02押浙江卷第6-8题（方程（组）的实际应用、圆周角、图形与坐标变换、基本作图与三角形）-2024年浙江省中考数学题号押题（含解析）
文档属性
| 名称 | 02押浙江卷第6-8题（方程（组）的实际应用、圆周角、图形与坐标变换、基本作图与三角形）-2024年浙江省中考数学题号押题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-18 14:56:36 | ||
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文档简介
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押题方向1：方程（组）、不等式（组）的实际应用
2013年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州、衢州卷第8题 由实际问题抽象出一元二次方程 从近年浙江各地中考来看，列方程（组）、不等式（组）解决实际问题主要涵盖了一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，分式方程，一元一次不等式（组）等相关的应用题。浙江卷以选填题呈现，只需要列方程（组）即可，难度中等。预计2024年浙江卷必考方程（组）、不等式（组）的实际应用。
2023年温州卷第7题 由实际问题抽象出二元一次方程
2023年宁波卷第8题、绍兴卷第6题 由实际问题抽象出二元一次方程组
2023年丽水卷第6题 由实际问题抽象出一元一次不等式
1．（2023 衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
2．（2023 湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2
C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2
3．（2023 丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
4．（2023 宁波）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023 温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（ ）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
1．列方程（组）解应用题的复习，同学们只要掌握解应用题的解题步骤，然后再根据每个类型的应用题进行逐一突破，我们主要要强调的是这些应用题涉及的数量关系，是解题的关键，直接影响了你解题的思路的形成和最终的学习效果，大家一定要分清主次，学习的效果才能得到保证。
行程（工程）问题等量关系：工作时间＝工作总量÷工作效率；时间=路程÷速度。
增长率等量关系：设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则 ；
当为平均下降率时，则有。
利润等量关系：1）利润=售价－成本；2）利润率=×100％；3）总利润=单位利润×数量。
碰面问题（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；则m=n（n－1）。
碰面问题（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。则m=n（n－1）。
平均增长率(下降率)问题：
如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
利润问题：
利润＝售价－成本，利润率＝×100%，
销售价＝(1＋利润率)×进货价．
利息问题：
利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．
面积问题：
如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积．
设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．
2．列不等式解应用题的一般步骤：
(1)审题．(2)设未知数． (3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式．
(5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)．
1．在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处x人，则（ ）
A．27﹣x＝2（19+20﹣x） B．27+x＝2（19﹣20﹣x）
C．27﹣x＝2（19+20+x） D．27+x＝2（19+20﹣x）
2．一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（ ）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
3．有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得x钱，下面两个人各得y钱，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．某直播带货平台销售一款进价为每把160元的电动牙刷，若按每把240元出售，当月可销售100把，经调查发现，这款电动牙刷的售价每下降1元，其销售数量就增加2把．当每把电动牙刷降价多少元时，该直播带货平台销售这款电动牙刷的利润为8400元？设每把电动牙刷降价x元，则下列方程正确的是（ ）
A．（160﹣x）（100﹣2x）＝8400 B．（240﹣x）（100+2x）＝8400
C．（240﹣160﹣x）（100﹣2x）＝8400 D．（240﹣160﹣x）（100+2x）＝8400
5．为进一步深入开展“五水共治”工作，提升水环境质量，某工程队承担了黄湾塘河3000米河道的清淤任务，为了减少施工对居民生活的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前10天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（ ）
A．95﹣7x＞80 B．5（19﹣x）﹣2x≥80 C．100﹣7x＞80 D．5（20﹣x）﹣2x≥80
押题方向2：圆周角
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷、杭州卷第6题，温州卷第9题 圆周角定理 从近几年浙江中考来看，考查圆周角定理的试题经常以选择题形式呈现，整体难度较低；预计2024年浙江卷还将继续重视圆周角定理的考查。
1．（2023 湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．（2023 杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
3．（2023 温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
1．如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠BAC＝2∠OAB，则∠AOB等于（ ）
A．144° B．135° C．130° D．120°
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC＝BD，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A． B． C．2 D．1
3．如图，AB为⊙O的直径，点C，D为圆上两点，且CD＝CB，若∠DAB＝50°，则∠ABC＝（ ）
A．60° B．65° C．50° D．55°
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（ ）
A．56° B．58° C．60° D．62°
5．如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，等腰直角三角尺的一顶点与点B重合，它的斜边BQ与半圆交于点C，直角边BP与半圆交于点D．若点C在量角器上的读数为26°，则点D在量角器上的读数为（ ）
A．58° B．71° C．103° D．116°
6．已知⊙O中半径OC＝3，∠BAC＝45°，则弦BC的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图，A、B、C为⊙O上三点，AC⊥OB于点D，若∠AOB＝70°，则∠OBC的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．20°
押题方向3：坐标与图形变化
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷第7题、杭州卷第5题 坐标与图形变化-平移 从近几年浙江中考来看，图形与坐标主要考查图形的平移、对称、旋转中的坐标变换，位似变换，试题以选择题形式呈现，整体难度中等；预计2024年浙江卷还将重视坐标与图形变化相关问题的考查。
2023年舟山卷第5题 位似变换
2023年金华卷第8题 关于x轴、y轴对称的点的坐标
1．（2023 绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A．（m﹣2，n﹣1） B．（m﹣2，n+1） C．（m+2，n﹣1） D．（m+2，n+1）
2．（2023 杭州）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023 浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
4．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
5．（2023 金华）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称
1.关于轴、轴或原点对称的点的坐标的特征：
（1）点与点关于轴对称横坐标不变， 纵坐标互为相反数；
（2）点与点关于轴对称纵坐标相等， 横坐标互为相反数；
（3）点与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数；
2.平移变换与坐标
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
②向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x-a，y）
③向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
④向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
3.位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
1．在平面直角坐标系中，将A（3，﹣1）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点A，则A的坐标是（ ）
A．（6，1） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（6，﹣3）
2．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则（ ）
A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝﹣2，b＝3
3．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，已知PQ平行于x轴且PQ＝4，则点Q的坐标是（ ）
A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3） B．（6，﹣3）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）
4．如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则a﹣m+n的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
5．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，4），B（﹣1，1），C（2，2），如果将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐（ ）
A．（﹣4，0） B．（2，0） C．（﹣4，2） D．（2，2）
6．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，4），点B的坐标为B（﹣1，﹣3），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（4，﹣3） C．（4，0） D．（﹣6，﹣6）
押题方向4：基本作图、三角形问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年衢州卷第7题、湖州卷第9题 基本作图 从近几年浙江各地中考来看，基本作图和三角形相关问题在选择题中经常出现，涉及基本作图、三角形的有关性质。预计2024年浙江卷还将继续考查基本作图和三角形相关问题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
2023年衢州卷第6题 直角三角形的性质
2023年金华卷第4题 三角形三边关系
2023年舟山、嘉兴卷第9题 三角形的重心
2023年丽水卷第10题 等腰直角三角形
1．（2023 湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
2．（2023 衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
3．（2023 金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
4．（2023 丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
5．（2023 衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（ ）
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
6．（2023 舟山、嘉兴）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．24
1．基本作图相关问题需要掌握基本作图的方法，能判断出题目的作图过程属于哪一个基本作图，进一步应用有关知识解决问题.
2．解决三角形相关问题需要熟练掌握三角形的有关性质：三角形的边角关系及性质、特殊三角形的性质与判定等.
1．如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝3，以A、B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列三个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有（ ）
A．只有① B．只有①② C．只有①③ D．①②③
3．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
4．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则BD＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．如图，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2．现以AC为一边向外侧作等边三角形ACN，分别取BC，CN的中点记为D，E，连结DE．则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，，AD，BE交于点F．若AB＝6．则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形OABC中，∠A＝∠CBO＝90°，AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，以点B为圆心，BC为半径画弧交边AB于点P，则AP的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E为CD上一点，F为AE的中点．若BE＝BD，AB＝12，则DF的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
答案与解析
押题方向1：方程（组）、不等式（组）的实际应用
2013年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州、衢州卷第8题 由实际问题抽象出一元二次方程 从近年浙江各地中考来看，列方程（组）、不等式（组）解决实际问题主要涵盖了一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，分式方程，一元一次不等式（组）等相关的应用题。浙江卷以选填题呈现，只需要列方程（组）即可，难度中等。预计2024年浙江卷必考方程（组）、不等式（组）的实际应用。
2023年温州卷第7题 由实际问题抽象出二元一次方程
2023年宁波卷第8题、绍兴卷第6题 由实际问题抽象出二元一次方程组
2023年丽水卷第6题 由实际问题抽象出一元一次不等式
1．（2023 衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
【答案】C
【点拨】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝36．
【解析】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
2．（2023 湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2
C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2
【答案】D
【点拨】根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程求解．
【解析】解：由题意得：20（1+x）2﹣20＝31.2，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象处一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．
3．（2023 丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
【答案】A
【点拨】利用小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，求出即可．
【解析】解：由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
4．（2023 宁波）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【点拨】根据“茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为54公顷”列方程组求解．
【解析】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
5．（2023 温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（ ）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
【答案】A
【点拨】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5x g，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为x g，
∴碳水化合物含量是1.5x g．
根据题意得：1.5x+x+y＝30，
∴x+y＝30．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
1．列方程（组）解应用题的复习，同学们只要掌握解应用题的解题步骤，然后再根据每个类型的应用题进行逐一突破，我们主要要强调的是这些应用题涉及的数量关系，是解题的关键，直接影响了你解题的思路的形成和最终的学习效果，大家一定要分清主次，学习的效果才能得到保证。
行程（工程）问题等量关系：工作时间＝工作总量÷工作效率；时间=路程÷速度。
增长率等量关系：设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则 ；
当为平均下降率时，则有。
利润等量关系：1）利润=售价－成本；2）利润率=×100％；3）总利润=单位利润×数量。
碰面问题（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；则m=n（n－1）。
碰面问题（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。则m=n（n－1）。
平均增长率(下降率)问题：
如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
利润问题：
利润＝售价－成本，利润率＝×100%，
销售价＝(1＋利润率)×进货价．
利息问题：
利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．
面积问题：
如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积．
设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．
2．列不等式解应用题的一般步骤：
(1)审题．(2)设未知数． (3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式．
(5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)．
1．在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处x人，则（ ）
A．27﹣x＝2（19+20﹣x） B．27+x＝2（19﹣20﹣x）
C．27﹣x＝2（19+20+x） D．27+x＝2（19+20﹣x）
【答案】D
【分析】设应调往甲处x人，那么调往乙处的人数是（20﹣x）人，调动后甲处的人数是（27+x）人，乙处的人数是（19+20﹣x）人，根据在甲处劳动的人数为乙处人数的2倍，就可以列出方程即可．
【解析】解：设应调往甲处x人，那么调往乙处的人数是（20﹣x）人，
根据题意得：27+x＝2（19+20﹣x）．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（ ）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
【答案】A
【分析】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5x g，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为x g，
∴碳水化合物含量是1.5x g．
根据题意得：1.5x+x+y＝30，
∴x+y＝30．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
3．有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得x钱，下面两个人各得y钱，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“五个人分十钱”，“上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等”，即可列出方程组为．
【解析】解：根据题意得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得正确找出等量关系是解决问题的关键．
4．某直播带货平台销售一款进价为每把160元的电动牙刷，若按每把240元出售，当月可销售100把，经调查发现，这款电动牙刷的售价每下降1元，其销售数量就增加2把．当每把电动牙刷降价多少元时，该直播带货平台销售这款电动牙刷的利润为8400元？设每把电动牙刷降价x元，则下列方程正确的是（ ）
A．（160﹣x）（100﹣2x）＝8400 B．（240﹣x）（100+2x）＝8400
C．（240﹣160﹣x）（100﹣2x）＝8400 D．（240﹣160﹣x）（100+2x）＝8400
【答案】D
【分析】设售价为x元/台，根据利润等于销售量乘每台电动牙刷的利润，列方程即可．
【解析】解：设电动牙刷的售价为x元/台，
根据题意可得：（240﹣160﹣x）（100+2x）＝8400，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意建立等量关系是关键．
5．为进一步深入开展“五水共治”工作，提升水环境质量，某工程队承担了黄湾塘河3000米河道的清淤任务，为了减少施工对居民生活的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前10天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据实际比原计划提前10天完成任务，列分式方程即可．
【解析】解：根据题意，得，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
6．一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（ ）
A．95﹣7x＞80 B．5（19﹣x）﹣2x≥80 C．100﹣7x＞80 D．5（20﹣x）﹣2x≥80
【答案】B
【分析】设小聪答错了x道题，则答对了20﹣1﹣x＝（19﹣x）道题，根据总分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，结合小聪竞赛成绩不低于80分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解析】解：设小聪答错了x道题，则答对了20﹣1﹣x＝（19﹣x）道题，
依题意得：5（19﹣x）﹣2x≥80．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
押题方向2：圆周角
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷、杭州卷第6题，温州卷第9题 圆周角定理 从近几年浙江中考来看，考查圆周角定理的试题经常以选择题形式呈现，整体难度较低；预计2024年浙江卷还将继续重视圆周角定理的考查。
1．（2023 湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【点拨】直接利用圆周角定理求解即可求得∠BOC的度数．
【解析】解：∵∠BAC＝50°，∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝100°．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．（2023 杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
【点拨】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．
【解析】解：连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAC＝∠BOC＝26°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
3．（2023 温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【点拨】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等边三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD的度数，即可得到BC的长，∠CAO的度数．
【解析】解：连接OB，OC，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD＝OA＝，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
1．如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠BAC＝2∠OAB，则∠AOB等于（ ）
A．144° B．135° C．130° D．120°
【答案】A
【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠AOC＝∠BOC，结合等腰三角形的性质进而求出∠OBA＝∠OAB＝∠AOB，再根据三角形内角和定理求解即可．
【解析】解：连接OC，如图：
∵C为的中点．
∴＝，
∴∠BAC＝∠AOC＝∠BOC，
∵∠BAC＝2∠OAB，
∴∠OAB＝∠BAC＝∠AOC＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠AOB，
∵∠AOB+∠OBA+∠OAB＝180°，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝144°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC＝BD，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，BC＝BD，
∴，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，AC＝2，
∴AE＝AC cos∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝4，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
3．如图，AB为⊙O的直径，点C，D为圆上两点，且CD＝CB，若∠DAB＝50°，则∠ABC＝（ ）
A．60° B．65° C．50° D．55°
【答案】B
【分析】连接AC，由CD＝CB可得∠DAC＝∠CAB＝25°，又由AB为⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得∠ABC的度数．
【解析】解：连接AC，
∵CD＝CB，∠DAB＝50°，
∴∠DAC＝∠CAB＝25°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦、弧、圆心角之间的关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（ ）
A．56° B．58° C．60° D．62°
【答案】D
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝62°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解析】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝28°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，
∴∠B＝∠D＝62°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，等腰直角三角尺的一顶点与点B重合，它的斜边BQ与半圆交于点C，直角边BP与半圆交于点D．若点C在量角器上的读数为26°，则点D在量角器上的读数为（ ）
A．58° B．71° C．103° D．116°
【答案】D
【分析】连接OC，OD，先利用等腰直角三角形的性质可得∠PBQ＝45°，然后利用圆周角定理可得∠COD＝90°，再根据已知易得：∠AOC＝26°，从而可得∠AOD＝116°，即可解答．
【解析】解：连接OC，OD，
∵△PBQ是等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴∠PBQ＝45°，
∴∠COD＝2∠PBQ＝90°，
∵点C在量角器上的读数为26°，
∴∠AOC＝26°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝116°，
∴点D在量角器上的读数为116°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．已知⊙O中半径OC＝3，∠BAC＝45°，则弦BC的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据OC＝3，∠BAC＝45°，由圆周角定理可得到∠BOC＝90°，即可证明△BOC是等腰直角三角形形，即可求得答案．
【解析】解：连接OB，
∵OC＝3，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴BC＝OC＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．如图，A、B、C为⊙O上三点，AC⊥OB于点D，若∠AOB＝70°，则∠OBC的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．20°
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝35°，再根据“直角三角形的两锐角互余”求解即可．
【解析】解：∵∠AOB＝70°，∠AOB＝2∠ACB，
∴∠ACB＝35°，
∵AC⊥OB于点D，
∴∠OBC+∠ACB＝90°，
∴∠OBC＝55°，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
押题方向3：坐标与图形变化
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷第7题、杭州卷第5题 坐标与图形变化-平移 从近几年浙江中考来看，图形与坐标主要考查图形的平移、对称、旋转中的坐标变换，位似变换，试题以选择题形式呈现，整体难度中等；预计2024年浙江卷还将重视坐标与图形变化相关问题的考查。
2023年舟山卷第5题 位似变换
2023年金华卷第8题 关于x轴、y轴对称的点的坐标
1．（2023 绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A．（m﹣2，n﹣1） B．（m﹣2，n+1） C．（m+2，n﹣1） D．（m+2，n+1）
【点拨】根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解析】解：将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（m+2，n+1），
故选：D．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
2．（2023 杭州）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】根据点的平移规律可得先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B（m+1，2+3），再根据点B的横坐标和纵坐标相等即可求出答案．
【解析】解：∵把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．
∴点B（m+1，2+3），
∵点B的横坐标和纵坐标相等，
∴m+1＝5，
∴m＝4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
3．（2023 浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
【点拨】根据位似变换的性质解答即可．
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
4．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【点拨】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．
【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
5．（2023 金华）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称
【点拨】根据平移规律确定B′的坐标即可得出结论．
【解析】解：∵点B′由点B（1，2）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到
∴此时B′坐标为（3，3）．
∴A与B′关于y轴对称．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型．
1.关于轴、轴或原点对称的点的坐标的特征：
（1）点与点关于轴对称横坐标不变， 纵坐标互为相反数；
（2）点与点关于轴对称纵坐标相等， 横坐标互为相反数；
（3）点与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数；
2.平移变换与坐标
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
②向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x-a，y）
③向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
④向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
3.位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
1．在平面直角坐标系中，将A（3，﹣1）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点A，则A的坐标是（ ）
A．（6，1） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（6，﹣3）
【答案】B
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解析】解：∵点A的坐标为（3，﹣1），将点A向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴得到点的坐标为（0，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．
2．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则（ ）
A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝﹣2，b＝3
【答案】C
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求出a、b的值．
【解析】解：在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则a＝﹣2，b＝﹣3．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，已知PQ平行于x轴且PQ＝4，则点Q的坐标是（ ）
A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3） B．（6，﹣3）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）
【答案】A
【分析】先根据题意得出P点坐标，根据PQ平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论．
【解析】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴P（2，﹣3），
∵PQ平行于x轴，
∴设Q（x，﹣3），
∵PQ＝4，
∴|x﹣2|＝4，
∴x＝6或x＝﹣2，
∴Q（6，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
故选：A．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．
4．如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则a﹣m+n的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
【解析】解：∵A（1，0）的对应点C的坐标为（﹣2，1），
∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1，
∵点B（4，m）的对应点为D（a，n），
∴4﹣3＝a，m+1＝n，
∴a＝1，﹣m+n＝1，
∴a﹣m+n＝1+1＝2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，4），B（﹣1，1），C（2，2），如果将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐（ ）
A．（﹣4，0） B．（2，0） C．（﹣4，2） D．（2，2）
【答案】C
【分析】根据左减右加，上加下减的规律解决问题即可．
【解析】解：∵将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，
∴点B的对应点B'的坐标是（﹣1﹣3，1+1），即（﹣4，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
6．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，4），点B的坐标为B（﹣1，﹣3），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（4，﹣3） C．（4，0） D．（﹣6，﹣6）
【答案】C
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解析】解：∵点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，4），
∴线段A′B′是由线段AB先向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到，
∵点B（﹣1，﹣3），
∴点B′的坐标为（4，0）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
押题方向4：基本作图、三角形问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年衢州卷第7题、湖州卷第9题 基本作图 从近几年浙江各地中考来看，基本作图和三角形相关问题在选择题中经常出现，涉及基本作图、三角形的有关性质。预计2024年浙江卷还将继续考查基本作图和三角形相关问题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
2023年衢州卷第6题 直角三角形的性质
2023年金华卷第4题 三角形三边关系
2023年舟山、嘉兴卷第9题 三角形的重心
2023年丽水卷第10题 等腰直角三角形
1．（2023 湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【点拨】过P作PE⊥OB于E，再判定四边形OEPF为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．
【解析】解：过P作PB⊥OB于B，
由作图得：OP平分∠AOB，
∴∠PAB＝∠AOP＝∠AOB＝30°，
∴PB＝＝3cm，
∴OB＝＝3cm，
∵PE∥OA，PF∥OB，
∴四边形OEPF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，
∴∠POE＝∠OPE，
∴OE＝PE，
设OE＝PE＝x cm，
在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2，
即：x2﹣32＝（3﹣x）2，
解得：x＝2，
∴S四边形OEPF＝OE PB＝2×3＝6（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键．
2．（2023 衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
【点拨】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可．
【解析】解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAS），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2023 金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
【点拨】首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
【解析】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
8﹣6＜x＜8+6，
解得：2＜x＜14，
只有13cm适合，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
4．（2023 丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
【点拨】如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，证明四边形AFHG是正方形，则AG＝GH，再证明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，则DG＝EG，CH＝EH，最后根据勾股定理可得结论．
【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，
∴AF∥GH，
∵AD∥BC，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHG是矩形，
∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∵∠FAG＝∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAG，
∵∠AFB＝∠G＝90°，
∴△AFB≌△AGE（AAS），
∴AF＝AG，
∴矩形AFHG是正方形，
∴AG＝GH，
∵AG∥BC，
∴∠C＝∠EDG＝45°，
∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，
∴DG＝EG，CH＝EH，
∴AD＝EH＝1，
∴CH＝1，
由勾股定理得：CE＝＝．
解法二：如图2，过点E作EF⊥CD，交BC于F，
∵∠C＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠CFE＝45°，
∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AED＝∠FBE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣45°＝135°，
∴∠D＝∠BFE，
∴△ADE∽△EFB，
∴＝＝，
∵AD＝1，
∴EF＝，
∴CE＝EF＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建△AFB和△AGE全等是解本题的关键．
5．（2023 衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（ ）
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
【点拨】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相等可得结论．
【解析】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，
∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，
∴∠DEB＝∠O，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
6．（2023 浙江）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．24
【点拨】连接BD，根据三角形重心的性质可知：P在BD上，由三角形中线平分三角形的面积可知：S△ABC＝2S△BDC，证明△DFP∽△BEP和△BEP∽△BCD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【解析】解：如图，连接BD．
∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，
∴BP：PD＝2：1，
∵DF∥BC，
∴△DFP∽△BEP，
∴＝，
∵EF∥AC，
∴△BEP∽△BCD，
∴＝（）2＝（）2＝，
设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m，
∵四边形CDFE的面积为6，
∴m+9m﹣4m＝6，
∴m＝1，
∴△BCD的面积为9，
∴△ABC的面积是18．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
1．基本作图相关问题需要掌握基本作图的方法，能判断出题目的作图过程属于哪一个基本作图，进一步应用有关知识解决问题.
2．解决三角形相关问题需要熟练掌握三角形的有关性质：三角形的边角关系及性质、特殊三角形的性质与判定等.
1．如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝3，以A、B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【答案】C
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC．
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝8+3＝11．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列三个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有（ ）
A．只有① B．只有①② C．只有①③ D．①②③
【答案】D
【分析】由作图可知，AD为∠BAC的平分线，可以判断①；根据角平分线得到∠CAD＝∠BAD，得到∠ADC的度数可判断②；由∠B＝30°，∠DAB＝30°得到AD＝DB，由于∠CAD＝30°可以得到，从而可得，代入面积公式，即可判断③．
【解析】解：根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∴∠ADC＝60°，故②正确；
∵∠B＝30°，∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∵∠CAD＝30°，∠C＝90°，
∴，
∵AD＝DB，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确
故选：D．
【点睛】此题主要考查了作图、角平分线的定义、含30°的直角三角形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】由题意得，BC＝BD＝6，直线MN为线段AD的垂直平分线，由勾股定理得AB＝＝10，进而可得AF＝2，证明△AEF∽△ABC，可得，即，求出AE，即可得出答案．
【解析】解：由题意得，BC＝BD＝6，直线MN为线段AD的垂直平分线，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴AB＝＝10，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∴AF＝AD＝2，
∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得AE＝．
故选：A．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
4．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则BD＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】先根据等边三角形的性质和及三角形外角性质求出∠E＝∠DBE，再判断出△BDE是等腰三角形即可．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，
∴∠ACB＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E．
∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝30°＝∠DBE，
∴DE＝BD＝4，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，利用等腰三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键．
5．如图，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2．现以AC为一边向外侧作等边三角形ACN，分别取BC，CN的中点记为D，E，连结DE．则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出DC，根据等边三角形的性质求出CN、∠ACN＝60°，进而求出∠ECF，再根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解析】解：如图，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
则BC＝2AC＝4，∠ACB＝90°﹣30°＝60°，
∵点D是BC的中点，
∴DC＝2，
∵△ACN为等边三角形，
∴CN＝AC＝2，∠ACN＝60°，
∴∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵点E是CN的中点，
∴EC＝1，
∴CF＝EC＝，EF＝EC＝，
∴DF＝DC+CF＝，
∴DE＝＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理是应用，熟记含30°角的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
6．如图，等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，，AD，BE交于点F．若AB＝6．则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作EG⊥BG于点G，先求出CG＝1，EG＝，则BG＝5，进而得BE＝，证∠BFD＝60°，由此可证△BFD和△BCE相似，利用相似三角形性质得BF＝，据此可得EF的长．
【解析】解：过点E作EG⊥BG于点G，如下图所示：
∵△ABC为等边三角形，AB＝6，
∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB＝6，
∴BD＝CE＝AB＝×6＝2，
在Rt△CEG中，CE＝2，∠CEG＝90°﹣∠C＝30°，
∴CG＝CE＝1，由勾股定理得：EG＝＝，
∴BG＝BC﹣CG＝5﹣1＝5，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：BE＝＝，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠2＝∠CBE，
∴∠BFD＝∠1+∠2＝∠1+∠CBE＝∠ABC＝60°，
∴∠BFD＝∠C，
又∠FBD＝∠CBE，
∴△BFD∽△BCE，
∴BF：BC＝BD：BE，
即，
∴BF＝，
∴EF＝BE﹣BF＝＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
7．如图，在四边形OABC中，∠A＝∠CBO＝90°，AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】作BH⊥OC于H，利用含30°角的直角三角形的性质得OB＝2，再由勾股定理得OC＝，再根据cos∠BOC＝cos∠CBH，得，代入计算可得答案．
【解析】解：作BH⊥OC于H，
∵∠AOB＝30°，∠A＝90°，
∴OB＝2AB＝2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OC＝＝＝，
∵∠CBO＝∠BHC＝90°，
∴∠CBH＝∠BOC，
∴cos∠BOC＝cos∠CBH，
∴，
∴＝，
∴BH＝，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，以点B为圆心，BC为半径画弧交边AB于点P，则AP的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】由勾股定理得AB＝＝13，由圆弧性质即可得AP＝AB﹣BP＝AB﹣BC＝13﹣5＝8．
【解析】解：由∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
得AB＝＝13，
由以点B为圆心，BC为半径画弧交边AB于点P，
得AP＝AB﹣BP＝AB﹣BC＝13﹣5＝8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确计算．
9．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E为CD上一点，F为AE的中点．若BE＝BD，AB＝12，则DF的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义求出BD，根据题意求出BE，再根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】解：∵D为AB的中点，AB＝12，
则BD＝AB＝×12＝6，
∵BE＝BD，
∴BE＝6，
∵D为AB的中点，F为AE的中点，
∴DF为△AEB的中位线，
∴DF＝BE＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
02 押浙江卷第6—8题
命题探究
真题回顾
解题秘籍
押题预测
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押题方向1：方程（组）、不等式（组）的实际应用
2013年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州、衢州卷第8题 由实际问题抽象出一元二次方程 从近年浙江各地中考来看，列方程（组）、不等式（组）解决实际问题主要涵盖了一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，分式方程，一元一次不等式（组）等相关的应用题。浙江卷以选填题呈现，只需要列方程（组）即可，难度中等。预计2024年浙江卷必考方程（组）、不等式（组）的实际应用。
2023年温州卷第7题 由实际问题抽象出二元一次方程
2023年宁波卷第8题、绍兴卷第6题 由实际问题抽象出二元一次方程组
2023年丽水卷第6题 由实际问题抽象出一元一次不等式
1．（2023 衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
2．（2023 湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2
C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2
3．（2023 丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
4．（2023 宁波）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023 温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（ ）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
1．列方程（组）解应用题的复习，同学们只要掌握解应用题的解题步骤，然后再根据每个类型的应用题进行逐一突破，我们主要要强调的是这些应用题涉及的数量关系，是解题的关键，直接影响了你解题的思路的形成和最终的学习效果，大家一定要分清主次，学习的效果才能得到保证。
行程（工程）问题等量关系：工作时间＝工作总量÷工作效率；时间=路程÷速度。
增长率等量关系：设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则 ；
当为平均下降率时，则有。
利润等量关系：1）利润=售价－成本；2）利润率=×100％；3）总利润=单位利润×数量。
碰面问题（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；则m=n（n－1）。
碰面问题（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。则m=n（n－1）。
平均增长率(下降率)问题：
如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
利润问题：
利润＝售价－成本，利润率＝×100%，
销售价＝(1＋利润率)×进货价．
利息问题：
利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．
面积问题：
如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积．
设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．
2．列不等式解应用题的一般步骤：
(1)审题．(2)设未知数． (3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式．
(5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)．
1．在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处x人，则（ ）
A．27﹣x＝2（19+20﹣x） B．27+x＝2（19﹣20﹣x）
C．27﹣x＝2（19+20+x） D．27+x＝2（19+20﹣x）
2．一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（ ）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
3．有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得x钱，下面两个人各得y钱，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．某直播带货平台销售一款进价为每把160元的电动牙刷，若按每把240元出售，当月可销售100把，经调查发现，这款电动牙刷的售价每下降1元，其销售数量就增加2把．当每把电动牙刷降价多少元时，该直播带货平台销售这款电动牙刷的利润为8400元？设每把电动牙刷降价x元，则下列方程正确的是（ ）
A．（160﹣x）（100﹣2x）＝8400 B．（240﹣x）（100+2x）＝8400
C．（240﹣160﹣x）（100﹣2x）＝8400 D．（240﹣160﹣x）（100+2x）＝8400
5．为进一步深入开展“五水共治”工作，提升水环境质量，某工程队承担了黄湾塘河3000米河道的清淤任务，为了减少施工对居民生活的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前10天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（ ）
A．95﹣7x＞80 B．5（19﹣x）﹣2x≥80 C．100﹣7x＞80 D．5（20﹣x）﹣2x≥80
押题方向2：圆周角
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷、杭州卷第6题，温州卷第9题 圆周角定理 从近几年浙江中考来看，考查圆周角定理的试题经常以选择题形式呈现，整体难度较低；预计2024年浙江卷还将继续重视圆周角定理的考查。
1．（2023 湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．（2023 杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
3．（2023 温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
1．如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠BAC＝2∠OAB，则∠AOB等于（ ）
A．144° B．135° C．130° D．120°
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC＝BD，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A． B． C．2 D．1
3．如图，AB为⊙O的直径，点C，D为圆上两点，且CD＝CB，若∠DAB＝50°，则∠ABC＝（ ）
A．60° B．65° C．50° D．55°
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（ ）
A．56° B．58° C．60° D．62°
5．如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，等腰直角三角尺的一顶点与点B重合，它的斜边BQ与半圆交于点C，直角边BP与半圆交于点D．若点C在量角器上的读数为26°，则点D在量角器上的读数为（ ）
A．58° B．71° C．103° D．116°
6．已知⊙O中半径OC＝3，∠BAC＝45°，则弦BC的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图，A、B、C为⊙O上三点，AC⊥OB于点D，若∠AOB＝70°，则∠OBC的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．20°
押题方向3：坐标与图形变化
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷第7题、杭州卷第5题 坐标与图形变化-平移 从近几年浙江中考来看，图形与坐标主要考查图形的平移、对称、旋转中的坐标变换，位似变换，试题以选择题形式呈现，整体难度中等；预计2024年浙江卷还将重视坐标与图形变化相关问题的考查。
2023年舟山卷第5题 位似变换
2023年金华卷第8题 关于x轴、y轴对称的点的坐标
1．（2023 绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A．（m﹣2，n﹣1） B．（m﹣2，n+1） C．（m+2，n﹣1） D．（m+2，n+1）
2．（2023 杭州）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023 浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
4．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
5．（2023 金华）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称
1.关于轴、轴或原点对称的点的坐标的特征：
（1）点与点关于轴对称横坐标不变， 纵坐标互为相反数；
（2）点与点关于轴对称纵坐标相等， 横坐标互为相反数；
（3）点与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数；
2.平移变换与坐标
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
②向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x-a，y）
③向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
④向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
3.位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
1．在平面直角坐标系中，将A（3，﹣1）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点A，则A的坐标是（ ）
A．（6，1） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（6，﹣3）
2．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则（ ）
A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝﹣2，b＝3
3．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，已知PQ平行于x轴且PQ＝4，则点Q的坐标是（ ）
A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3） B．（6，﹣3）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）
4．如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则a﹣m+n的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
5．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，4），B（﹣1，1），C（2，2），如果将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐（ ）
A．（﹣4，0） B．（2，0） C．（﹣4，2） D．（2，2）
6．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，4），点B的坐标为B（﹣1，﹣3），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（4，﹣3） C．（4，0） D．（﹣6，﹣6）
押题方向4：基本作图、三角形问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年衢州卷第7题、湖州卷第9题 基本作图 从近几年浙江各地中考来看，基本作图和三角形相关问题在选择题中经常出现，涉及基本作图、三角形的有关性质。预计2024年浙江卷还将继续考查基本作图和三角形相关问题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
2023年衢州卷第6题 直角三角形的性质
2023年金华卷第4题 三角形三边关系
2023年舟山、嘉兴卷第9题 三角形的重心
2023年丽水卷第10题 等腰直角三角形
1．（2023 湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
2．（2023 衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
3．（2023 金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
4．（2023 丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
5．（2023 衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（ ）
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
6．（2023 舟山、嘉兴）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．24
1．基本作图相关问题需要掌握基本作图的方法，能判断出题目的作图过程属于哪一个基本作图，进一步应用有关知识解决问题.
2．解决三角形相关问题需要熟练掌握三角形的有关性质：三角形的边角关系及性质、特殊三角形的性质与判定等.
1．如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝3，以A、B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列三个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有（ ）
A．只有① B．只有①② C．只有①③ D．①②③
3．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
4．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则BD＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．如图，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2．现以AC为一边向外侧作等边三角形ACN，分别取BC，CN的中点记为D，E，连结DE．则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，，AD，BE交于点F．若AB＝6．则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形OABC中，∠A＝∠CBO＝90°，AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，以点B为圆心，BC为半径画弧交边AB于点P，则AP的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E为CD上一点，F为AE的中点．若BE＝BD，AB＝12，则DF的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
答案与解析
押题方向1：方程（组）、不等式（组）的实际应用
2013年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州、衢州卷第8题 由实际问题抽象出一元二次方程 从近年浙江各地中考来看，列方程（组）、不等式（组）解决实际问题主要涵盖了一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，分式方程，一元一次不等式（组）等相关的应用题。浙江卷以选填题呈现，只需要列方程（组）即可，难度中等。预计2024年浙江卷必考方程（组）、不等式（组）的实际应用。
2023年温州卷第7题 由实际问题抽象出二元一次方程
2023年宁波卷第8题、绍兴卷第6题 由实际问题抽象出二元一次方程组
2023年丽水卷第6题 由实际问题抽象出一元一次不等式
1．（2023 衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
【答案】C
【点拨】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝36．
【解析】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
2．（2023 湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2
C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2
【答案】D
【点拨】根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程求解．
【解析】解：由题意得：20（1+x）2﹣20＝31.2，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象处一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．
3．（2023 丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
【答案】A
【点拨】利用小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，求出即可．
【解析】解：由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
4．（2023 宁波）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【点拨】根据“茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为54公顷”列方程组求解．
【解析】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
5．（2023 温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（ ）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
【答案】A
【点拨】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5x g，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为x g，
∴碳水化合物含量是1.5x g．
根据题意得：1.5x+x+y＝30，
∴x+y＝30．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
1．列方程（组）解应用题的复习，同学们只要掌握解应用题的解题步骤，然后再根据每个类型的应用题进行逐一突破，我们主要要强调的是这些应用题涉及的数量关系，是解题的关键，直接影响了你解题的思路的形成和最终的学习效果，大家一定要分清主次，学习的效果才能得到保证。
行程（工程）问题等量关系：工作时间＝工作总量÷工作效率；时间=路程÷速度。
增长率等量关系：设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则 ；
当为平均下降率时，则有。
利润等量关系：1）利润=售价－成本；2）利润率=×100％；3）总利润=单位利润×数量。
碰面问题（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；则m=n（n－1）。
碰面问题（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。则m=n（n－1）。
平均增长率(下降率)问题：
如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
利润问题：
利润＝售价－成本，利润率＝×100%，
销售价＝(1＋利润率)×进货价．
利息问题：
利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．
面积问题：
如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积．
设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．
2．列不等式解应用题的一般步骤：
(1)审题．(2)设未知数． (3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式．
(5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)．
1．在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处x人，则（ ）
A．27﹣x＝2（19+20﹣x） B．27+x＝2（19﹣20﹣x）
C．27﹣x＝2（19+20+x） D．27+x＝2（19+20﹣x）
【答案】D
【分析】设应调往甲处x人，那么调往乙处的人数是（20﹣x）人，调动后甲处的人数是（27+x）人，乙处的人数是（19+20﹣x）人，根据在甲处劳动的人数为乙处人数的2倍，就可以列出方程即可．
【解析】解：设应调往甲处x人，那么调往乙处的人数是（20﹣x）人，
根据题意得：27+x＝2（19+20﹣x）．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（ ）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
【答案】A
【分析】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5x g，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为x g，
∴碳水化合物含量是1.5x g．
根据题意得：1.5x+x+y＝30，
∴x+y＝30．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
3．有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得x钱，下面两个人各得y钱，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“五个人分十钱”，“上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等”，即可列出方程组为．
【解析】解：根据题意得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得正确找出等量关系是解决问题的关键．
4．某直播带货平台销售一款进价为每把160元的电动牙刷，若按每把240元出售，当月可销售100把，经调查发现，这款电动牙刷的售价每下降1元，其销售数量就增加2把．当每把电动牙刷降价多少元时，该直播带货平台销售这款电动牙刷的利润为8400元？设每把电动牙刷降价x元，则下列方程正确的是（ ）
A．（160﹣x）（100﹣2x）＝8400 B．（240﹣x）（100+2x）＝8400
C．（240﹣160﹣x）（100﹣2x）＝8400 D．（240﹣160﹣x）（100+2x）＝8400
【答案】D
【分析】设售价为x元/台，根据利润等于销售量乘每台电动牙刷的利润，列方程即可．
【解析】解：设电动牙刷的售价为x元/台，
根据题意可得：（240﹣160﹣x）（100+2x）＝8400，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意建立等量关系是关键．
5．为进一步深入开展“五水共治”工作，提升水环境质量，某工程队承担了黄湾塘河3000米河道的清淤任务，为了减少施工对居民生活的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前10天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据实际比原计划提前10天完成任务，列分式方程即可．
【解析】解：根据题意，得，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
6．一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（ ）
A．95﹣7x＞80 B．5（19﹣x）﹣2x≥80 C．100﹣7x＞80 D．5（20﹣x）﹣2x≥80
【答案】B
【分析】设小聪答错了x道题，则答对了20﹣1﹣x＝（19﹣x）道题，根据总分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，结合小聪竞赛成绩不低于80分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解析】解：设小聪答错了x道题，则答对了20﹣1﹣x＝（19﹣x）道题，
依题意得：5（19﹣x）﹣2x≥80．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
押题方向2：圆周角
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷、杭州卷第6题，温州卷第9题 圆周角定理 从近几年浙江中考来看，考查圆周角定理的试题经常以选择题形式呈现，整体难度较低；预计2024年浙江卷还将继续重视圆周角定理的考查。
1．（2023 湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【点拨】直接利用圆周角定理求解即可求得∠BOC的度数．
【解析】解：∵∠BAC＝50°，∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝100°．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．（2023 杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
【点拨】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．
【解析】解：连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAC＝∠BOC＝26°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
3．（2023 温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【点拨】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等边三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD的度数，即可得到BC的长，∠CAO的度数．
【解析】解：连接OB，OC，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD＝OA＝，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
1．如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠BAC＝2∠OAB，则∠AOB等于（ ）
A．144° B．135° C．130° D．120°
【答案】A
【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠AOC＝∠BOC，结合等腰三角形的性质进而求出∠OBA＝∠OAB＝∠AOB，再根据三角形内角和定理求解即可．
【解析】解：连接OC，如图：
∵C为的中点．
∴＝，
∴∠BAC＝∠AOC＝∠BOC，
∵∠BAC＝2∠OAB，
∴∠OAB＝∠BAC＝∠AOC＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠AOB，
∵∠AOB+∠OBA+∠OAB＝180°，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝144°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC＝BD，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，BC＝BD，
∴，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，AC＝2，
∴AE＝AC cos∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝4，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
3．如图，AB为⊙O的直径，点C，D为圆上两点，且CD＝CB，若∠DAB＝50°，则∠ABC＝（ ）
A．60° B．65° C．50° D．55°
【答案】B
【分析】连接AC，由CD＝CB可得∠DAC＝∠CAB＝25°，又由AB为⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得∠ABC的度数．
【解析】解：连接AC，
∵CD＝CB，∠DAB＝50°，
∴∠DAC＝∠CAB＝25°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦、弧、圆心角之间的关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（ ）
A．56° B．58° C．60° D．62°
【答案】D
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝62°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解析】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝28°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，
∴∠B＝∠D＝62°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，等腰直角三角尺的一顶点与点B重合，它的斜边BQ与半圆交于点C，直角边BP与半圆交于点D．若点C在量角器上的读数为26°，则点D在量角器上的读数为（ ）
A．58° B．71° C．103° D．116°
【答案】D
【分析】连接OC，OD，先利用等腰直角三角形的性质可得∠PBQ＝45°，然后利用圆周角定理可得∠COD＝90°，再根据已知易得：∠AOC＝26°，从而可得∠AOD＝116°，即可解答．
【解析】解：连接OC，OD，
∵△PBQ是等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴∠PBQ＝45°，
∴∠COD＝2∠PBQ＝90°，
∵点C在量角器上的读数为26°，
∴∠AOC＝26°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝116°，
∴点D在量角器上的读数为116°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．已知⊙O中半径OC＝3，∠BAC＝45°，则弦BC的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据OC＝3，∠BAC＝45°，由圆周角定理可得到∠BOC＝90°，即可证明△BOC是等腰直角三角形形，即可求得答案．
【解析】解：连接OB，
∵OC＝3，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴BC＝OC＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．如图，A、B、C为⊙O上三点，AC⊥OB于点D，若∠AOB＝70°，则∠OBC的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．20°
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝35°，再根据“直角三角形的两锐角互余”求解即可．
【解析】解：∵∠AOB＝70°，∠AOB＝2∠ACB，
∴∠ACB＝35°，
∵AC⊥OB于点D，
∴∠OBC+∠ACB＝90°，
∴∠OBC＝55°，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
押题方向3：坐标与图形变化
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷第7题、杭州卷第5题 坐标与图形变化-平移 从近几年浙江中考来看，图形与坐标主要考查图形的平移、对称、旋转中的坐标变换，位似变换，试题以选择题形式呈现，整体难度中等；预计2024年浙江卷还将重视坐标与图形变化相关问题的考查。
2023年舟山卷第5题 位似变换
2023年金华卷第8题 关于x轴、y轴对称的点的坐标
1．（2023 绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A．（m﹣2，n﹣1） B．（m﹣2，n+1） C．（m+2，n﹣1） D．（m+2，n+1）
【点拨】根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解析】解：将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（m+2，n+1），
故选：D．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
2．（2023 杭州）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】根据点的平移规律可得先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B（m+1，2+3），再根据点B的横坐标和纵坐标相等即可求出答案．
【解析】解：∵把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．
∴点B（m+1，2+3），
∵点B的横坐标和纵坐标相等，
∴m+1＝5，
∴m＝4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
3．（2023 浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
【点拨】根据位似变换的性质解答即可．
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
4．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【点拨】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．
【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
5．（2023 金华）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称
【点拨】根据平移规律确定B′的坐标即可得出结论．
【解析】解：∵点B′由点B（1，2）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到
∴此时B′坐标为（3，3）．
∴A与B′关于y轴对称．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型．
1.关于轴、轴或原点对称的点的坐标的特征：
（1）点与点关于轴对称横坐标不变， 纵坐标互为相反数；
（2）点与点关于轴对称纵坐标相等， 横坐标互为相反数；
（3）点与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数；
2.平移变换与坐标
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
②向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x-a，y）
③向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
④向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
3.位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
1．在平面直角坐标系中，将A（3，﹣1）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点A，则A的坐标是（ ）
A．（6，1） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（6，﹣3）
【答案】B
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解析】解：∵点A的坐标为（3，﹣1），将点A向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴得到点的坐标为（0，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．
2．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则（ ）
A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝﹣2，b＝3
【答案】C
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求出a、b的值．
【解析】解：在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则a＝﹣2，b＝﹣3．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，已知PQ平行于x轴且PQ＝4，则点Q的坐标是（ ）
A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3） B．（6，﹣3）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）
【答案】A
【分析】先根据题意得出P点坐标，根据PQ平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论．
【解析】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴P（2，﹣3），
∵PQ平行于x轴，
∴设Q（x，﹣3），
∵PQ＝4，
∴|x﹣2|＝4，
∴x＝6或x＝﹣2，
∴Q（6，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
故选：A．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．
4．如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则a﹣m+n的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
【解析】解：∵A（1，0）的对应点C的坐标为（﹣2，1），
∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1，
∵点B（4，m）的对应点为D（a，n），
∴4﹣3＝a，m+1＝n，
∴a＝1，﹣m+n＝1，
∴a﹣m+n＝1+1＝2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，4），B（﹣1，1），C（2，2），如果将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐（ ）
A．（﹣4，0） B．（2，0） C．（﹣4，2） D．（2，2）
【答案】C
【分析】根据左减右加，上加下减的规律解决问题即可．
【解析】解：∵将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，
∴点B的对应点B'的坐标是（﹣1﹣3，1+1），即（﹣4，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
6．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，4），点B的坐标为B（﹣1，﹣3），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（4，﹣3） C．（4，0） D．（﹣6，﹣6）
【答案】C
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解析】解：∵点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，4），
∴线段A′B′是由线段AB先向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到，
∵点B（﹣1，﹣3），
∴点B′的坐标为（4，0）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
押题方向4：基本作图、三角形问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年衢州卷第7题、湖州卷第9题 基本作图 从近几年浙江各地中考来看，基本作图和三角形相关问题在选择题中经常出现，涉及基本作图、三角形的有关性质。预计2024年浙江卷还将继续考查基本作图和三角形相关问题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
2023年衢州卷第6题 直角三角形的性质
2023年金华卷第4题 三角形三边关系
2023年舟山、嘉兴卷第9题 三角形的重心
2023年丽水卷第10题 等腰直角三角形
1．（2023 湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【点拨】过P作PE⊥OB于E，再判定四边形OEPF为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．
【解析】解：过P作PB⊥OB于B，
由作图得：OP平分∠AOB，
∴∠PAB＝∠AOP＝∠AOB＝30°，
∴PB＝＝3cm，
∴OB＝＝3cm，
∵PE∥OA，PF∥OB，
∴四边形OEPF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，
∴∠POE＝∠OPE，
∴OE＝PE，
设OE＝PE＝x cm，
在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2，
即：x2﹣32＝（3﹣x）2，
解得：x＝2，
∴S四边形OEPF＝OE PB＝2×3＝6（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键．
2．（2023 衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
【点拨】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可．
【解析】解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAS），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2023 金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
【点拨】首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
【解析】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
8﹣6＜x＜8+6，
解得：2＜x＜14，
只有13cm适合，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
4．（2023 丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
【点拨】如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，证明四边形AFHG是正方形，则AG＝GH，再证明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，则DG＝EG，CH＝EH，最后根据勾股定理可得结论．
【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，
∴AF∥GH，
∵AD∥BC，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHG是矩形，
∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∵∠FAG＝∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAG，
∵∠AFB＝∠G＝90°，
∴△AFB≌△AGE（AAS），
∴AF＝AG，
∴矩形AFHG是正方形，
∴AG＝GH，
∵AG∥BC，
∴∠C＝∠EDG＝45°，
∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，
∴DG＝EG，CH＝EH，
∴AD＝EH＝1，
∴CH＝1，
由勾股定理得：CE＝＝．
解法二：如图2，过点E作EF⊥CD，交BC于F，
∵∠C＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠CFE＝45°，
∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AED＝∠FBE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣45°＝135°，
∴∠D＝∠BFE，
∴△ADE∽△EFB，
∴＝＝，
∵AD＝1，
∴EF＝，
∴CE＝EF＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建△AFB和△AGE全等是解本题的关键．
5．（2023 衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（ ）
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
【点拨】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相等可得结论．
【解析】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，
∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，
∴∠DEB＝∠O，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
6．（2023 浙江）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．24
【点拨】连接BD，根据三角形重心的性质可知：P在BD上，由三角形中线平分三角形的面积可知：S△ABC＝2S△BDC，证明△DFP∽△BEP和△BEP∽△BCD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【解析】解：如图，连接BD．
∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，
∴BP：PD＝2：1，
∵DF∥BC，
∴△DFP∽△BEP，
∴＝，
∵EF∥AC，
∴△BEP∽△BCD，
∴＝（）2＝（）2＝，
设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m，
∵四边形CDFE的面积为6，
∴m+9m﹣4m＝6，
∴m＝1，
∴△BCD的面积为9，
∴△ABC的面积是18．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
1．基本作图相关问题需要掌握基本作图的方法，能判断出题目的作图过程属于哪一个基本作图，进一步应用有关知识解决问题.
2．解决三角形相关问题需要熟练掌握三角形的有关性质：三角形的边角关系及性质、特殊三角形的性质与判定等.
1．如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝3，以A、B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【答案】C
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC．
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝8+3＝11．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列三个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有（ ）
A．只有① B．只有①② C．只有①③ D．①②③
【答案】D
【分析】由作图可知，AD为∠BAC的平分线，可以判断①；根据角平分线得到∠CAD＝∠BAD，得到∠ADC的度数可判断②；由∠B＝30°，∠DAB＝30°得到AD＝DB，由于∠CAD＝30°可以得到，从而可得，代入面积公式，即可判断③．
【解析】解：根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∴∠ADC＝60°，故②正确；
∵∠B＝30°，∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∵∠CAD＝30°，∠C＝90°，
∴，
∵AD＝DB，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确
故选：D．
【点睛】此题主要考查了作图、角平分线的定义、含30°的直角三角形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】由题意得，BC＝BD＝6，直线MN为线段AD的垂直平分线，由勾股定理得AB＝＝10，进而可得AF＝2，证明△AEF∽△ABC，可得，即，求出AE，即可得出答案．
【解析】解：由题意得，BC＝BD＝6，直线MN为线段AD的垂直平分线，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴AB＝＝10，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∴AF＝AD＝2，
∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得AE＝．
故选：A．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
4．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则BD＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】先根据等边三角形的性质和及三角形外角性质求出∠E＝∠DBE，再判断出△BDE是等腰三角形即可．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，
∴∠ACB＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E．
∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝30°＝∠DBE，
∴DE＝BD＝4，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，利用等腰三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键．
5．如图，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2．现以AC为一边向外侧作等边三角形ACN，分别取BC，CN的中点记为D，E，连结DE．则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出DC，根据等边三角形的性质求出CN、∠ACN＝60°，进而求出∠ECF，再根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解析】解：如图，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
则BC＝2AC＝4，∠ACB＝90°﹣30°＝60°，
∵点D是BC的中点，
∴DC＝2，
∵△ACN为等边三角形，
∴CN＝AC＝2，∠ACN＝60°，
∴∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵点E是CN的中点，
∴EC＝1，
∴CF＝EC＝，EF＝EC＝，
∴DF＝DC+CF＝，
∴DE＝＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理是应用，熟记含30°角的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
6．如图，等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，，AD，BE交于点F．若AB＝6．则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作EG⊥BG于点G，先求出CG＝1，EG＝，则BG＝5，进而得BE＝，证∠BFD＝60°，由此可证△BFD和△BCE相似，利用相似三角形性质得BF＝，据此可得EF的长．
【解析】解：过点E作EG⊥BG于点G，如下图所示：
∵△ABC为等边三角形，AB＝6，
∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB＝6，
∴BD＝CE＝AB＝×6＝2，
在Rt△CEG中，CE＝2，∠CEG＝90°﹣∠C＝30°，
∴CG＝CE＝1，由勾股定理得：EG＝＝，
∴BG＝BC﹣CG＝5﹣1＝5，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：BE＝＝，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠2＝∠CBE，
∴∠BFD＝∠1+∠2＝∠1+∠CBE＝∠ABC＝60°，
∴∠BFD＝∠C，
又∠FBD＝∠CBE，
∴△BFD∽△BCE，
∴BF：BC＝BD：BE，
即，
∴BF＝，
∴EF＝BE﹣BF＝＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
7．如图，在四边形OABC中，∠A＝∠CBO＝90°，AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】作BH⊥OC于H，利用含30°角的直角三角形的性质得OB＝2，再由勾股定理得OC＝，再根据cos∠BOC＝cos∠CBH，得，代入计算可得答案．
【解析】解：作BH⊥OC于H，
∵∠AOB＝30°，∠A＝90°，
∴OB＝2AB＝2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OC＝＝＝，
∵∠CBO＝∠BHC＝90°，
∴∠CBH＝∠BOC，
∴cos∠BOC＝cos∠CBH，
∴，
∴＝，
∴BH＝，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，以点B为圆心，BC为半径画弧交边AB于点P，则AP的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】由勾股定理得AB＝＝13，由圆弧性质即可得AP＝AB﹣BP＝AB﹣BC＝13﹣5＝8．
【解析】解：由∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
得AB＝＝13，
由以点B为圆心，BC为半径画弧交边AB于点P，
得AP＝AB﹣BP＝AB﹣BC＝13﹣5＝8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确计算．
9．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E为CD上一点，F为AE的中点．若BE＝BD，AB＝12，则DF的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义求出BD，根据题意求出BE，再根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】解：∵D为AB的中点，AB＝12，
则BD＝AB＝×12＝6，
∵BE＝BD，
∴BE＝6，
∵D为AB的中点，F为AE的中点，
∴DF为△AEB的中位线，
∴DF＝BE＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
02 押浙江卷第6—8题
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