：由已知：，所以，的实部和虚部之和为2，A，B，C均错误；而在复平面内的对应点位于第一象限，D正确.故选D.
2. C解略
3. B解略
4. 解：设，因为，所以，
所以，解得.故选A.
5. 解：设圆锥的底面半径长为，圆锥的母线长为，
则由，得，而，
故，解得.
故选C.
6. 解：∵非零向量满足，∴，即，
整理得，解得，∴.
故选A.
7. 解：由，∴，即.
∴，又在中所以为或.
故选D.
8. 解：已知如图所示：
，
设，则，，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
因为，所以当时，可以获得观看的最佳视野.
故答案为B
9. 解：，则，
∴，
故A错，
复数的共轭复数为，故B错；复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确，故选ABC.
10. 解：如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，
母线就是直角三角形的斜边，
所以所形成的几何体的表面积是，
如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，
两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，
所以形成的几何体的表面积，
综上可知形成几何体的表面积是或，故答案选AB.
11. 解：因为，所以，则外接圆的面积为.
因为，所以，，
的面积为.故选ABD
12.【解答】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，
故，
故答案为：21
13. 解：如图，建立直角坐标系：
则，则，
∴，
故答案为：-16
14. 【详解】点为边的中点，，
则，即，
因为，所以，由知，角为锐角，
故，
因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角取到最大值，所以，故答案为：
15. 解：（1）设，由题意得
解得，
∵，∴，
∴；
（2）
由题意得，
解得
16. 解：（1）∵，∴，
∴，
∴，∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∵与垂直，∴，
∴，即，
∴.
17. 解：（1）在中，由已知得，
，则.
由正弦定理得，
，所以处与处之间的距离为；
（2）在中，由余弦定理得，，
又，解得，所以灯塔与处之间的距离为.
18. 解：∵在中，，∴，
又在中，，，∴，
而点的圆柱的底面圆上，∴，
，
于是由，得，
∴，
∴圆柱的表面积.
（2）外接球的球心是的中心，
半径，
体积为.
19. 解：（1）在中，由正弦定理可知，
则，
由正弦定理可得，
则；
（2）∵，∴，
在中，由余弦定理可知
∵，∴，
∴，
当时，即时，取最大值，
，
，
即当时，取最大值.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 的实部与虚部之和为1 D. 在复平面内的对应点位于第一象限
2. 已知边长为2的正三角形采用斜二测面法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法：
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交；
②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；
③若直线在平面外，则.
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 已知是虚数单位，是复数的共轭复数，，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
6. 设非零向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角的对边分别为，若，则角的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
8. 五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛离地面1.5米，则这位在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（ ）
A. B. C. 3 D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10. 等腰直角三角形直角边长1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）
A. B. C. D.
11. 的内角的对边分别为，，则（ ）
A. B.
C. 外接圆的面积为 D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为________________.
13. 如图，在矩形，已知，且，则_____________.
14. 已知在中，角所对的边分别为，且，点为边的中点，已知，则当角取到最大值时等于_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
（1）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；
（2）已知复数为纯虚数，求实数的值.
16.（本小题15分）
已知向量，且.
（1）求及与的夹角的余弦值；
（2）若与垂直，求实数的值.
17.（本小题15分）
某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30°，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在北偏东120°，求：
（1）处与处之间的距离；
（2）灯塔与处之间的距离.
18.（本小题17分）
如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为.
（1）求圆柱的表面积；
（2）求三棱锥外接球的体积.
19.（本小题17分）
重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.
（1）将用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计，的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
参考答案
1. D 2. C 3. B 4. A 5. C 6. A 7. D 8. B 9. ABC 10. AB 11. ABD
12. 21 13. -16 14.
【解析】
1. 解：由已知：，所以，的实部和虚部之和为2，A，B，C均错误；而在复平面内的对应点位于第一象限，D正确.故选D.
2. C解略
3. B解略
4. 解：设，因为，所以，
所以，解得.故选A.
5. 解：设圆锥的底面半径长为，圆锥的母线长为，
则由，得，而，
故，解得.
故选C.
6. 解：∵非零向量满足，∴，即，
整理得，解得，∴.
故选A.
7. 解：由，∴，即.
∴，又在中所以为或.
故选D.
8. 解：已知如图所示：
，
设，则，，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
因为，所以当时，可以获得观看的最佳视野.
故答案为B
9. 解：，则，
∴，
故A错，
复数的共轭复数为，故B错；复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确，故选ABC.
10. 解：如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，
母线就是直角三角形的斜边，
所以所形成的几何体的表面积是，
如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，
两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，
所以形成的几何体的表面积，
综上可知形成几何体的表面积是或，故答案选AB.
11. 解：因为，所以，则外接圆的面积为.
因为，所以，，
的面积为.故选ABD
12.【解答】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，
故，
故答案为：21
13. 解：如图，建立直角坐标系：
则，则，
∴，
故答案为：-16
14. 【详解】点为边的中点，，
则，即，
因为，所以，由知，角为锐角，
故，
因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角取到最大值，所以，故答案为：
15. 解：（1）设，由题意得
解得，
∵，∴，
∴；
（2）
由题意得，
解得
16. 解：（1）∵，∴，
∴，
∴，∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∵与垂直，∴，
∴，即，
∴.
17. 解：（1）在中，由已知得，
，则.
由正弦定理得，
，所以处与处之间的距离为；
（2）在中，由余弦定理得，，
又，解得，所以灯塔与处之间的距离为.
18. 解：∵在中，，∴，
又在中，，，∴，
而点的圆柱的底面圆上，∴，
，
于是由，得，
∴，
∴圆柱的表面积.
（2）外接球的球心是的中心，
半径，
体积为.
19. 解：（1）在中，由正弦定理可知，
则，
由正弦定理可得，
则；
（2）∵，∴，
在中，由余弦定理可知
∵，∴，
∴，
当时，即时，取最大值，
，
，
即当时，取最大值.
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