安徽省怀宁县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

怀宁二中2023-2024学年度第二学期期中考试
高二数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知函数（是的导函数），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2.曲线y=2x2+1在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D.
3.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4.从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ）
A．18 B．21 C．36 D．42
6.若，则（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
7.已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C．记第n行的第i个数为，则
D．第30行中第12个数与第13个数之比为
二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9.已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项
C．所有项的系数和为 D．有理项共5项
10.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．没有空盒子的方法共有24种
B．可以有空盒子的方法共有128种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
11.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，其图像上能找到A、B两个不同点关于原点对称，则称A、B为函数的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）
A．可能有三对“友好点”
B．若，则有两对“友好点”
C．若仅有一对“友好点”，则
D．当时，对任意的，总是存在使得
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若，则________．
14．已知随机变量ξ的分布如下： 则实数a的值为________.
ξ 1 2 3
P
15．若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是________.
16.已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）现有4名男生和3名女生.
(1)若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
(2)若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数；
(3)若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？
18．（12分）在的展开式中，求:
(1)第三项的系数 (2)奇数项的二项式系数和; (3)求系数绝对值最大的项.
19．（12分）为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．
(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率．
20．（12分）已知.
(1)求函数的最小值；
(2)若存在，使成立，求实数a的取值范围；
21．（12分）现有标号依次为1，2，3的3个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余两个盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子．
(1)求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)求3号盒子里的红球的个数的分布列和期望
22.（12分）设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若已知，且的图象与相切，求b的值；
(3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）．
高二数学期中答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1—5 ABCCD 6—8 CDC
5【答案】D
【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由分类计数原理得到甲地的分派方法数目，再在剩余的3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，
若甲地派2名女生，有种情况；
若甲地分配1名女生，有种情况，
则甲地的分派方法有种方法；
甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法，
由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种.
故选：D.
7【答案】D
【分析】求导，根据导函数的符号求解.
【详解】，由条件知当时，，即，
令，是减函数，；
故选：D.
8【答案】C
【分析】选项A，利用组合数性质即可求解；选项B、D，利用杨辉三角中数的排列规律即可判断；选项C，先用杨辉三角确定，再结合二项式定理可得.
【详解】对A，由可得
，故A错误；
对B，第2023行有2024项，中间两项最大，即和，
也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；
对C，第n行的第i个数为，所以，故C正确；
对D，第30行中第12个数与第13个数之比为
，故D错误．
故选：C．
二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9 ABD 10 ACD 11 BC 12 BD
9【答案】ABD
【分析】根据二项式定理及二项式系数的性质、各项系数之和、展开式通项性质逐项判断即可得结论.
【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故B正确；
令，得所有项的系数和为，故C错误；
因为展开式通项为，当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．
故选：ABD.
10【答案】ACD
【分析】对于A：没有空盒则全排列，求解即可；对于B：有4个球，每个球有4种放法，此时随意放，盒子可以空也可以全用完，求解即可；对于C：恰有1个空盒，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有一个盒子中放了2个球，求解即可；对于D：没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同的球和盒，另外3个球3个盒标号不能对应，求解即可．
【详解】对于A：4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列，共种，故A正确；
对于B：可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共种，故B错误；
对于C：恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，再排列共种，故C正确；
对于D：恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒，另外3个球3个盒标号不能对应，则共种，故D正确．
故选：ACD．
11．BC
【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．
【详解】对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
，
所以，故C正确；
对于D：由上可得，
又因为，故D错误，
故选：BC．
12．BD
【分析】不妨设，存在友好点等价于方程有实数根，从而构造函数，利用导数得其单调性，画出图形，讨论的图象以及直线的图象的交点个数情况即可逐一判断求解.
【详解】若和互为友好点，不妨设，
则，即，
令，则，
令，则，
所以单调递减，注意到和同号，且，
所以当时，即，单调递增，
当时，即，单调递减，
从而即可在同一平面直角坐标系中作出的图象以及直线的图象，如图所示，

当时，不存在友好点，
当或时，仅存在一对友好点，
当时，存在两对友好点，
从而不可能有三对“友好点”，
若仅有一对“友好点”，则或，故AC错，B对，
当时，仅存在一对友好点，即对任意的，总是存在使得，D对.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：关键是将设，存在友好点等价于方程有实数根，由此即可通过数形结合顺利得解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13 14 或
15 16
13【答案】
【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.
【详解】表示个因数的乘积.而为展开式中的系数，设这个因数中分别取、、这三项分别取个，所以，若要得到含的项，则由计数原理知的取值情况如下表：
个 个 个
0 5 0
1 3 1
2 1 2
由上表可知.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于对上述详解中的正确分类，另外一点值得注意的是在分完类之后，每一类里面还要分步取、、这三项.
14．或
【分析】由题可知，即得.
【详解】由题可得， ∴或，经检验适合题意.故选：BC.
15【答案】
【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.
【详解】，由题意在上有解，
即在上有解，
根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，
故，故实数的取值范围是.
故答案为：
16．
【分析】根据题意得，再利用导数求出最值，代入即可得解.
【详解】由题意，可得，
当时，，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为，所以在上单调递减，所以，
所以，解得.所以实数的取值范围是.故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）(1)1440(2)25(3)1200
【分析】（1）采用插空法进行求解即可；（2）采用去杂法进行求解即可；（3）根据分类加法计数原理，结合排列和组合的定义进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知；运用插空法，可得共有排法数为种.
（2）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法，
男生甲和女生乙同时参加的方法有共有邀请方法数为种.
（3）有两类不同情形：
①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个工厂，一厂安排一人，其方法数为种；
②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人，其方法数为种.
所以共有种不同的安排方法.
18．（12分）(1)240(2)32(3)
【分析】(1)根据二项式的通项公式可以求出此问；(2)根据奇数项的二项式系数和公式可以直接求出此问题；
(3)设出系数绝对值最大的项为第项,根据二项式的通项公式,列出不等式组,解这个不等式组即可求出此问题.
【详解】（1）二项式的通项公式为，
所以第3项的系数为.
（2）奇数项的二项式系数和为.
（3）设出系数绝对值最大的项为第项,
则，
又，所以，所以系数绝对值最大的项为.
19．（12分）(1)(2)
【分析】（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，根据相互独立事件的概率公式求出、，再根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）根据全概率公式计算可得.
【详解】（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以规定三名同学都需要回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.
（2）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”，
则，，，
且，，，
由全概率公式可得.
20（12分）【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用导数即可求得的最小值；
（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数即可得解.
【详解】（1）依题意，的定义域是，，..
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，取得最小值.
（2）因为存在，使成立，
即能成立，即能成立，
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，取得最小值，所以.
21．（12分）(1)2号盒子里有2个红球的概率为；(2)答案见详解.
【分析】（1）由古典概型进行求解；
（2）可取1，2，3，求出对应的概率，再列出分布列，求出期望即可求解.
【详解】（1）记事件：2号盒子里有2个红球，
则事件即为从1号的盒子里拿了2个红球放入2号盒子，再从2号的盒子里拿1个白球和1个红球放入3号盒子，或者从1号的盒子里拿了1个白球和1个红球放入2号盒子，再从2号的盒子里拿2个白球放入3号盒子；
所以概率，
所以2号盒子里有2个红球的概率为；
（2）由题意可知，可取1，2，3，
，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数的分布列为
1 2 3
.
22（12分）【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为(2)3(3)
【分析】（1）代入的值，求出的解析式，求出函数的导数，即可求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导数，设出求出方程，得到关于的方程，解出即可；
（3）问题转化为，求出函数的单调性和极值，写出的范围即可．
【详解】（1）当时，，则，
当或时，；当时，，
所以f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）因，
则，
设函数与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得：；
（3）时，，
的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，
设函数，则，
时，或；时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值，时取极小值，
所以的取值范围为．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．