2024年九年级数学中考专题训练：实际问题与二次函数（函数动态问题）（含解析）

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2024年九年级数学中考专题训练：实际问题与二次函数（图形运动问题）
一、单选题
1．如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．如图，正方形的边长，点P以的速度从点A出发沿运动，同时点Q以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接PQ和，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．如图，矩形中，动点E从点B出发，沿折线运动到点D停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为，，则y与x对应关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图1，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图1，中，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，将沿射线方向匀速平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移距离为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象最符合与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在梯形 中，，，， ，点 ，分别为对角线 和边 上的动点，连接 点 在 上以每秒 个单位长度的速度从点 运动到点，在这个过程中始终保持 设的面积为，则与点 的运动时间 的函数关系图象大致可以表示为( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．

10．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．

11．如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ．

12．如图，在中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，若，则的最小值为 ．

13．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为（单位：秒），的面积为．则关于的函数表达式为 ．

14．如图1，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点停止．图2是点运动时，的面积与运动时间函数关系的图象，则的值是 ．

15．如图①，在钝角三角形中，，D为边上一动点（C点除外），以点D为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角三角形，连接．设，，若y关于x的函数图象如图②所示，则的面积为 ．

16．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点作交于点．设点运动路程为，如图2所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是 ．

三、解答题
17．如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿运动，过点作射线的垂线，交射线于点，在点运动过程中，设运动时间为，与菱形重叠部分的面积为．
(1)写出线段的长（用含的式子表示）．
(2)当平分菱形面积时，求的值．
(3)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
18．如图，已知是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：
(1)设的面积为，求S与t的函数关系式；
(2)作交于点R，连接，当t为何值时，．
19．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，是上的一个动点（点不与点，重合），过点作，交射线于点，连接设，与重叠部分的面积为．
(1)的长为______ ；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
20．如图，在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动，过点P作交或于点Q，D为中点，以、为邻边构造矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为，点P的运动时间为．

(1)用含t的代数式表示的长；
(2)当点E落在边上时，求t的值；
(3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
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参考答案：
1．D
【分析】分三种情况：当点在线段上；当点在线段上；当点在线段上．分别用含表示出每一种情况的即可．
【详解】解：根据题意知：点的速度为，运动时间为，则，
过点作于点，
∵，
∴，
∵在等腰梯形中，，，，
∴，
设，
当点在线段上，
，，
∴的面积：，
∵，，
∴，
此时关于时间的函数图像是开口向上且经过原点并位于第一象限的抛物线的一部分；
当点在线段上，
在中，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的面积：，
此时关于时间的函数图像是正比例函数图像的一部分；
当点在线段上，
则，
∴，
∴的面积：，
∵，，
∴，
此时关于时间的函数图像是开口向下的抛物线的一部分；
综上所述，关于时间的函数图像大致是选项D所表示的图像，
故选：D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像，等腰梯形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，二次函数的定义及图像，正比例函数的定义及图像等知识点，运用了分类讨论的思想．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，分当时，当时，两种情形，确定解析式，判断即可．正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．
【详解】解：在正方形中，，，
当时，，
则，
当时，，，
则，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识，当时，证明四边形是矩形，即可求出y与x的函数关系；当时，证明，根据相似三角形的性质即可求出y与x的函数关系，即可求解．
【详解】解：矩形中，，，，
当E在上时，即，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，即；
当E在上时，即，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴符合题意的函数图象是选项A，
故选：A．
5．C
【分析】首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
【详解】解：，，
．
，
．
，
．
，
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
，
．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质等知识，解题的关键在于从函数图象获取正确的信息．
根据勾股定理求出，利用相似三角形的判定与性质分别求出和时的的长，由三角形的面积公式写出y与x的函数解析式，然后将点坐标，代入求的值，最后求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
①当时，点D在边上，，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
将代入得，，
∴；
②当时，点D在边上，，如图2，
同理，，
∴，即，
解得，，，
∴，
将代入得，，
∴，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点作于，由为等腰直角三角形，，可设，可得，，然后分情况讨论：当时，当时，分别求出关于、的函数，再数形结合即可求解．
【详解】解：过点作于，
为等腰直角三角形，，
，
设，
，，
当时，设交于点，交于，
，
由平移知，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
其函数开口向下，对称轴为直线，
当时，交于点，交于点，
，
，
又，
为等腰三角形，
，
为等腰三角形，
，
，
，
此时该函数开口向上，对称轴为，
，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，勾股定理，根据已知条件求得，进而证明，根据相似三角形的性质求得，结合函数图象，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，
则四边形是矩形，
∵
∴，，
∵，
∴
在中，，
∴
∵点 在 上以每秒 个单位长度的速度从点 运动到点，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
当时，
观察函数图象，只有D选项符合题意，
故选：D．
9．4
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及二次函数图象与性质，设点运动的距离，则点运动的距离，表示出，然后根据二次函数的图象与性质求解即可得到答案，读懂题意，准确表示出是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，设点运动的距离，则点运动的距离，
，
，
，
，
，
抛物线开口向下，当时，的面积最大，即当时，的面积最大，
故答案为：4．
10． 3 9
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大面积为．
故答案为：3，9
11．/
【分析】先根据图形可知，进而求得以及图象最低点的函数值即为的最小值；再运用勾股定理求得，然后根据得到可知其表示点到与的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值．
【详解】解：由图可知，当时，，
∴，图象最低点函数值即为的最小值，
由题意可得：，，
∴，即点到与的距离之和，
∴当这三点共线时，最小，
设该直线的解析式为，
解得，
∴，
当时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键．
12．1
【分析】在上截取，作于，如图，先计算出，，，则，再在中计算出，，接着证明≌得到，然后利用勾股定理得到，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：在上截取，作于，如图，

，，
，，，
，
在中，，，
线段绕点顺时针旋转至，
，，
，
在和中
，
≌，
，
在中，，
当时，有最小值，
的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．构建与全等是解决此题的关键．
13．
【分析】根据，，，得到，根据矩形的角是直角，得到．
【详解】∵，，，
∴，
∵矩形中，，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形，三角形面积．解决问题的关键是熟练掌握矩形角的性质和三角形面积公式．
14．
【分析】根据题意可得，分当点在上时，即时和当点在上时，即时，分别表示出，分析可知当点到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题图2得，时，点停止运动，
点以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒，
，
，
由点和点的运动可知，，
当点在上时，即时，，
过点作交于，
，
，
，
，
当点在上时，即时，
，
四边形是平行四边形，
，
，
由上可知，当点到达点C时，，
即当时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．
15．
【分析】由②知，最大为5，此时点D与点A重合，，过点E作，交延长线于G，根据等腰三角形的性质及三角形等面积法得出，过点B作，交延长线于H，则，再由全等三角形的判定和性质得出，即可求解三角形面积．
【详解】解：由②知，最大为5，此时点D与点A重合，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
过点E作，交延长线于G，

∴，
解得，
∴
过点B作，交延长线于H，则，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了动点问题与函数图象的结合，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
16．20
【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，列出二次函数解析式即可解题．
【详解】解：若点在上时，如图

，，
，
在和中，，，
∽，
由二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，此时，
，
即，
，
当时，代入得到
解得：，（不合题意舍去），
，
，
∵，
矩形的面积为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图像得出为中点是解题的关键．
17．(1)当时，，当时，
(2)2.5
(3)
【分析】分两种情况：当时，当时，由题意可得出答案；
连接，过点作于点，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，列出方程可得出答案；
分三种情况：当时，点在边上，如图；当时，当点在边上，点在线段上，如图；当时，当点在边上，点在线段的延长线上，如图由直角三角形的性质及三角形的面积可得出答案．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，
当时，，
当时，．
（2）解：连接，过点作于点，则四边形为矩形，
，
，，
，
平分菱形的面积，
经过的中点，
，
四边形是菱形，
，
，，
≌，
，
，
；
（3）解：分三种情况：当时，点在边上，如图．
，，
，，
，
；
当时，当点在边上，点在线段上，如图．
由可知，，
，
，
；
；
当时，当点在边上，点在线段的延长线上，如图．
，，
，
，
，
．
综上所述，与的函数关系式为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，求函数解析式，正确进行分类讨论是解题的关键．
18．(1)
(2)当时，
【分析】本题考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神；
（1）为特殊角，过作，垂足为，则、、高（含30度角的直角三角形的性质和勾股定理）的长可用表示，与的函数关系式也可求；
（2）由题目线段的长度可证得为等边三角形，进而得出四边形是矩形，由，得出比例式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：过作，垂足为，
在中，，，
，
由，得
；
（2）解：
，
是等边三角形
，
四边形是平行四边形
又，
，
，
解得
当时，．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作于点，由题意可设，则，在中，利用勾股定理解得，得到，，于是可得，在中，利用勾股定理求得，则，在中，利用勾股定理求出，则；
（2）证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况讨论：当时，此时，证，利用相似三角形的性质得到，，则，再根据三角形的面积公式计算即可求解；当时，设交于点，此时，同理可证明：，得到，，则，根据菱形的性质可知，得到，在中，，于是可求出，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】（1）如图，过点作于点，
四边形菱形，，
，，，，
在中，，
设，则，
在中，，
，
解得：或舍去，
，，
，
在中，，
，
在中，，
；
故答案为：；
（2）当点与点重合时，如图，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，即，
，
点与点重合时，的值为；
（3）当时，如图，
，
，
，
，
，
由（1）可知，，，
，
，
，，
，
；
当时，如图，设交于点，
同理可证明：，
，
得到，，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，
，
在中，，
，
，
．
综上，．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题属于四边形综合题，计算量大，属于中考压轴题，利用相似三角形的性质表示出线段的长度，并学会利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解题关键．
20．(1)当时，，当时，
(2)
(3)
【分析】（1）分两种情况讨论：当点Q在上，即时，当点Q在上，时，分别求出结果即可；
（2）根据题意画出图形，由，列出方程，解方程即可；
（3）分三种情况进行讨论：分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
过点C作于点M，如图所示：

∵，，
∴，
∴，
根据题意得：，
当点Q在上，即时，
，
当点Q在上，时，如图所示：

此时，
∴；
综上分析可知：当时，，当时，．
（2）解：当点E落在边上时，如图，

∵四边形为矩形，D为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
．
（3）解：①当时，矩形在内部，则：
；
②当时，如图所示：

根据解析（2）可知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
；
③时，如图所示：

根据解析（1）可知：，，
∵，，
∴，
∴
；
综上分析可知：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，含30度的直角三角形的性质，求函数解析式，矩形的性质，解题的关键是注意进行分类讨论．
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