天津市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

天津市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试卷（100分钟）
一 单选题（共36分）
1.若为实数（为虚数单位），则实数（ ）
A.-2 B.2 C.-1 D.1
2.下列说法错误的是（ ）
A.
B.是单位向量，则
C.若，则
D.两个相同的向量的模相等
3.已知是直线，是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.在中，若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
5.已知平行四边形，满足，则四边形一定为（ ）.
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
6.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
7.在正方体中，棱的中点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，角的对边分别为，若，则是（ ）
A.钝角三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
9.底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二 填空题（共24分）
10.设是虚数单位，复数，则__________.
11.空间四边形的所有棱长为分别是棱的中点，则与所成角为__________.
12.在中，，则__________.
13.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面边长为，这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为__________.
14.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为 点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度__________米.
15.如图，已知正方形的边长为3，且，连接交于，则__________.
三 解答题（共40分）
16.（6分）已知向量，若
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
17.（8分）如图，在三棱锥中，底面，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求四面体的体积.
18.（8分）已知的内角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，（i）求的值；（ii）求的值.
19.（8分）如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面.
（1）证明：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
20.（10分）在中，满足.
（1）求；
（2）若，边上的中线，设点为的外接圆圆心.
①求的周长和面积；
②求的值.
天津市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试卷参考答案
一 单选题
1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D
二 填空题
10. 11. 12. 13. 14. 15.
三 解答题
16.（1）解：因为，
所以，
又因，所以；
（2）解：；
（3）解：当向量与向量互相垂直时，
，
即，
即，解得.
17.（1）证：分别是的中点，
，
平面平面，
平面.
（2）证：平面平面，
且于点平面
平面，又平面.
故.
（3）解：，
.
18.（1）由，且是三角形的内角，则，
因为，由正弦定理得，
所以.
（2）（i）因为，所以，又，
由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
所以；
（ii）由（1）知，由知为锐角，得，
所以，
，
所以.
19.（1）且四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）平面平面，
连接且四边形为平行四边形，
平行四边形为正方形，，
又，
又面面，
面平面平面.
（3）平面平面，
又平面平面，
因为平面，
为二面角的平面角，从而，所以，
作于，连接
平面平面平面，平面平面，
面，所以为直线与平面所成角，
在直角中，，
因为面面，所以，
在直角中，，
，
则直线与平面所成角的正切值为.
20.（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，
显然，因此，
则，得，解得，
所以.
（2）①由边上的中线，得，两边平方得，则，即，
在中，由余弦定理，得，解得，
因此，所以的周长为，面积为.
②令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，得，，
，
所以.