2024年九年级数学中考专题训练：二次函数的最值（含解析）

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2024年九年级数学中考专题训练：二次函数的最值
一、单选题
1．已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．
2．已知二次函数，将该二次函数的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数图象，当时，平移后所得的新二次函数的最大值（ ）
A．3 B．5 C．7 D．10
3．竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度．是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
4．关于二次函数，下列结论中正确的是（ ）
A．图象的对称轴过点 B．当时，y随x的增大而增大
C．图象与x轴有两个公共点 D．函数的最小值为5
5．已知实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
… 4 0 0 m …
下列说法错误的是（ ）
A．c的值为 B．关于x的方程的解为，1
C．m的值为4 D．函数值y的最小值为
8．二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的交点为，其中，有下列结论：①；②；③；④当m为任意实数时，；⑤．其中，正确结论的序号是_________．

A．①②⑤ B．①③⑤ C．①③④ D．①④⑤
二、填空题
9．已知函数（为常数），y的最小值记为a，a的值随m的变化而变化，当 时，a取得最大值．
10．已知二次函数，当时，则的取值范围是 ．
11．已知在矩形中，是上的一点，连接，过点作，交于点，在点从向运动的过程中，点的路径长为
12．如图，，且．点是线段上一动点，过点作的垂线，交射线于点，则的长的最大值是 ．
13．已知二次函数，若当时，的最大值是3，则的值为 ．
14．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ．
15．已知二次函数的表达式为，当时，函数有最大值，则的最小值是 ．
16．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤（的实数）．其中正确结论是 ．（写序号）
三、解答题
17．如图，抛物线交x轴正半轴于点A，x轴负半轴于点C，y轴负半轴于点B，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，y的最小值为，求t的值．
18．如图，在平面直角坐标中，抛物线过点，且交x轴于，两点，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当线段的长取得最大值时，点的坐标是 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
(3)若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
20．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标．
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最大值．
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线，函数的最大值为，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可；准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键．
【详解】解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，函数的最大值为，
当时，
时，函数有最大值；
时，函数有最小值；
∵当时，函数的最大值与最小值的差为9，
解得（舍去）；
当时，
时，函数有最大值；
时，函数有最小值；
∵当时，函数的最大值与最小值的差为9，
解得（舍去）；
当时，时，函数有最小值；
函数有最大值；
解得；
当时，时，函数有最小值；
函数有最大值；
解得；
故选：．
2．B
【分析】本题考查了二次函数与图象变化，熟练掌握最值求法是解答本题的关键．先推出平移后的抛物线解析式为，再根据增减性，求出，时的函数进行比较即可．
【详解】解：二次函数，
将二次函数的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数解析式为：，
则当时，随增大而增大，当时随增大而减小，
当时，，当时，，
∴当时，平移后所得的新二次函数的最大值在时取得，
即：当时，平移后所得的新二次函数的最大值为5，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的性质的应用，利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键，属于基础题．将，代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
【详解】解：依题意得：，，
把，代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：A
4．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点，熟记二次函数的性质是解题的关键；利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误即可；
【详解】解：，
．对称轴是直线，则图象的对称轴过点，故本选项符合题意；
．，对称轴，当时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
．，图象与x轴无交点，故本选项不符合题意；
．当时，函数有最小值为1，故本选项不符合题意；
故选：．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得，设，依题意得出，进而根据二次函数的性质 ，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
设，∵
∴，即
∴
即当时，，的最大值为
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，新定义，一次函数的性质，当时，则，可求出当时，，据此利用一次函数的性质求解即可；当或时，，则，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：当时，则，
∴，
∴，
∴或，
解不等式组，可知不等式组无解；
解不等式组得，
∴当时，，
∴此时的最大值为；
当或时，，则，
∴；
综上所述，的最大值为2，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格中的数据，先确定抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由表格可知和时的函数值相同，均为
∴对称轴为直线，，故A选项正确；
∵当或时，函数值均为0，
∴抛物线与轴的交点的两个横坐标为，，
∴关于x的方程的解为，1；故B选项正确；
∵对称轴为直线，
∴时的函数值等于时的函数值，即：m的值为4；故C选项正确；
∵对称轴为直线，
∴函数在时取得最值，此时的函数值不等于时的函数值，即不等于；故D选项错误；
故选D．
8．C
【分析】此题考查二次函数的图象，函数图象与x轴交点问题，利用图象判断式子的正负，函数最值．①根据函数图象和x轴的交点个数与的关系进行判断；②判断横坐标为的点的纵坐标的位置进行判断；③根据点的对称性，由，确定的取值范围；④由时，函数取最小值为，得，进而判断；⑤由时，，与对称轴结合进行判断．
【详解】解：∵的图象与x轴有两个交点，
∴，故①正确；
∵该函数图象的对称轴是，当时的函数值小于，
∴时的函数值和时的函数值相等，都小于，
∴，故②错误；
∵该函数图象的对称轴是，与x轴的交点为，且，
∴，故③正确；
∵当时，该函数取得最小值，
∴当m为任意实数时，则，
即，故④正确；
∵，
∴，
∵时，，
∴，故⑤错误；
故选：C
9．
【分析】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式，以及顶点纵坐标，表示出y的最小值a，再根据二次函数的最值即可解题．
【详解】解： y的最小值记为a，
，
，
当时，a取得最大值，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的增加性，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，有最大值为：，
当时，有最小值为：，
∴；
故答案为：．
11．//
【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，利用相似三角形的性质建立二次函数模型求解是解答的关键．先证明得到，设，，则有，利用二次函数的性质求得y的取值范围，即为的路径长范围．
【详解】解： ∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为，即，
当点E与点B重合时，点F与点C重合，则，
∴点的路径长为，
故答案为：．
12．
【分析】本题是对相似三角形知识的综合考查，熟练掌握相似三角形及二次函数知识是解决本题的关键.先证，设为，根据相似比写出关于的代数式，从而求出最大值
【详解】解：设为，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴当时，有最大值，
故答案为：
13．3或/或3
【分析】本题考查二次函数的最值问题，分，两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，函数值最大为：，
∴，
当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，函数有最大值为：，
∴；
故答案为：3或．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，即可得到当时，，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵当时，y的最小值为，
∴当时，，
∴，
解得，
故答案为：．
15．/
【分析】本题考查二次函数图象及性质，二次函数顶点式等．根据题意可知对称轴，分三段区间对抛物线增减性最值进行求解即可得出本题答案．
【详解】解：∵，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，时取最大值，此时；
当时，时取最大值，此时，
当时，时取最大值，此时，
综上所述：的最小值为．
故答案为：．
16．②③⑤
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴交点位置，判断①；特殊点判断②和③，增减性判断④，最值判断⑤．
【详解】解：由图象可知：中，，，
∴
∴，故①错误；
∵对称轴为，
∴根据对称性可知当时，所对应的函数值与时函数值相同，
即：，故②正确；
∵当时，所对应的函数值，
∴，故③正确；
∵图象关于对称，
∴所对应的函数值等于所对应的函数值
∵在范围内，函数值随x的增大而增大，，
∴，故④错误；
∵函数的最大值为当时所对应的函数值，当时，，
∴，
∴（），故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故答案为：②③⑤．
17．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数解析式求解，二次函数最值，以及二次函数与方程等知识的综合应用，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题．
（1）根据，设点A，C，B的坐标分别为，再运用待定系数法即可求解；
（2）令，求出，，再根据当时，y的最小值为，分为①当在对称轴左边时，和②当在对称轴右边时，即可求解；
【详解】（1）解：∵，
令点A，C，B的坐标分别为．
设抛物线的解析式为．
即．
代入得，解得（舍），．
所以抛物线的解析式为．
（2）若，即时，
解得，．
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴为，最小值是
∵当时，y的最小值为，
∴在对称轴左边或右边，
①当在对称轴左边时，
根据y的最小值为可得，，
即．
②当在对称轴右边时，
根据y的最小值为可得，．
综上，t的值为或．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合题型．
（1）将三个点的坐标直接代入用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，的长度为其纵坐标值的差，再由二次函数的最值问题即可求解．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
解得
；
（2）设，则点的横坐标为，
令得
解得
设直线的解析式为，则
解得
直线的解析式为
当时，取最大值，
此时，
．
故答案为：．
19．(1)
(2)面积的最大值为
(3)的取值范围为或
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）求出直线与抛物线的交点的坐标，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点坐标为，由此用含的式子表示的面积，结合二次函数的最值计算方法即可求解；
（3）根据题意，分类讨论：当时；当时；由此即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴，
∵抛物线与轴交于点和，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，直线的解析式为：，
联立方程组，
解得或，
∴，，
过点作轴的平行线交于点，交轴于点，
设点坐标为，
∴点，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值．
∴面积的最大值为；
（3）解：令，则，
∴点坐标为，
令，则，
解得，
∴点坐标为，
若抛物线与线段有公共点，
当时，如图所示，
则，
解得；
当时，如图所示：
则，
解得；
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象与一次函数图象的综合，二次函数的最值问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
20．(1)；
(2)①2或3或；②，最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；
②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由得，当时，，
解得．
∵点A在轴正半轴上，
∴点A的坐标为，
设直线的函数表达式为，
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
将代入，得，
∴点C的坐标为；
（2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．

∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图3，由（1）得，．

∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
，
∵，
∴当时，S的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键．
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