2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（面积问题）（含解析）

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2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（面积问题）
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C，D是线段上一动点．
(1)直接写出点A，B，C的坐标和直线的解析式；
(2)如图1，过动点D作，交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积之和为S．求S的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，过动点D作轴于点E，交抛物线于点F，连接．试探究：点D在运动过程中与能否相似？若能相似，直接写出点D的横坐标t的取值；若不能相似，请说明理由．
2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．
(1)求b的值；
(2)请求出四边形的面积；
(3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点．
①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由；
②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值．
3．已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第四象限内抛物线上的点，连接，如图1，若的面积为1，求P点坐标；
(3)设点M为抛物线上的一点，若时，求M点坐标．
4．如图，抛物线和直线交于，两点，过点作轴于点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求的值；
②当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积；
(3)直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线上方抛物线上一动点；
①连接，，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值；
②是否存在点D，使等于的2倍？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图1，已知抛物线C：与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点D．
(1)直接写出A，B，D三点的坐标；
(2)如图1，点M是抛物线在第二象限上一点，连接和，交于点N，若的面积比的面积大4，求点M的坐标；
(3)如图2，在直线下方的抛物线上有一点P，过点P作，垂足为点M；过点P作，交抛物线于另一点N．若，求点P的坐标．
7．如图①，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点，点D是抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，过点D、E作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点G、F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；
(2)用含m的代数式表示的长；
(3)当，且四边形是正方形时，求m的值；
(4)过点A作的平行线交y轴于点H，如图②，当四边形在直线、之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出m的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是抛物线上一点，在直线下方的抛物线上有一动点P．连接，求的面积最大值与此时点P的横坐标；
(3)如图2，若点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）．随着点M的运动，判断点N的坐标是否可求？如能，直接写出点N的坐标、如不能，说明理由．
9．如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点．
(1)求点的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，若，求此时点的坐标；
(3)如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，点在该抛物线上，横坐标为，将该抛物线两点之间（包括两点）的部分记为图象．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图象的最大值与最小值的差为4时，求的值；
(3)如图2，若点位于下方，过点作交拋物线于点，点为直线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
11．图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
(3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图1和图2，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，是抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；
(3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
13．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线，交x轴负半轴于点，交轴正半轴于，交轴于，且．
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，连接，点为第四象限内一点，轴，，点为第二象限抛物线上一点，点的横坐标为，直线交抛物线于点，交的延长线于点，连接，若，求直线解析式．
14．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，，且．

(1)如图1，求此抛物线的解析式；
(2)如图2，点是抛物线的顶点，点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，的横坐标为，的面积为，求与的关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(3)如图3，在（2）的条件下，点、在的延长线上，连接、、，，，且，求点坐标．
15．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，直线交y轴于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P为线段上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接，，求面积的最大值．
(3)连接，在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E．
①当时，求的长；
②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标．
17．如图，抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
(2)若点是抛物线上在第三象限的一个点，且，求出点的坐标；
(3)若点是抛物线上的一个动点，连接，，当面积是面积的一半时，请直接写出点的横坐标．
18．已知二次函数的图象与直线的图象如图所示．

(1)判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；
(2)设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；
(3)连接，，求的面积．
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参考答案：
1．(1)点，点，点，直线
(2)最大值为8；
(3)2或
【分析】（1）对于，当时，，令，则或，故点、点、点，进而求解；
（2）由，即可求解；
（3）当为直角时，则点和点关于抛物线的对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线，则；当为直角时，证明，则，得到点的坐标为：，即可求解．
【详解】（1）解：对于，当时，，
令，则或，
故点、点、点，
设直线的表达式为：，
则将点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为：；
（2）过点P作轴交于点G，
∵，
∴，
∴，
设点，则点，
，
，
当时，，此时点；
（3）能相似，理由：
①当为直角时，
则点和点关于抛物线的对称轴对称，
而抛物线的对称轴为直线，
则；
②当为直角时，
过点作轴于点，则，
，
，
，
，
，
则，
即，
则，
则点的坐标为：，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：(舍去)或；
综上，或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
2．(1)
(2)15
(3)①不变化，；②
【分析】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的判定和性质，数形结合是解题的关键．
（1）根据题意可得到对称轴为直线，即可求出b的值；
（2）连接，求出，根据即可求出答案；
（3）①证明，同理得到，得到，求出，即可得到；
②由①知，为等腰直角三角形，则，当时，最短，此时取得最小值，求出，根据得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵当，
∴此抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
（2）连接，
由（1）得：，
∴抛物线的表达式为，
∴点D的坐标为，
令，则，
解之得：，
∴
令，则
∴点B的坐标为，
则
∴
∴四边形的面积为15.
（3）①不变化，理由：
∵于点E，点M为线段的中点，
∴ ，
∴，
∴，
同理可得：，
∴
∵，，
∴，
∴
即在旋转的过程中，的大小不变，其度数为；
②∵由①知，为等腰直角三角形，
∴
当时，最短，此时取得最小值，
∵，
，
∴，
解得
∴
即线段的最小值为．
3．(1)
(2)
(3)M的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）过点P作轴交直线于点Q，先求出，再求出直线的解析式，设点，则点，求得，进而求解；
（3）取点，连接，在上取一点，使得，连接，并延长交抛物线于点，求出直线的解析式为，设，由的长可求出，设直线的解析式为，求出直线的解析式，联立，解方程组可得出答案．
【详解】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，
，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）如图所示，过点P作轴交直线于点Q，
，
又∵，
∴，
设直线为，
，解得，
∴，
设点，则点，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（3）如图，取点，连接，在上取一点，使得，连接，并延长交抛物线于点，
，点关于轴对称，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设，
，
解得或（舍去），
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立，
得，
解得或（舍去），
点的坐标为，，
由对称性可知点的坐标为，时，直线与抛物线的另一个交点也满足题意，
同理可求出此时点的坐标为，，
综上所述，点的坐标为，或，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
4．(1)
(2)①；②当时，矩形的面积最小，最小面积为；
(3)的值为或或或
【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）①作轴于点E，求出，，证明可求出；
②根据求出函数解析式，化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）先表示出点N，M，Q的坐标，然后分三种情况求解即可．
【详解】（1）把代入，得
，
∴，
把，，代入，得
，
∴，
∴；
（2）①如图，作轴于点E，
∵，，
∴，
∵轴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵轴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴
，
∴当时，矩形的面积最小，最小面积为；
（3）∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
解得；
把代入，得
，
∴，
解得或；
∵，
∴，
当Q在抛物线上时，点Q与点A重合，
∴，
解得．
综上可知，当的值为或或或时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质等知识，数形结合是解答本题的关键．
5．(1)；
(2)①；②存在，．
【分析】（1）根据题意得到，设抛物线解析式为，将点代入中利用待定系数法求解即可；
（2）①过点D作轴于点M，过点B作轴交于于点N，设点，则点，，将代入中，即，证明，得到，据此利用二次函数的性质求解即可；②过点作轴，交轴于点，直线于点，设点，则，根据，求解即可．
【详解】（1）解：对于直线，当时，；
当时，，解得，
，
设抛物线解析式为，
将点代入得，
解得，
即，
抛物线解析式为．
（2）解：①过点作轴，交于点，过点作轴交直线于点，
设点，
点，则，
将代入中得，即，
，
，
，
，
，，
的最大值为．
②过点作轴，交轴于点，直线于点，
设点，
则，
当，则，
，
又，
，即，
则（舍去），
点．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
6．(1)，，；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）分别令，，再解方程即可得到答案；
（2）连接，，设点M的坐标为，且．根据．可得，再建立方程求解即可；
（3）先求解设点Р的坐标为，且．分两种情况：当点Р在点N左侧时，可得是等腰直角三角形，取的中点Q，连接，设，可得，，再利用函数的性质建立方程求解即可；当点Р在点N右侧时，同理可得：，，再利用函数的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
当时，
∴，
解得：，，
当时，；
∴，，；
（2）连接，，设点M的坐标为，且．
依题意得．
∵，
∴，
即，
∴，
解得，（舍），
∴点M的坐标为；
（3）∵抛物线的解析式为，
∴，
设直线的解析式为(≠0)，
则，解得，
∴；
设点Р的坐标为，且．
∵，
∴，
分两种情况：当点Р在点N左侧时，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，取的中点Q，连接，设，
则，，
将代入到中，
可得，
将代入到抛物线中，可得，
化简得，
将代入到中，
可得，
解得，(舍)，
∴；
当点Р在点N右侧时，
同理可得：，，
将代入到中，
可得，
将代入到抛物线中，可得，
化简得，
将代入到中，
可得，解得，(舍)，
∴．
综上所得，或
【点睛】本题考查的是求解抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数图象与图形面积的综合，与等腰直角三角形的综合应用，清晰的分类讨论与转化思想是应用是解本题的关键．
7．(1)，对称轴是直线
(2)当时，；当或时，
(3)或
(4)，，，
【分析】（1）根据待定系数法解答即可；
（2）表示出和解答即可；
（3）分为当时，和当时，分别求解即可．
（4）分为图1，当与共线时，满足在直线、之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半，此时，列方程解答；图2，当对角线不在上时，如图当D在第四象限时，令交对称轴于N．交于M，根据矩形对称轴当时，，列方程解答；当D在第三象限时，如图2，令交于交于，根据，列方程解答；
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
∴对称轴为直线．
（2）由（1）可知，
设直线，
将代入得，
解得，
∴直线．
∵轴，
，
当时，；
当或时，．
（3）当时，点D在第一象限，点D在点E上方．
∵轴，
，
∴，
∴，
若四边形是正方形，则，
当时，，解得或（舍去），
当时，，解得或（舍去），
综上，或．
（4）解：由（1）知，，
∵点D在抛物线上，
∴，，
∵点F，G均在对称轴上，
∴，
∴为矩形，
如图1，当与共线时，满足在直线、之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半，
此时，
∴或，
即或，
解得．
如图2，当对角线不在上时，如图当D在第四象限时，令交对称轴于N．
交于M，根据矩形对称轴当时，，
∴，
，
∴，
解得或（舍去），
当D在第三象限时，如图2，令交于交于，
即，
即，
∵在上，
，
，
解得（舍去），
综上，值为．
【点睛】该题考查了二次函数几何综合，二次函数解析式求解，二次函数图象和性质，正方形的性质和判定，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是画出对应的图形．
8．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）先根据顶点为设抛物线的解析式为，再代入，求出，再整理解析式，即可作答．
（2）运用待定系数法求直线的解析式为，设，，构建面积的二次函数，得出，结合二次函数的性质，即可作答．
（3）先根据题意补全图形，再结合旋转性质以及角的等量代换，得证，运用待定系数法求直线的解析式为，再与构建方程，运用因式分解法，即可作答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为
∴设抛物线的解析式为，
∵与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，
∴把代入，
得出，
解得，
∴；
（2）解：过点P作轴交于点H，如图
设直线的解析式为，
把，代入，
得出，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P在抛物线上，
∴设，
∵点H在直线上
∴
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴有最大值，
当时，则（最大值），
此时点P的横坐标为；
（3）解：能求出点N的坐标，过程如下：
设点N的坐标为
依题意，点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）
则过点M作轴的平行线，交轴于一点Q，过点H作轴的平行线交直线于一点F，如图：
∴，，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点H的坐标为，
即，
设直线的解析式为
∵，
∴把，代入，
得
解得
∴直线的解析式为，
依题意，得出，
即，
∴，
解得（舍去，因为点N不与点D重合），
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，面积问题、求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
9．(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形：
（1）先求出，接着利用待定系数法求出对应的函数解析式，再根据对称性求出点A的坐标即可；
（2）点坐标为，则，求出，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案；
（3）设直线的表达式为，则，解得，则直线的表达式为，即可得到点坐标为，则，据此分别求出，再由建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线对称轴为直线，
∴；
（2）解：由题意得点坐标为，
∴
，
∴，
，
∴，
∴，
，
（舍去）或，
；
（3）解：由题意得点坐标为
设直线的表达式为，
则，解得
∴直线的表达式为，当时，，
∴点坐标为，
∴
，
，
，
∴或，
解得（舍去）或（负值舍去）
．
10．(1)
(2)或
(3)面积的最大值为18，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据，求出点C的坐标，分为当时，时，时，三种情况讨论即可；
（3）根据，得到，求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，根据，利用二次函数的性质求出的最大值即可．
【详解】（1）解：代入
得，解得
（2）解：，
当时，，
，
点关于直线的对称点为
①当时，，
，
，
的值不存在
②当时，，
，
，
，解得或（舍）
③当时，，
，
，
此时点与点重合，
综上所述，的值为或；
（3）解：，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
过点作轴交于点，
设，则
，
，开口向下，对称轴为直线，
又，
当时，的最大值为8，
四边形面积的最大值为18，此时
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及运用铅垂法求与二次函数相关的面积最值，熟练掌握待定系数法与铅锤法是解题的关键．
11．(1)；
(2)；
(3)存在，或
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，一次函数的图象和性质，勾股定理的运用，菱形的判定和性质，中点坐标的运用，即可．
（1）把点，代入二次 函数，即可；
（2）根据二次函数求出点，可求出对称轴设直线的解析式为：，求出直线的解析式，则求出点坐标，过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，设直线的解析式为：求出直线的解析式的解析式，即可求出点的坐标，则过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，的面积等于梯形减去梯形减去梯形，即可．
（3）根据点与点关于直线对称，则，，，推出，；再根据平行线的性质则，等量代换，等角对等边，菱形的判定和性质，得点是，的中点，根据勾股定理求出，再根据两点间的距离公式，求出点的坐标，最后根据中点坐标公式，即可求出点的坐标．
【详解】（1）∵点，在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴．
（2）∵与轴有两个交点，
∴，
∴点，
∴对称轴为：，
∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵点在直线上，且横坐标为，
∴点，
过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，
设直线的解析式为：，
∵直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴有一个实数根，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为：，
∴得，
过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形，
∴．
（3）存在，理由如下：
∵点与点关于直线对称
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴连接，交点为点，
∴点是，的中点，
∵，，
∴，
∴，
设点，
∴，
∴，
∴点，，
∵点是，的中点，
∴，，
设点，
∵点，，
∴，
∴点，
∵点，，
∴，
点；
综上所述，点或．

12．(1)，，
(2)点的坐标为
(3)＝1，为定值
【分析】（1）令，求出点，，再令求出点；
（2）根据已知条件得，可得，再求出直线的关系式，进而得出直线的关系式，然后联立关系式得出答案；
（3）结合已知条件设直线和的关系式，可得点，的坐标，联立关系式求出，进而得出，及，再将关系式联立可得，即可得出，然后根据点的坐标表示出，，进而得出答案．
【详解】（1）解：令，得或3，
、．
令，得，得；
（2）解：连接、，如图，
，
若，
即，
．
设直线为，
由、得：，
解得：，
∴直线为，
∵
设直线为，代入，得，
解得：，
直线为．
由，解得：（不合题意的值已舍去），
点的坐标为；
（3）解：，设直线的关系式为,
∴，解得，
直线的关系式为，
．
同理，设直线的关系式为，
．
由得，，
得或，
，同理可得，
由得，，
，
即，．
，，，
，，
，为定值．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程，构造辅助线是解题的关键．
13．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，解直角三角形；
（1）根据抛物线解析式，得出，根据勾股定理得出，进而可得，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）作于，设，证明，根据相似三角形的性质得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
（3）作轴于点，于点，证明得出，作于点，轴于点，根据函数解析式求得，，，根据平行线的性质得出，根据正切值相等，建立方程，得出，延长交于点，证，根据的正切值为得出，进而得出，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
在中，
在抛物线上，

（2）作于
由一问得，
设，，
，
，
，
，
（3）作轴于点，于点，
∵，，

，
作于点，轴于点
当时，，
，
，
，
或；
与不重合

延长交于点
轴，
，
解得：，
，
或（舍）
，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得：
直线
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，作轴交直线于点，则，，进而根据，即可求解．
（3）连接，过点作于点，延长使得，连接，先证明是等腰直角三角形，进而根据已知条件得出四点共圆，则，，证明得出，设，又，在中，根据勾股定理可得得出，则，解得出的坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
代入得，
解得：
∴
（2）∵
∴，
∵点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，的横坐标为，
∴
设直线的解析式为，代入，，
得
解得：
∴直线的解析式为
作轴交直线于点

∴
∴
∴
∴
（3）解：如图所示，连接，过点作于点，延长使得，连接，

∵，，
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵
∴四点共圆，则，
∴，是等腰直角三角形，则
设
∴，
∴
∵，
∴
∴
在中，
∴
∴
∵，又
∴
∴
设，又
∴，，
在中，根据勾股定理可得
∴
∴
过点作于点，
∵
∴

∴
即
∵
设，则
∴
解得：（负值舍去）
∴，
∴
设直线的解析式为
将，代入
∴
解得：
∴
联立
解得：（舍去）
∴.
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理，一次函数的图象和性质，数形结合和准确计算是解题的关键．
（1）将，代入抛物线，求出b，c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出点D坐标为，①设点F的坐标为，则点P的坐标为，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）连接，先推出．再由，得到比例式，进而即可求解
【详解】（1）解：将，代入抛物线，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）由（1）可得点D的坐标为．
当时，，解得，，
∴点B的坐标为，
∴直线BD的解析式为．
设点F的坐标为，则点P的坐标为，
∴，整理得，
∴当时，．
（3）存在．理由如下：
如图，连接，
则由勾股定理，得，，
，
∴，
∴．
设，过点Q作轴于点M，连接．
∵，
∴∽，
∴，
∴，解得，
此时点Q的坐标为．
∴在线段BD上存在点Q，使得，点Q的坐标为．
16．(1)
(2)①5；②
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①当时，则点F在的中垂线上，则，即可求解；
②证明，得到，则，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
解得，
∴点，
设点，
设直线的解析式为，
由点、F的坐标得，
解得，
∴直线的表达式为：，
当时，，
∴点，
①当时，则点F在的中垂线上，
则，即，
解得：(舍去)或5，
则；
②过点D作轴，作，过点F作轴，则，，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的表达式为：，
联立上式和的表达式得：，
解得：，
由得，，
∵的面积是面积的3倍，
则
则∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：(舍去)或4，
当时，
∴点．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，运用数形结合思想解题是关键．
17．(1)抛物线表达式为；所在直线的函数表达式为；
(2)；
(3)点的横坐标是或或或．
【分析】（1）设出直线解析式，分别把，代入抛物线解析式中和直线解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，取点，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，则点M即为为抛物线的交点，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为；
（3）分点在直线的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
把，代入中得：
，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：已知，
∴，则，
如图所示，取点，作轴于点，使得，，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点M即为为抛物线的交点，
同（1）法可得直线解析式为，
联立，
解得或，
∴点M的坐标为；
（3）∵，，
∴，
∴，
如图所示，
当点在直线上方时：
将直线向上平移1个单位，得到，设直线与轴的交点为，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴点为直线与抛物线的交点，
令，解得：，
当点在直线下方时，
将直线向下平移1个单位，得到直线，则点为直线与抛物线的交点，
令：，
解得：．
综上：点的横坐标为：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，一次函数图象的平移等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
18．(1)抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为
(2)A点坐标为，B点坐标为
(3)3
【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）联立二次函数和一次函数解析式求解即可；
（3）首先得到与y轴交点的坐标为，进而求解即可．
【详解】（1）抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；
（2）由题意得，即，
解得或，
则或，
∴A点坐标为，B点坐标为；
（3）∵与y轴交点的坐标为，
∴的面积．
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