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2024年九年级数学中考专题训练:二次函数综合(特殊四边形问题)
1.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线(a、b为常数,且)与x轴交于两点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点C为抛物线上一点,连接,过点C作轴于点D,点F为x轴上的动点,作抛物线L,关于原点O对称的抛物线,当点C在抛物线L 的对称轴左侧,且的面积为12时,在抛物线上是否存在点E,使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是矩形?若存在,请求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.
2.抛物线:交y轴于A点,点B为点A上方y轴上一点,将抛物线绕动点旋转后得到抛物线交y轴于点C,交抛物线于点D,E.
(1)如图①,当点B坐标为,求出此时抛物线的表达式;
(2)如图②,顺次连接A,E,C,D四点,请证明四边形为菱形,并说明当m为何值时四边形为正方形;
(3)如图③,过点B作直线l:交抛物线,于P,Q,M,N,若在点B的运动过程中始终保持,求出此时k和m的数量关系.
3.如图,在直角坐标系中,直线与x轴、y轴的交点分别为A、B,以为对称轴的抛物线与x轴分别交于点A、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t.设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D,连接,交于E,求出当以A、D、E为顶点的三角形与相似时点P的坐标;
(3)点M是对称轴上任意一点,在抛物线上是否存在点N,使以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由.
4.综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点和点(点在点的左侧),交轴于点.
(1)求点A,,的坐标;
(2)如图1,连接,点D在线段上运动,过点D作轴于点F,交抛物线于点E,连接,当的面积是的面积的时,求点D的坐标;
(3)如图2,点G的坐标是,作直线,点H在y轴的负半轴上运动,连接BH交直线于点M,点N在该平面内运动,当以点,H,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点H的坐标.
5.如图,抛物线过点,点P在抛物线上,且横坐标为m,抛物线P、Q之间的部分(包括P、Q点)图象记为M.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当时,求图象M最高点与最低点纵坐标的差.
(3)点B坐标为,以为对角线构造平行四边形,轴,过C作x轴的垂线l,直线l将平行四边形的面积分成的两部分.
①当时,求平行四边形的面积.
②当直线l与直线的交点刚好在抛物线上时,直接写出m的值.
6.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,点是抛物线上的动点(不与点重合).设点的横坐标为,过点作轴,垂足为点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)若点在第三象限,且,求的值;
(3)连接,直线交直线于点,当点关于直线的对称点落在轴上时,求的值.
7.如图,抛物线与y轴交于点C,与x轴交于点和点B(点A在点B的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)无论a取何值,抛物线一定经过两个定点M,N(点M在点N的左侧),点H是线段上一点,连接,当为直角三角形时,求点H的坐标;
(3)在(2)的条件下,点P是线段上一点,则在平面直角坐标系中是否存在一点Q(),使得以为顶点且以为边的四边形是菱形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,二次函数(其中、为常数)经过点,对称轴为直线,点在抛物线上,其横坐标为.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当时.直接写出的取值范围;
(3)抛物线在、之间的函数部分的最大值为时,求出此时的值;
(4)已知点,点关于点的对称点为点,以为对角线构造矩形,其中轴.当,抛物线在矩形内部的函数部分随的增大而增大或者随的增大而减小时,直接写出的取值范围.
9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点,、为该抛物线上的两点,点的横坐标为,点的横坐标为.当点不在轴上时,过点作轴的垂线交轴于点,以、为边作平行四边形,将平行四边形向轴正方向平移1个单位长度得到平行四边形(点、、、的对应点分别为点、、、).
(1)求抛物线的解析式;
(2)当平行四边形是矩形时,求的值;
(3)当轴将平行四边形分成面积相等的两部分图形时,求平行四边形的面积;
(4)当抛物线在轴右侧的部分与平行四边形有两个公共点,且右公共点与左公共点的横坐标之差小于1时,直接写出的取值范围.
10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线(、为常数)与轴交于、两点,与轴交于点,点是抛物线上一个动点.
(1)求该抛物线的解析式:
(2)若,请求出点的坐标;
(3)连接,直线上有一动点,点为坐标平面上一个动点,若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时,请直接写出点的坐标.
11.如图,二次函数的图象与轴交于(为坐标原点)、两点,且二次函数的最小值为,点是其对称轴上一点,点在轴上,.
(1)求二次函数的解析式;
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点,连接,,求面积的最大值;
(3)在二次函数图象上是否存在点,使得以,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
12.已知抛物线与轴交于点和,与轴交于点C
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图1,点是线段上的一个动点(不与点,重合),过点作轴的垂线交抛物线于点,连接,当四边形恰好是平行四边形时,求点的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,是的中点,过点的直线与抛物线交于点,且,在直线上是否存在点,使得与相似?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
13.如图,已知二次函数的图象交轴于点,,交轴于点C.
(1)__________,__________;
(2)如图1,点M从点B出发,以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动,点N从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动,点M,N同时出发.设运动时间为秒();当为何值时,的面积最大?最大面积是多少?
(3)已知是抛物线上一点,在直线上是否存在点,使以,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点坐标;若不存在,请说明理由.
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于,两点,与轴交于点,连接.是直线下方抛物线上的一个动点,过点作直线交抛物线于点,连接,,线段交于点,连接.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当的面积取得最大值时,求点的坐标和面积的最大值;
(3)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度,得到一条新抛物线.若为新抛物线的顶点,为直线上一点,为平面直角坐标系内一点,直接写出所有使得以,,,为顶点的四边形是菱形的点的坐标,并把求其中一个点的坐标的过程写出来.
15.如图,抛物线与x轴交于点与y轴交于点C,连接.
备用图
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点D是直线上方的抛物线上一点,连接交于点E,当时,求点D的坐标;
(3)点P在抛物线的对称轴上,在坐标平面内是否存在点Q,使得以P,Q,B,C为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
16.综合与探究
如图,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,连接,抛物线的对称轴与轴于点,过点作交轴于点.
(1)求点的坐标;
(2)点为抛物线上第四象限的一个动点,过点作轴于点,当时,求的长;
(3)在()的条件下,若点是轴上一点,则平面内是否存在一点,使以为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
17.如图抛物线与轴分别相交于,两点(点在点的左侧),是的中点,平行四边形的顶点,均在抛物线上.
(1)直接写出点的坐标;
(2)如图(1),若点的横坐标是,点在第三象限,平行四边形的面积是13,求点的坐标;
(3)如图(2),若点在抛物线上,试探究直线是否经过某一定点.若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
18.如图,抛物线经过两点,并交轴于另一点,点是抛物线的顶点,直线与轴交于点.
(1)求该抛物线与直线的表达式;
(2)若点是轴上一动点,分别连接,求的最小值;
(3)若点是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
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参考答案:
1.(1);
(2)存在,点E的坐标为或或或.
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,待定系数法求二次函数的解析式,矩形的判定,掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
(1)用待定系数法求解即可;
(2)当点C位于点的位置时,点E位于点或点的位置,当点C位于点的位置时,点E位于点或点的位置,分两种情况求解即可.
【详解】(1)解:∵抛物线与x轴交于两点,
∴
解得:,
∴抛物线的函数表达.
(2)解:∵,
∴,抛物线的对称轴为直线,
∵,轴于点D,
∴,
解得,
∴点C的纵坐标为6或,即点C位于点或的位置,
∵点D、F均在x轴上,轴于点D,
∴,
∴与是以点C、D、E、F为顶点的矩形的一组邻边,
∴,即轴,
∴点E的纵坐标与点C的纵坐标相等,
∵抛物线关于原点O对称的抛物线为,
∴易得抛物线L的函数表达式为,
①当点C位于点的位置时,点E位于点或点的位置,
此时点与点的纵坐标均为6,
在中,令,得,
解得,
∴,
②当点C位于点的位置时,点E位于点或点的位置,
此时点与点的纵坐标均为-6.
在中,令,得,
解得,,
∴,
综上可知,在抛物线上存在点E,使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是矩形,点E的坐标为或或或.
2.(1)
(2)见解析,时,四边形为正方形
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合问题,涉及了待定系数法求解析式、菱形的性质、二次函数与一元二次方程综合等知识点,掌握相关知识点是解题关键
(1)根据求出A坐标为,进而得即可求解;
(2)联立,可得,;根据四边形为菱形当时,四边形为正方形即可求解;
(3)分别联立l,,联立l,可得,,,,据此即可求解;
【详解】(1)解:∵:
∴A坐标为
∵B坐标为
∴
∴:
(2)解:∵A坐标为,B坐标为
∴
∴:
联立,
得
解得,
∴,
∴D,B,E共线且
∴四边形为菱形
当时,四边形为正方形
即
解得(舍),
∴时,四边形为正方形
(3)解:联立l,
得
解得,,
联立l,
得
解得,,
∵
∴
∴
∴
∴
3.(1)
(2),
(3)存在,
【分析】(1)先根据直线方程可求出点坐标,由抛物线的对称性可以求得点的坐标,然后写出抛物线的交点式方程即可;
(2)需要分类讨论:①当时,∽.此时点在对称轴上,即点为抛物线的顶点,坐标为;②当时,∽.过点作于点,则∽.根据相似三角形的对应边成比例列出关于的一元二次方程:,通过解该方程可以求得t的值;
(3)需要分类讨论:以为边和以为对角线时的平行四边形.
【详解】(1)解:令,得,
∴点坐标为,
∵抛物线的对称轴为,
∴点的坐标为,
∴抛物线的解析式为:,
(2)解:∵抛物线的对称轴为,
∴点的坐标为,
当时,∽.
此时点在对称轴上,
即点为抛物线的顶点,坐标为;
当时,∽.过点作于点,则∽.
则有,
∴,
即:,
解得(不合题意,舍去),
当时,,
此时点坐标为,
综上所述,点的坐标为, ;
(3)解:如图当为一条边时,如图作垂直于抛物线的对称轴于,
∵,
∴,
∵轴,
∴,
∴,
又,,
∴≌,
∴,
则点横坐标为2,此时,
点坐标为;
如图,当为一条边时,过作垂直轴于,作垂直于于,
有,点的横坐标为为,则,
此时点坐标为,
如图,当为对角线时,过作轴的垂线,过作垂直于这条直线于,过作垂直于轴于,
则有,则点横坐标为,此时,
此时点坐标为.
故在抛物线上存在点N,使以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,点坐标为:.
【点睛】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的性质.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
4.(1),
(2)或
(3)或或
【分析】本题主要考查了求二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边形的综合等知识点,掌握数形结合思想成为解题的关键
(1)分别令进行求解即可;
(2)先求出直线的解析式,然后设出点D、点E坐标,表示出,然后再根据的面积是的面积的求出,从而得到方法求解,进而完成解答;
(3)先求出直线、的解析式,然后联立求得,即;再分三种情况解答即可.
【详解】(1)解:当有,整理得:,解得:或
所以;
当有,
∴.
(2)解:设直线的解析式为,
则有,解得:,
∴,
设D点坐标为,,
,
∵,
∴、的边上的高相等,
∵的面积是的面积的,
∴,
∴,解得:或6,
∴D点的坐标为或.
(3)解:∵,
设直线的解析式为,则有:,解得:,即,
设,则,
设直线的解析式为,
则有,解得:,即,
联立可得:,解得:,
∴,
∴,
∴;
①当均为边时,则,
∴,即,化简得:,解得:或16(正值舍去);
∴;
②当为边时,为对角线时,由对角线相互垂直平分可得:,
∴,解得:或18(正值舍去),
∴;
③当为对角线,为边时,,
∴,
∴,整理得:,解得:.
综上,或或.
5.(1)
(2)16
(3)①或;②2或
【分析】(1)利用待定系数法求解即可;
(2)先求出点P的坐标,进而求出当时,,据此可得答案;
(3)①先求出,由平行四边形的性质得到,
设,则,则,再分当直线l与的交点在线段上时,当直线l与线段相交于点E时,两种情况讨论求解即可;②分当时,点P在对称轴的左侧, 当时,点P在对称轴的右侧,三种情况讨论求解即可.
【详解】(1)解:把代入中得:,解得,
∴抛物线解析式为;
(2)解:在中,当时,,
∵抛物线解析式为,
∴抛物线顶点坐标为,
∴当时,,
∴图象M最高点与最低点纵坐标的差为;
(3)解:①当时,,
∵以为对角线构造平行四边形,轴,
∴,
设,则,
∴,
∵过C作x轴的垂线l,直线l将平行四边形的面积分成的两部分,
∴分两种情况:
当直线l与的交点在线段上时,如图,
∴,
∴,
解得,
∴;
当直线l与线段相交于点E时,如图,
∴,
设,
∴,
解得:,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
解得,
∴;
综上所述,当时,平行四边形的面积为或.
②当时,点P在对称轴的左侧,设与交于E,如图,
∵,
∴,
由①知:,
∴,
解得:,与矛盾,故不成立;
当时,点P在对称轴的右侧,设与交于E,如图,
同理可得:,
∵,,
∴,
解得:;
当时,点P在对称轴的右侧,设直线l与交于D,如图,
∵,,
∴,
∵直线l将平行四边形的面积分成的两部分,
∴点D是的中点(),
∴,
∴;
综上所述,m的值为2或.
【点睛】本题主要考查了二次函数综合,求二次函数解析式,求一次函数解析式,平行四边形的性质等等,利用分类讨论的思想求解是解题的关键.
6.(1)
(2)m的值是
(3)的值是或
【分析】此题考查了二次函数综合题,数形结合和分类讨论是解题的关键.
(1)利用待定系数解答即可;
(2)设,过点作于点,得.利用求出m的值;
(3)分两种情况画出图形,分别进行解答即可.
【详解】(1)解:把点代入,
得.
把点代入,
得.
抛物线的函数解析式为.
(2)设,
如图,过点作于点,
则.
.
轴,
.
又
∴四边形是矩形,
.
,
解得(舍去),
的值是.
(3)设.
对于,
当时,,
解得
.
,
由勾股定理得.
当点在第三象限时,如图,过点作轴于点,
则四边形是矩形,
.
点与点关于对称,
.
轴,
,
,
四边形是平行四边形,
四边形是菱形.
,
,
,
即.
设直线的解析式为,
把代入,
得
解得
直线的解析式为.
,
.
又,且,
.
解得(舍去).当点在第二象限时,如图,
同理可得.解得(舍去).
综上,的值是或.
7.(1)
(2),
(3)存在,点Q的坐标为或
【分析】(1)将A代入即可求解;
(2)根据解析式确定抛物线必过定点和,,分为①当时,②当时,两种情况分别画图求解即可;
(3)求出直线的解析式,设P,Q,分为①,②,两种情况分别求解即可;
【详解】(1)解:将代入,
解得,
;
(2),
当或者时,,
无论a为何值,抛物线必过定点和,
点M和点C重合,
,
①当时,如图1,为等腰直角三角形,
,
②当时,如图2,为等腰直角三角形,
;
图1 图2
(3)直线的解析式为,过点A,C,
求得直线的解析式为,
设P,Q,
M,H1,
①如图3,,
,
解得,
P1,
根据菱形性质,可以得出Q1,
②如图4,,
,
解得,
P2,
根据菱形性质,可以得出Q2,
综上所述:点Q的坐标为或.
图3 图4
【点睛】本题考查二次函数综合应用,涉及待定系数法,三角形面积,菱形的判定与性质等知识解题的关键是用含字母的代数式便是相关点的坐标和相关线段的长度及方程思想的应用.
8.(1)
(2)当时,的取值范围为
(3)的值为或
(4)的取值范围为
【分析】(1)由题意得出,解方程,求出的值即可;
(2)根据二次函数的解析式及性质计算即可得出答案;
(3)分两种情况:若点在对称轴右侧,即时;若点在对称轴左侧,即时;分别利用二次函数的性质,求解即可得出答案;
(4)令抛物线与轴的交点为,可得,求出点,即在轴上,再根据矩形的性质结合轴得出在轴上,画出图形得出当时,才会有抛物线在矩形中,列出不等式,解不等式即可得出答案.
【详解】(1)解:二次函数(其中、为常数)经过点,对称轴为直线,
,
解得:,
该二次函数的解析式为;
(2)解:,
当时,二次函数有最大值为,
,
当时,,当时,;
当时,的取值范围为;
(3)解:点在抛物线上,其横坐标为,
,
由(2)可得,抛物线的顶点为,
若点在对称轴右侧,即时,抛物线在、之间的函数部分随的增大而减小,
当时,为最大值,即,
解得:或,
,
;
若点在对称轴左侧,即时,抛物线顶点为最大值,即,
解得:;
综上所述,的值为或;
(4)解:令抛物线与轴的交点为,
在中,当时,,
,
,点,点关于点的对称点为点,
,,
,即在轴上,
轴,四边形为矩形,
轴,
在轴上,
如图,当恰与点重合时,
,
此时抛物线没有在矩形内,只有将矩形往上移动,才会有抛物线在矩形中,如图,
,,
,
,
解得:,
的取值范围为.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的最值、矩形的性质,熟练掌握以上知识点并灵活运用,采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键.
9.(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)ABDC的面积为3或5
(4)的取值范围是或
【分析】(1)利用待定系数法求解即可;
(2)由矩形的性质得到,进而得到轴,则点A和点B关于抛物线对称轴对称轴,据此求解即可;
(3)根据题意可得平行四边形对角线的交点在x轴上,进而得到点B一定在x轴上,由此求出m的值,再根据m的值求出A、B、C的坐标,根据进行求解即可;
(4)先求出,,;当点E在抛物线上时,则点A和点E关于对称轴对称,则,此时抛物线与平行四边形只有一个交点,求出,进而求出当点在抛物线上时, 时,此时抛物线与平行四边形只有一个交点,则时,抛物线与平行四边形有两个交点;求出当点F在抛物线上时,;根据右公共点与左公共点的横坐标之差小于1,则两个公共点一个公共点在上,一个公共点在上时满足题意;求出当点H恰好在抛物线上时,,由右公共点与左公共点的横坐标之差小于1,得到两个公共点一个公共点在上,一个公共点在上时满足题意,据此可得答案.
【详解】(1)解:∵,抛物线经过点,
∴,
∴,
∴抛物线解析式为;
(2)解:∵抛物线解析式为,
∴抛物线对称轴为直线,
∵四边形是矩形,
∴,
∵轴,
∴轴,
∴点A和点B关于抛物线对称轴对称轴,
∴,
∴;
(3)解:∵轴将平行四边形分成面积相等的两部分图形,
∴平行四边形对角线的交点在x轴上,
又∵点C在x轴上,
∴点B一定在x轴上,
∴,
解得或,
当时,,,
∴,
∴;
当时,,,
∴,
∴;
综上所述,平行四边形的面积为3或5;
(4)解:由题意得,,,,
∴,,;
当点E在抛物线上时,则点A和点E关于对称轴对称,
∴,
∴,此时抛物线与平行四边形只有一个交点,
设,
∵平行四边形对角线中点坐标相同 ,
∴,
∴,
∴,
∴;
当点在抛物线上时,,
解得或(舍去),
当时,此时抛物线与平行四边形只有一个交点,
∴时,抛物线与平行四边形有两个交点;
当点F在抛物线上时,,
解得;
∵右公共点与左公共点的横坐标之差小于1,
∴两个公共点一个公共点在上,一个公共点在上时满足题意,
∴;
当点H恰好在抛物线上时,,
解得或(舍去),
∵右公共点与左公共点的横坐标之差小于1,
∴两个公共点一个公共点在上,一个公共点在上时满足题意,
∴;
综上所述, 或.
【点睛】本题主要考查了二次函数综合,平行四边形的性质,矩形的性质,坐标与图形变化平移等等,解题的关键在于利用数形结合的思想求出临界情况.
10.(1)该抛物线的解析式为
(2)点的坐标为 或
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质,正方形的性质,分类讨论是解题的关键.
(1)利用待定系数法即可求解;
(2)设点的纵坐标为,由可得,求出,即可求解;
(3)分两种情况讨论:当为正方形的对角线时,当为正方形的边时,即可求解.
【详解】(1)解:将、分别代入,
得:,
解得:,
该抛物线的解析式为:;
(2),,
,
在抛物线中,令,则,
,
设点的纵坐标为,
,
,
即,
解得:,
当时,,解得:或,
点的坐标为 或,
当时,,方程无实数根,
综上所述,点的坐标为 或;
(3),,
,
是等腰直角三角形,
,
若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时,则为等腰直角三角形,
当为正方形的对角线时,即为等腰直角三角形的斜边时,如图,此时点与重合,
;
当为正方形的边时,,
设直线的解析式为,
将,代入得:,
解得:,
直线的解析式为,
易得直线的解析式为,
联立,
解得:或(舍去),
;
综上所述,点的坐标为或.
11.(1)
(2)
(3)存在,或或
【分析】(1)先求出顶点坐标,设二次函数解析式为,将点代入即可求函数的解析式;
(2)设,过点P作x轴的垂线交于点Q,直线的解析式,则点Q的坐标为,可得,当时,有最大值,即可得的最大值;
(3)设N点坐标为,根据平行四边形对角线的性质,分三种情况讨论,利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标.
【详解】(1)∵二次函数的最小值为,点是其对称轴上一点,
∴二次函数顶点为,
设二次函数解析式为,
将点代入得,,
∴,
∴;
(2)设,过点P作x轴的垂线交于点Q,则点Q的横坐标为t,
令抛物线解析式的,得到,
解得,,
∴A的坐标为,
设直线AB的解析式为,
将,代入,得
∴,
解得:,
∴直线的解析式为:,
∴点Q的坐标为,
∴
,
∴当时,有最大值,
∴面积的最大值为;
(3)存在点N,使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:
设N点坐标为,
当为对角线时,由中点坐标公式得,,
∴,
∴,
当为对角线时,由中点坐标公式得,,
∴,
∴,
当为对角线时,由中点坐标公式得,,
∴,
∴,
综上所述:或或.
【点睛】本题考查待定系数法,二次函数的图象及性质,二次函数与几何综合,平行四边形的性质等知识,熟练掌握二次函数的图象及性质,平行四边形的性质是解题的关键.
12.(1)
(2)
(3)存在,的坐标为或.
【分析】(1)用待定系数法可得;
(2)由,可得直线解析式为,设,由,有,即可解得;
(3)可得直线的表达式为,知在直线上,,,过点作轴于点,过作轴于,根据,可得直线和直线关于直线对称,有,,,从而可得直线的表达式为,点的坐标为,即得,,故,与相似,点与点是对应点,设点的坐标为,当时,有,解得;当时,,解得.
【详解】(1)解:把,代入得:
,
解得:,
;
(2)解:由,可得直线解析式为,
设,则,
,
,要使四边形恰好是平行四边形,只需,
,
解得,
;
(3)解:在直线上存在点,使得与相似,理由如下:
是的中点,点,
点,
由(2)知,
直线的表达式为,
,
在直线上,,,
过点作轴于点,过作轴于,如图:
,故,
,
,
直线和直线关于直线对称,
,,
,
由点,可得直线的表达式为,
联立,
解得或,
点的坐标为,
,
,,,
,
,
,
,
,即,
与相似,点与点是对应点,
设点的坐标为,则,
当时,有,
,
解得或(在右侧,舍去),
;
当时,,
,
解得(舍去)或,
,
综上所述,的坐标为或.
【点睛】本题考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,平行四边形,相似三角形等知识,难度较大,综合性较强,解题的关键是证明,从而得到与相似,点与点是对应点.
13.(1)4,5
(2)当时,的面积最大,最大面积是
(3)存在,的坐标为或或或
【分析】(1)用待定系数法可得二次函数的表达式为;
(2)过点作轴于点,设面积为,由,,可得,,即得,由二次函数性质可得当秒时,的面积最大,最大面积是;
(3)由,得直线解析式为,设,,分三种情况:①当,是对角线,有,解得;②当,为对角线,有,解得;③当,为对角线,有,解得或.
【详解】(1)解:将点,代入中,
得,
解这个方程组得,
二次函数的表达式为;
(2)解:过点作轴于点,如图:
设面积为,
根据题意得:,.
,
,
在中,令得,
,
,
.
,
,
,
当时,的面积最大,最大面积是;
(3)解:存在点,使以,,,为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:
由,得直线解析式为,
设,,又,,
①当,是对角线,则,的中点重合,
,
解得(与重合,舍去)或,
;
②当,为对角线,则,的中点重合,
,
解得(舍去)或,
;
③当,为对角线,则,的中点重合,
,
解得或,
或,
综上所述,的坐标为或或或
【点睛】本题考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法,三角形面积,三角函数的应用,平行四边形的性质及应用,解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度.
14.(1);
(2)点的坐标为,;
(3)点的坐标为,,,,见解析.
【分析】()利用待定系数法求解即可;
()先求出直线的解析式为和直线的解析式为,过点作轴交直线于点,设,,则,利用得出,从而即可求解;
()先求出新抛物线的解析式,设,则,,,求出的值,
,再根据菱形一组邻边相等且对角线互相平分求解即可;
本题考查了二次函数的图象及性质,一次函数的性质、待定系数法求函数表达式、菱形的性质等,熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键.
【详解】(1)∵抛物线与x轴交于,两点,
解得
∴,
∴该抛物线的函数解析式为;
(2)由,当时,,
∴,
设直线的解析式为,
则,解得:,
∴直线的解析式为,
∵,且,
∴同理直线的解析式为,
联立,
∴,
∵,
∴,
过点作轴交直线于点,
设,则,
∴,
∴,
,
,
∴当时,有最大,最大值为,
此时,点P的坐标为;
(3)平移后抛物线的解析式为,
∴,
设,则,,
,
解得(舍去),,
∴;
若与为邻边,则,
∴.
解得,
综上,点的坐标为,,,.
15.(1)
(2)
(3)存在,Q的坐标为或或或
【分析】(1)待定系数法求解即可;
(2)过E作轴于K,求出直线解析式为,然后由得到,得到,然后求出直线解析式为,然后和抛物线联立求解即可;
(3)设,然后根据题意分3中情况讨论,分别利用矩形的性质就即可.
【详解】(1)把代入得:
解得:,
;
(2)过E作轴于K,如图:
在中,令得,
,
设直线直线解析式为
由得,
解得
∴直线解析式为,
,
,
,
,
在中,令得,
,
∴直线解析式为,
解得:或(舍去).
;
(3)在坐标平面内存在点Q,使得以P,Q,B,C为顶点的四边形是矩形,理由如下:
由得抛物线的对称轴是直线,
设,又,
①若,是对角线,则,中点重合且,
,
解得或,
或;
②若,为对角线,同理得:
,解得,
,
③若,是对角线,
,解得,
,
综上所述,Q的坐标为或或或.
【点睛】本题考查了二次函数综合,待定系数法求二次函数解析式,求一次函数解析式,平行线分线段成比例,矩形的性质,因式分解法解一元二次方程等知识,熟练掌握以上知识是解题的关键.
16.(1),,;
(2);
(3)点的坐标为或.
【分析】(1)令,得,从而得点坐标,当时,,解得或,从而即可求得、的坐标;
(2)设,由,构造方程.求得或(舍去),从而求得,再利用一次函数的性质求的点,利用勾股定理即可得解;
(3)分是矩形的边和是对角线两种情况,利用矩形的性质、一次函数的图像及性质及平移的性质求解即可.
【详解】(1)解:中,令,得,
∴点坐标为,
当时,,解得或,
∴,;
(2)解∶设,
∵,
∴,,
∵,
∴.
解得或(舍去),
当时,,
∴,
设直线:,
把,代入得,
,
解得,
∴直线:,
∵,
∴设:,
∵,
∴抛物线对称轴为,
∴,
把代入,得,解得,
∴,
∴,
∵,
∴;
(3)解:存在一点,使以为顶点的四边形是矩形.点的坐标为或.
(ⅰ)当是矩形的边时,有两种情形:
①如解图①,四边形是矩形时,直线与轴交于点,
由()可知,代入中,得,
∴直线的表达式为.
∴.
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴即
∴,
∴.
根据矩形的性质,将点向右平移个单位,向上平移个单位得到点,
∴,即;
②如解图②,四边形是矩形时,
∵直线的表达式为,,
∴设直线的表达式为,
将代入,得,
∴直线的表达式为.
令,得,
∴.
根据矩形的性质可知,将点向右平移个单位,向上平移个单位得到点,
∴,即.
(ⅱ)当是对角线时,设,
∵,,
则,,,
∵是直角顶点,
∴,即
整理得,方程无解,此种情形不存在,
综上所述,满足条件的点坐标为或.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,待定系数法求一次函数及一次函数的性质,勾股定理,平移的性质,熟练掌握矩形的性质及待定系数法求一次函数是解题的关键.
17.(1)点C坐标为
(2)
(3)是,直线DF过定点
【分析】
(1)先求出点,点坐标,由中点坐标公式可求解;
(2)先求出点,再求出直线的解析式,过点作轴交直线于点,连接,设点,则点,可得,再由平行四边形的面积是13可得,再根据,列出方程,求出点的坐标,即可求解;
(3)设直线的解析式为,联立得,可得,根据根与系数的关系得,由平行四边形的性质可得,,根据点在抛物线上建立方程,得到,则直线的解析式为,以此即可求解.
【详解】(1)
解:抛物线与轴分别相交于,两点,
,
,,
点在点的左侧,
点,,点,,
是的中点,
点坐标为;
(2)
点在抛物线上,
,
点,
设直线的解析式为,
把,代入得:
,解得:,
直线的解析式为,
如图(1),过点作轴交直线于点,连接,
设点,则点,
,
平行四边形的面积是13,
,
,
,
解得:或(舍去),
点,
点先向右平移3个单位,再向下平移2个单位到达点,
点先向右平移3个单位,再向下平移2个单位到达点;
(3)
直线经过某一定点.理由如下:
设直线的解析式为,
联立得:,
整理得:,
,
四边形为平行四边形,
,,
,
,
点在抛物线上,
,
解得:,
直线的解析式为,
直线过定点.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题、平行四边形的性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,利用数形结合思想解答是解题关键.
18.(1)抛物线的表达式:,直线AM的表达式:;
(2);
(3)点坐标为或或.
【分析】
本题考查了一次函数和二次函数的图像和性质,待定系数法求解析式,二次函数的应用等知识;
(1)先将、点坐标代入解析式,求出二次函数解析式,然后再求出抛物线顶点的坐标,再根据待定系数法求出一次函数解析式;
(2)作点关于轴的对称点,连接交轴与点,则此时的值最小,最小值为,求出的值即可;
(3)分、、分别为对角线,三种情况进行讨论求解即可.
【详解】(1)解:将代入二次函数解析式有:
解得,
∴抛物线的解析式为:,
有,
点坐标:,
设直线的解析式为,则有:
,
解得:
∴直线的解析式为:.
(2)解:作点关于轴的对称点,连接交轴与点,连接则此时的值最小;
∵,
∴当三点共线时,取最小值,
∵中,另,则,
∴,,
∴,
即:取最小值为;
(3)解:存在,
∵,
∴对称轴为直线,
设,,
当以为顶点的四边形是平行四边形时:
当为对角线时,有:
∴,
当时,,
∴,
∴点坐标为
当为对角线时,,
,
∴,
当时,,
∴,
∴此时点坐标为;
当为对角线时:
有,
∴,
当时,,
∴,
∴点坐标为;
综上,当以为顶点的四边形是平行四边形时,点的坐标为或或.
【点睛】本题考查二次函数的综合应用,是中考常见的压轴题.正确的求出函数解析式,熟练掌握二次函数的性质,利用数形结合和分类讨论的思想进行求解,是解题的关键.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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