05押浙江卷第15-16题（反比例函数、相似三角形、四边形）-2024年浙江省中考数学题号押题（含解析）
文档属性
| 名称 | 05押浙江卷第15-16题（反比例函数、相似三角形、四边形）-2024年浙江省中考数学题号押题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-18 14:57:25 | ||
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文档简介
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押题方向1：反比例函数
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷第15题 反比例函数的应用 从近几年浙江各地中考来看，反比例函数在填空题中主要考查反比例函数的应用与反比例函数系数k的几何意义，属于稍难题，有时候作为填空题的压轴题考查；预计2024年浙江卷还将继续重视反比例函数系数k的几何意义。
2023年衢州卷、绍兴卷第15题、宁波卷第16题 反比例函数系数k的几何意义
1．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
2．（2023 绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 ．
3．（2023 衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
4．（2023 宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 ，a的值为 ．
1.
2.
1．如图， ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，AE＝2DE，若△DCE的面积为9，则k的值为 ．
2．如图，过原点的线段AB的两端点A和B分别在反比例函数y＝（x＞0）和（x＜0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为C，若△BOC面积为3，则k＝ .
3．如图，M（﹣a，b）是反比例函数上的一点，其中b＞a＞0，过点M作MN⊥x轴于点N，连接OM．
（1）若△MON的面积是3，则k的值为 ．
（2）将△MON绕点M按顺时针方向旋转90°得到△MQP，且点O的对应点Q恰好落在该反比例函数的图象上，则＝ ．
4．如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接OA，OB，OC，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P．
（1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：S1 S2；（填“＜”，“＞”或”＝”）
（2）如图2所示，若OM＝MN＝NP，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 ．
5．如图，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，OB，AB，并延长OA，CB交于点P．若A是OP的中点，则S△ABP﹣S△OBC的值为 （结果用含k的代数式表示）．
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过平行四边形OABC的顶点A，将该反比例函数图象沿y轴对称，所得图象恰好经过BC中点M，则平行四边形OABC的面积为 ．
7．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y＝（k＞3）分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为 ．
8．如图，反比例函数y＝（m＞0）在第三象限的图象是l1，y＝（n＜0）在第四象限的图象是l2，点A、C在l1上，过A点作AB∥x轴交l2于B点，过C点作CD⊥y轴于D点，点P为x轴上任意一点，连接AP、BP、CP、DP，若S△ABP＝5，S△CDP＝2，则n＝ ．
9．如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形OABC的面积是9，则k＝ ．
10．如图，O为坐标原点，反比例函数的图象与矩形OABC的两边AB，BC相交于点D，E，点A，C分别在x，y轴上，DF⊥y轴于点F，EG⊥x轴于点G．若．
（1）线段EG的长为 ；
（2）连接EF，若EF＝EG，则矩形OABC的面积为 .．
押题方向2：相似三角形
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷第15题 相似三角形的应用 从近几年浙江各地中考来看，对相似三角形的应用及相似三角形的综合考查经常会出现在填空题的压轴题，整体稍有难度；预计2024年浙江卷在填空题中还将继续重视相似三角形的综合的考查。
2023年衢州卷、杭州卷第16题 相似三角形的判定与性质
1．（2023 湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 米．
2．（2023 杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝ （结果用含k的代数式表示）．
3．（2023 衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ．
（2）若，则＝ ．
1、相似图形的性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2、相似图形的应用：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例求出高度、宽度、长度等。
1．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝14m，则树高PQ＝ m．
2．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝y，则y关于x的函数表达式是 ．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BF⊥AC于点F，连接AD交BF于点G．若BC＝6，＝，则DE的长为 ．
4．如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，，以BD为斜边作等腰Rt△BDE，使E，C在BD同侧，连接CE，当CE取最小值时，△BDE的面积是 ．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边BC，CD上，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，H，且AE＝BF．有下列四个结论：①AE垂直平分BH；②若点P是边AB上的一个动点，则PH+PC的最小值为；③GH2＝AG EG；④．其中正确的有 ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别在AB，AC上，连接BE、CD交于点F．若sin∠CFE＝，CE AE＝BD BA，则的值是 ．
7．已知在△ABC，∠ACB＝90°，D是AC边中点，E在AB边上，且∠ABC＝2∠AED，CF⊥DE于点F，CF＝4，tan∠DCF＝，则CE＝ ．
8．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形．如果图中△EMH与△DMI的面积比为，那么tan∠GDC的值为 ．
9．如图，在锐角△ABC中，AC＝3，AB＝4，∠ABC＝45°，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则CD＝ ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点D是边AC上一动点，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，当最大时，AD的长为 ．
押题方向3：特殊四边形综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年台州卷、绍兴卷第14题、湖州卷第16题 特殊四边形的性质 从近几年浙江各地中考来看，尺规作图与几何性质综合主要以作图为背景（作已知角、角平分线、中垂线等）结合特殊三角形（四边形）的性质与运算工具（相似、勾股定理等）一起考查，试题以填空题形式呈现，难度中上；预计2024年成都卷必考尺规作图与几何性质综合运用（求角度、长度、比值等）。
1．（2023 台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
2．（2023 绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 ．
3．（2023 湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．
（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是 cm．
（2）若，则tan∠DAH的值是 ．
1.平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；
（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。
2.矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。（5）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
3.菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
4.正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；（5）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，且BE＝BF，连接DE，DF．若∠ADC＝140°，∠CDF＝50°，则∠EDF的大小为 ．
2．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝AD，点E为边AB的中点，若，则tan∠BCE的值为 ．
3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 ．（填写正确结论的序号）
5．如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
6．如图，在边长为8的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为 ．
7．古代数学家贾宪曾经提出“从长方形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等”，如图①所示的图形中两阴影部分面积相等．这个方法可以帮助我们解决很多类似的数学问题，如图②，在平行四边形ABCD中，G为对角线AC上一点，过点G作AD的平行线分别交AB，CD于点F，E，连接BG，DG，若S△BGF＝4，则S△DEG＝ ．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，点F分别在AB，BC上，AE＝BE＝BF，若P为矩形上一点，则当△EFP为直角三角形时，斜边长为 ．
9．已知，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，延长BC至F，使EF＝AE，连接AF交CD于点G．
（1）若AF＝2AB，则∠BAE＝ °；
（2）点接BG，EG，AE与BG交于O，若EG⊥AF，则＝ ．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连结BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连结BF与EF，BF交对角线AC于点G，过点C作CH∥QF交BE于点H，连结AH．以下四个结论：
①BQ＝QF；②△DEF周长为8；③∠BQG＝∠BEF，④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确的结论是 ①②④ ．（填序号）
答案与解析
押题方向1：反比例函数
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷第15题 反比例函数的应用 从近几年浙江各地中考来看，反比例函数在填空题中主要考查反比例函数的应用与反比例函数系数k的几何意义，属于稍难题，有时候作为填空题的压轴题考查；预计2024年浙江卷还将继续重视反比例函数系数k的几何意义。
2023年衢州卷、绍兴卷第15题、宁波卷第16题 反比例函数系数k的几何意义
1．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 20 mL．
【点拨】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【解析】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝＝80，
当p＝100kPa时，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
2．（2023 绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 2 ．
【点拨】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC面积即可．
【解析】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，
∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴四边形OECF为矩形，
∵x2＝2x1，
∴点A为CE的中点，
由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，
∴点B为CF的中点，
∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，
∴S矩形OECF＝16，
∴S△ABC＝×16＝2．
故答案为：2．
2
【点睛】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．
3．（2023 衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 24 ．
【点拨】设OA＝4a，因为OA＝2AB，所以AB＝2a，则A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CD⊥y轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为：x＝k4a，由于Q为BE中点，切BE⊥x轴，所以BQ＝AB＝a，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：a，面积为6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解决．
【解析】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用说学知识是解决问题的关键．
4．（2023 宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 12 ，a的值为 9 ．
【点拨】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．
【解析】解：设A（m，），
∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，
∴E（，）．
∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，
∴B（﹣2m，﹣）．
∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，
∴D（﹣2m，﹣）．
∵△ABE的面积为9，
∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m ＝＝9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，
∴S△BDE＝DB （+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b） （） m＝3（）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案为：12，9．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．
1.
2.
1．如图， ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，AE＝2DE，若△DCE的面积为9，则k的值为 54 ．
【答案】54．
【点拨】过点A作AF⊥x轴于F，设点A的坐标为（a，b），则AF＝b，AB＝CD＝a，证△DOE∽△DFA得OE＝，再根据△DCE的面积为9得ab＝54，然后根据点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上即可得出k的值．
【解析】解：过点A作AF⊥x轴于F，如下图所示：
设点A的坐标为（a，b），则AF＝b，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝a，
∵AE＝2DE，
∴AD＝3DE，
∵AF⊥x轴，∠EOD＝90°，
∴OE∥AF，
∴△DOE∽△DFA，
∴OE：AF＝DE：AD，
即OE：b＝DE：3DE，
∴OE＝，
∵△DCE的面积为9，
∴CD OE＝9，
即，
∴ab＝54，
∵点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝ab＝54．
故答案为：54．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
2．如图，过原点的线段AB的两端点A和B分别在反比例函数y＝（x＞0）和（x＜0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为C，若△BOC面积为3，则k＝ 18 .
【答案】18．
【点拨】作BD⊥x轴，垂足为D，利用两个三角形的面积得到，再根据相似三角形的性质计算出S△AOC＝9S△OBD＝9．继而求出k值即可．
【解析】解：如图，作BD⊥x轴，垂足为D，
∵点B在（x＜0）的图象上，
∴S△OBD＝＝1，
∵△BOC面积为3，
∴，
∵BD∥AC，
∴△BDO∽△ACO，
∴，
∴S△AOC＝9S△OBD＝9．
∴k＝2S△AOC＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，利用相似求出S△AOC＝9S△OBD＝9是关键．
3．如图，M（﹣a，b）是反比例函数上的一点，其中b＞a＞0，过点M作MN⊥x轴于点N，连接OM．
（1）若△MON的面积是3，则k的值为 ﹣6 ．
（2）将△MON绕点M按顺时针方向旋转90°得到△MQP，且点O的对应点Q恰好落在该反比例函数的图象上，则＝ ．
【答案】（1）﹣6；（2）．
【点拨】（1）根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可；
（2）根据旋转性质得到点Q坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，利用换元法解出值即可．
【解析】解：（1）∵△MON的面积是3，
∴丨k丨＝2S△MON＝2×3＝6，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
（2）根据旋转的性质可得点Q（﹣b﹣a，b﹣a），
∵点Q在反比例函数图象上，
∴（﹣b﹣a）（b﹣a）＝﹣6，
∴b2﹣a2＝6，
∵b＞a＞0，
∴ab＞0，
又∵﹣ab＝﹣6，
∴ab＝6，
∴﹣＝1，
设，则t﹣＝1，
∴t2﹣t﹣1＝0，
解得t＝或（舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及k值的几何意义，熟练掌握换元法解一元二次方程是关键．
4．如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接OA，OB，OC，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P．
（1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：S1 ＝ S2；（填“＜”，“＞”或”＝”）
（2）如图2所示，若OM＝MN＝NP，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 72 ．
【答案】（1）＝；
（2）72．
【点拨】（1）设AM与OB交于点D，根据反比例函数比例系数的几何意义得S△AOM＝S△OBN＝，进而得S1＝S2，由此可得出答案；
（2）设AM交OB于E，交OC于F，BN交OC于G，设S△OEF＝a，S△OFM＝b，先证OF＝FG＝GC，证△OEF∽△BBG得，则S△OBG＝4a，S四边形EFGB＝3a，同理S四边形FMNG＝3b，则S△OGN＝4b，S四边形EMNG＝3（a+b），根据反比例函数比例系数的几何意义得S△AOM＝S△OCP＝，则S△AOE＝﹣a﹣b，根据（1）的结论得S△AOE＝S四边形EMNG，则4a+4b＝，再证△OGN∽△OCP得，则S△OCP＝9b＝，S四边形GNPC＝5b，进而得，4a＝，再根据三块阴影部分的面积之和为62，得﹣a﹣b+3a+5b＝62，整理得k+4a+8b＝124，再将4a＝，代入即可得出k的值．
【解析】解：（1）设AM与OB交于点D，如图1所示：
∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOM＝S△OBN＝，
∴S△AOM﹣S△ODM＝S△OBN﹣S△ODM，
∴S1＝S2．
故答案为：＝．
（2）设AM交OB于E，交OC于F，BN交OC于G，如下图所示：
设S△OEF＝a，S△OFM＝b，
∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，CP⊥x轴，
∴AM∥BN∥CP，
∵OM＝ON＝NP，
∴OF＝FG＝GC，
∵AM∥BN，
∴△OEF∽△BBG，
∴，
即，
∴S△OBG＝4a，
∴S四边形EFGB＝S△OBG﹣S△OEF＝3a，
同理：S四边形FMNG＝3b，
∴S△OGN＝S△OFM+S四边形FMNG＝4b，
∴S四边形EMNG＝S四边形EFGB+S四边形FMNG＝3（a+b），
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOM＝S△OCP＝，
∴S△AOE＝﹣a﹣b，
根据（1）的结论得：S△AOE＝S四边形EMNG，
∴﹣a﹣b＝3（a+b），
∴4a+4b＝，
∵BN∥CP，
∴△OGN∽△OCP，
∴，
即，
∴S△OCP＝9b＝，
∴S四边形GNPC＝S△OCP﹣S△OGN＝9b﹣4b＝5b，b＝，
∴4a＝＝，
∵三块阴影部分的面积之和为62，
∴﹣a﹣b+3a+5b＝62，
整理得：k+4a+8b＝124，
∴，
解得：k＝72．
【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
5．如图，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，OB，AB，并延长OA，CB交于点P．若A是OP的中点，则S△ABP﹣S△OBC的值为 （结果用含k的代数式表示）．
【答案】k．
【点拨】作AE⊥x轴，根据题意可得S△AOE＝，S△AOB＝S△APB，S△OBC＝，利用相似得到S△POC＝4S△AOE＝4×＝2k，从而求出S△PAB即可计算出所求．
【解析】解：如图，作AE⊥x轴，
∵点A在反比例函数图象上，且是OP的中点，
∴S△AOE＝，S△AOB＝S△APB，S△OBC＝，
∵AE∥CP，
∴△OAE∽△OCP，
∴，
∴S△POC＝4S△AOE＝4×＝2k，
∴S△PAB＝×（2k﹣）＝，
∴S△ABP﹣S△OBC＝﹣＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握相似三角形的性质求出S△POC＝4S△AOE＝4×＝2k是关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过平行四边形OABC的顶点A，将该反比例函数图象沿y轴对称，所得图象恰好经过BC中点M，则平行四边形OABC的面积为 10 ．
【答案】10．
【点拨】过点A作AE⊥x轴于E，过点M作MF⊥x轴于F，首先根据对称性求出关于y轴对称的函数表达式，设OE＝m，用m的代数式表示出点A的坐标，然后根据△MCF和△AOE相似，用m的代数式表示出点M的坐标，进而可用m的代数式表示出OC，AE的长，最后利用平行四边形的面积公式即可得出答案．
【解析】解：过点A作AE⊥x轴于E，过点M作MF⊥x轴于F，
设关于y轴对称的函数与AB的交点为N，
设OE＝m，
对于，当x＝m时，，
∴点A的坐标为，
∴，
∵点N与点A关于y轴对称，
∴点N的坐标为，
∴关于y轴对称的函数为，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
∴∠MCF＝∠AOE，
又∵AE⊥x轴，MF⊥x轴，
∴∠MFC＝∠AEO＝90°，
∴△MCF∽△AOE，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴点M的纵坐标为，
对于，当时，x＝﹣2m，
∴点M的坐标为，
∴OF＝2m，
∴，
∴．
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，解答此题的关键是理解题意，求出与反比例函数y＝4/x关于y轴对称的函数解析式，难点是设置适当的未知数，并用该未知数的代数式表示出平行四边形的边长及高．
7．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y＝（k＞3）分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为 ．
【答案】．
【点拨】过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，先由点A和点B的坐标得到AF，BH，FH的长，然后求得△AOF，△BOH，梯形ABHF的面积，进而结合△AOB的面积列出方程求得x1和x2之间的关系，然后由AC∥BD∥x轴得到点C和点D的坐标，进而得到AC和BD的长，最后得到结果．
【解析】解：过点A作AE⊥y轴，交y轴于点E，过点B作BF⊥x轴，交x轴于点F，延长BF，交AC于点G，
∴四边形OEGF为矩形，
∴，，G（x2，y1），
S△AOB＝矩形OEGF面积﹣S△OEA﹣S△OFB﹣S△ABG
＝
＝
＝，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴2m2+3m﹣2＝0，
∴，或m＝﹣2，
∵0＜x1＜x2，
∴m＝﹣2不符合题意，
经检验，是原方程的解，
∴，
，，
∴，，
∴，
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．
8．如图，反比例函数y＝（m＞0）在第三象限的图象是l1，y＝（n＜0）在第四象限的图象是l2，点A、C在l1上，过A点作AB∥x轴交l2于B点，过C点作CD⊥y轴于D点，点P为x轴上任意一点，连接AP、BP、CP、DP，若S△ABP＝5，S△CDP＝2，则n＝ ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【点拨】AB∥x轴，S△ABP＝5，易得|m|+|n|＝2S△ABP＝2×5＝10；CD⊥y轴，S△CDP＝2，则|m|＝2S△CDP＝2×2＝4；n＜0，﹣n＝10﹣|m|＝10﹣4＝6，n＝﹣6．
【解析】解：∵AB∥x轴，S△ABP＝5，CD⊥y轴，
∴|m|+|n|＝2S△ABP＝2×5＝10，|m|＝2S△CDP＝2×2＝4；
∴|n|＝10﹣|m|＝10﹣4＝6，
∵n＜0，
∴n＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数图象特点及性质是解本题的关键．
9．如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形OABC的面积是9，则k＝ ﹣5 ．
【答案】﹣5．
【点拨】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+4＝9，进而即可求得k的值．
【解析】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD＝|k|，S△BOD＝2，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝|k|+2，
∴S平行四边形OABC＝2S△AOB＝|k|+4，
∵平行四边形OABC的面积是9，
∴|k|＝5，
∵在第四象限，
∴k＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|是解答此题的关键．
10．如图，O为坐标原点，反比例函数的图象与矩形OABC的两边AB，BC相交于点D，E，点A，C分别在x，y轴上，DF⊥y轴于点F，EG⊥x轴于点G．若．
（1）线段EG的长为 ；
（2）连接EF，若EF＝EG，则矩形OABC的面积为 .．
【答案】（1）；（2）．
【点拨】（1）先推出D（k，1），根据条件可得到点E的横坐标为，代入解析式求出点E纵坐标就是EG长；
（2）利用勾股定理求出FH长，利用比例关系计算出OA长，根据进行面积计算方法计算即可．
【解析】解：（1）∵OF＝1，
∴点D点的纵坐标为1，
∵点D在反比例函数 的图象上，
∴D（k，1），
∴OA＝k，
∵，
∴OG＝k，即点E的横坐标为
∵点E在反比例函图象上，
∴点E的纵坐标为，
∴EG＝．
故答案为：．
（2）令EG与DF交于点H，
∵，GH＝OF＝1，
∴
∴FH＝OG＝，
∵，
∴OA＝，
∴矩形OABC的面积为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．
押题方向2：相似三角形
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷第15题 相似三角形的应用 从近几年浙江各地中考来看，对相似三角形的应用及相似三角形的综合考查经常会出现在填空题的压轴题，整体稍有难度；预计2024年浙江卷在填空题中还将继续重视相似三角形的综合的考查。
2023年衢州卷、杭州卷第16题 相似三角形的判定与性质
1．（2023 湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 4.1 米．
【点拨】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．
【解析】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），
又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴，即，
解得：AG＝3.6米，
∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．
故答案为：4.1．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
2．（2023 杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝ （结果用含k的代数式表示）．
【答案】．
【点拨】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2 AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．
【解析】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB，
∵AD＝DF，
∴∠A＝∠DFA，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE，
∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，
∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠DEB＝∠DEF，
∴∠C＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴△ABC∽△ECF，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝＝，
∴EC＝BC，
∵＝k，
∴BC＝k AB，
∴EC＝k AB，
∴＝，
∴CF＝k2 AB，
∴＝＝＝＝．
方法二：如图，连接BF，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB＝DF，
∴BF⊥AC，
设AB＝AC＝1，
则BC＝k，
设CF＝x，
则AF＝1﹣x，
由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，
∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，
∴x＝，
∴AF＝1﹣x＝，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．
3．（2023 衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 9 ．
（2）若，则＝ ．
【点拨】（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，由cos∠ABC＝，可得CT＝BC，CM＝AC，故CT CM＝BC AC＝BC AC，而△ABC的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为CT BT＝CT CM＝9；
（2）标识字母如图，设NT＝19t，证明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由△BCT∽△WBT，有CT WT＝BT2，即CT （34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝CT，AK＝WT，即可得到答案．
【解析】解：（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：
∵CT∥AB，
∴∠ABC＝∠BCT，
∵cos∠ABC＝，
∴cos∠BCT＝，即＝，
∴CT＝BC，
∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，
∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝，
∴CM＝AC，
∴CT CM＝BC AC＝BC AC，
∵△ABC的面积为16，
∴BC AC＝16，
∴BC AC＝32，
∴CT CM＝18，
∴纸片Ⅲ的面积为CT BT＝CT CM＝9；
故答案为：9；
（2）如图：
∵＝，
∴＝，
设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t，
∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，
∴△BFN≌△CBW（ASA），
∴BN＝CW＝34t，
∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，
∴△BCT∽△WBT，
∴＝，
∴CT WT＝BT2，
∴CT （34t﹣CT）＝（15t）2，
解得CT＝9t或CT＝25t，
当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；
当CT＝25t时，WT＝9t，
而BK＝CT，AK＝WT，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
1、相似图形的性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2、相似图形的应用：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例求出高度、宽度、长度等。
1．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝14m，则树高PQ＝ 7 m．
【答案】7．
【点拨】根据题意可得△ABD∽△AQP，然后由相似三角形的性质，即可求解．
【解析】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角，
∴BD∥PQ，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
∵AB＝40cm＝0.4m，BD＝20cm＝0.2m，AQ＝14m，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝y，则y关于x的函数表达式是 y＝1+ ．
【答案】y＝1+．
【点拨】首先解析的性质证明△AFD∽△FEC，然后利用相似三角形的性质和折叠的性质即可解答．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠FEC+∠EFC＝90°，
由折叠得：
BE＝EF，AB＝AF＝DC＝DF+CF，∠B＝∠AFE＝90°，
∵∠EFC+∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠FEC，
∴△AFD∽△FEC，
∴＝，
∴＝，
而＝y，
∴y＝，
∴y＝1+，
∴y＝1+．
故答案为：y＝1+．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），函数关系式，熟练掌握一线三等角模型相似是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BF⊥AC于点F，连接AD交BF于点G．若BC＝6，＝，则DE的长为 ．
【答案】．
【点拨】证明△AFG∽△CFB，得出，∠AGF＝∠CBF，求出AG，AD的长，证明△CDE∽△CBF，得出，则可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC＝∠AFG＝90°，
∴△AFG∽△CFB，
∴，∠AGF＝∠CBF，
∴AG＝，
∵∠AGF＝∠BGD，
∴∠DBG＝∠BGD，
∴DG＝BD，
设BD＝x，
∴6﹣x＝x+，
∴x＝，
∴BD＝DG＝，
∴AD＝CD＝，
∴AB＝＝2，
∴AC＝＝2，
∵，
∴BF＝＝，
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴△CDE∽△CBF，
∴，
∴，
∴DE＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，，以BD为斜边作等腰Rt△BDE，使E，C在BD同侧，连接CE，当CE取最小值时，△BDE的面积是 ．
【答案】．
【点拨】过点C作CH⊥BC，使CH＝CB＝2，连接BH，HD，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到CE＝DH，则当CE取最小值时，DH最小；过点H作HD′⊥AC，由于垂线段最短，点D与点D′重合时，DH最小，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得CD′＝；连接BD′，过点D′作D′K⊥BC于点K，利用勾股定理求得BD′，再利用等腰直角三角形的性质剪刀剪开得出结论．
【解析】解：过点C作CH⊥BC，使CH＝CB＝2，连接BH，HD，如图，
则△HCB为等腰直角三角形，
∴∠HBC＝45°．
∵△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，BE＝DE，
∴∠DBE＝∠HBC，
∴∠DBH＝∠EBC．
∵，
∴△BDH∽△BEC，
∴，
∴CE＝DH．
∴当CE取最小值时，DH最小．
过点H作HD′⊥AC，由于垂线段最短，点D与点D′重合时，DH最小．
∵CH⊥BC，AB⊥BC，
∴CH∥AB，
∴∠HCD′＝∠A＝30°，
∴HD′＝HC＝，
∴CD′＝，
连接BD′，过点D′作D′K⊥BC于点K，
∴CK＝CD′＝，
∴BK＝2﹣，D′K＝＝，
∴BD′＝＝．
∵△BD′E为等腰直角三角形，
∴△BD′E的面积＝BD′2＝．
当CE取最小值时，△BDE的面积是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边BC，CD上，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，H，且AE＝BF．有下列四个结论：①AE垂直平分BH；②若点P是边AB上的一个动点，则PH+PC的最小值为；③GH2＝AG EG；④．其中正确的有 ①②③ ．
【答案】①②③．
【点拨】①根据四边形ABCD是正方形，可知AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，证明Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），有∠BAE＝∠CBF，进而可得∠AGB＝90°，AG⊥BH，再利用AE平分∠BAC，∠BAE＝∠CAE，再证明Rt△ABG≌Rt△AHG（ASA），得到BG＝HG，从而可知AE垂直平分BH，从而可知①正确；
②延长CB至M，使BM＝BC＝4，过点H作HN⊥BC于点N，则点M与点C关于AB对称，连接MH交AB于点P，此时确定点P使PH+PC取最小值，先证明Rt△PMB≌Rt△PCB（SAS），得到PM＝PC，求出AC的值，利用Rt△ABG≌Rt△AHG得到A B＝A H＝4，再求出HC的值，利用勾股定理求得HN的值，在Rt△HNM中利用勾股定理即可求得MH的值，从而可知②正确；
③连接EH，利用Rt△ABG面Rt△AHG得到AB＝AH，先证△ABE≌△AHE（SAS），有∠ABE＝∠AHE＝90°，AH⊥EH，从而确定四边形ABEH在以AE为直径的圆上，再证△ABG∽△HEG，得到，有BG＝HG，得到GH2＝AG EG，从而可知③正确；
④利用，从而可知④错误．
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴AG⊥BH，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AG⊥BH，
∴∠AGB＝∠AGH＝90°，
在Rt△ABG和Rt△AHG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AHG（ASA），
∴BG＝HG，
∴AE垂直平分BH，
故①正确；
②延长CB至M，使BM＝BC＝4，过点H作HN⊥BC于点N，如图，
则点M与点C关于AB对称，连接MH交AB于点P，
在Rt△PMB和Rt△PCB中，
，
∴Rt△PMB≌Rt△PCB（SAS），
∴PM＝PC，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝4，
∴，
∵Rt△ABG≌Rt△AHG，
∴AB＝AH＝4，
∴，
在Rt△HCN中，∠HCN＝45°，
∴HN＝CN，
∴HN2+CN2＝HC2，
∴，
∴，
∴在Rt△HNM中
，
∴PH+PC的最小值是，
故②正确；
③连接EH，如图，
∵Rt△ABG≌Rt△AHG，
∴AB＝AH，
在△ABE和△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴AH⊥EH，
∴四边形ABEH在以AE为直径的圆上，
∵，
∴△ABG∽△HEG，
∴，
∴HG BG＝AG EG，
∵BG＝HG，
∴GH2＝AG EG；
故③正确；
④由②知，，
∴
＝
＝，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理和四点共圆等知识，利用好全等三角形和相似三角形等知识是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别在AB，AC上，连接BE、CD交于点F．若sin∠CFE＝，CE AE＝BD BA，则的值是 ．
【答案】．
【点拨】过点C作CG∥BD，使得CG＝BD，连接EG，先证明四边形BDCG为平行四边形，从而有BG∥CD，∠CFE＝∠GBE，再由CE AE＝BD BA，证明△ABE∽△CEG，
从而有∠BEG＝90°，，再由sin∠GBE＝，即可求得＝．
【解析】解：过点C作CG∥BD，使得CG＝BD，连接EG，
∵CG∥BD，CG＝BD，
∴四边形BDCG为平行四边形，
∴BG∥CD，
∵CE AE＝BD BA，
∴＝，
∵∠A＝90°，CG∥BD，
∴∠A＝∠BCG，
∴△ABE∽△CEG，
∴∠BEG＝90°，，
∵BG∥CD，
∴∠CFE＝∠GBE，
∴sin∠GBE＝，
设EG＝3x，BG＝5x，
则＝4x，
∴tan∠GBE＝，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作CG∥BD，使得CG＝BD，将∠CFE转化成∠GBE．
7．已知在△ABC，∠ACB＝90°，D是AC边中点，E在AB边上，且∠ABC＝2∠AED，CF⊥DE于点F，CF＝4，tan∠DCF＝，则CE＝ 4 ．
【答案】4．
【点拨】延长DE与CB交于点H，过点A作AN⊥ED，交ED的延长线于点N，根据垂直定义可得∠CFD＝∠CFH＝90°，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的求出DF的长，从而求出CD的长，再根据线段中点的定义可得AD＝CD＝2，从而利用AAS证明△ADN≌△CDF，然后利用全等三角形的性质可得DF＝DN＝2，CF＝AN＝4，再证明△CDF∽△HDC，从而利用相似三角形的性质求出CH的长，最后利用三角形的外角性质可得∠ABC＝∠H+∠BEH，再利用对顶角相等可得∠BEH＝∠AED，从而可得∠ABC＝∠H+∠AED，进而可得∠H＝∠AED，再证明△AEN∽△DHC，从而利用相似三角形的性质求出EN的长，进而求出EF的长，再在Rt△ECF中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解析】解：延长DE与CB交于点H，过点A作AN⊥ED，交ED的延长线于点N，
∴∠AND＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝∠CFH＝90°，
在Rt△CDF中，tan∠DCF＝，CF＝4，
∴DF＝CF tan∠DCF＝4×＝2，
∴CD＝＝＝2，
∵D是AC边中点，
∴AD＝CD＝2，
∵∠AND＝∠CFD＝90°，∠ADN＝∠CDF，
∴△ADN≌△CDF（AAS），
∴DF＝DN＝2，CF＝AN＝4，
∵∠DCB＝∠CFD＝90°，∠CDF＝∠CDH，
∴△CDF∽△HDC，
∴＝，
∴＝，
解得：CH＝4，
∵∠ABC是△BEH的一个外角，
∴∠ABC＝∠H+∠BEH，
∵∠BEH＝∠AED，
∴∠ABC＝∠H+∠AED，
∵∠ABC＝2∠AED，
∴∠H＝∠AED，
∵∠AND＝∠DCB＝90°，
∴△AEN∽△DHC，
∴＝，
∴＝，
解得：EN＝8，
∴EF＝EN﹣DN﹣DF＝8﹣2﹣2＝4，
∴EC＝＝＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形．如果图中△EMH与△DMI的面积比为，那么tan∠GDC的值为 ．
【答案】．
【点拨】证明△EMH∽△DMI，可得＝（）2，而△EMH与△DMI的面积比为，即得＝，设EH＝4t＝AE＝AI，则DI＝3t，在Rt△AED中，有tan∠EDA＝＝＝，又∠GDC＝90°﹣∠ADG＝∠EDA，故tan∠GDC＝tan∠EDA＝．
【解析】解：∵EAIH都是正方形，
∴∠EHM＝90°＝∠MID，
∵∠EMH＝∠IMD，
∴△EMH∽△DMI，
∴＝（）2，
∵△EMH与△DMI的面积比为，
∴＝，
设EH＝4t＝AE＝AI，则DI＝3t，
∴AD＝AI+DI＝7t，
在Rt△AED中，
tan∠EDA＝＝＝，
由“青朱出入图”可知：∠GDC＝90°﹣∠ADG＝∠EDA，
∴tan∠GDC＝tan∠EDA＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
9．如图，在锐角△ABC中，AC＝3，AB＝4，∠ABC＝45°，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则CD＝ ．
【答案】．
【点拨】过点A作AH⊥BC于点H，易证△AHB是等腰直角三角形，则AH＝BH＝AB＝2，再由勾股定理求出CH＝1，得出BC＝2+1，过点E作EG∥BC交AD于点G，证△AGE∽△ADC，得出＝＝，证GFE∽△DFB，得出＝＝，推出＝，设CD＝2a，则BD＝3a，求出a＝，即可得出答案．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵∠ABC＝45°，
∴△AHB是等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝AB＝×4＝2，
在Rt△AHC中，由勾股定理得：CH＝＝＝1，
∴BC＝BH+CH＝2+1，
∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，
∴＝，
过点E作EG∥BC交AD于点G，
∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，
∴△AGE∽△ADC，
∴＝＝，
∴DC＝2GE，
∵BF＝3FE，
∴＝，
∵GE∥BD，
∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，
∴△GFE∽△DFB，
∴＝＝，
∴＝，
设CD＝2a，则BD＝3a，
∵CD+BD＝BC，
∴2a+3a＝2+1，
∴a＝，
∴CD＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构建直角三角形和相似三角形是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点D是边AC上一动点，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，当最大时，AD的长为 5 ．
【答案】5．
【点拨】由勾股定理求出AB＝＝10，由∠AEB＝90°，得到E在以AB为直径是圆O上，连接OE，交AC于H，当OE⊥AC时，OH最小，由垂径定理得到AH＝CH＝AC＝4，由勾股定理求出OH＝＝3，求出EH最大值＝5﹣3＝2，由△EDH∽△BDC，得到ED：BD＝EH：BC＝DH：CD，求出的最大值＝，求出DH＝CH＝1，即可得到AD＝AH+DH＝4+1＝5．
【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴E在以AB为直径是圆O上，
连接OE，交AC于H，
当OE⊥AC时，OH最小，
由垂径定理得到AH＝CH＝AC＝4，
∵OA＝AB＝5，
∴OH＝＝3，
∵EH＝OE﹣OH，
∴EH最大值＝5﹣3＝2，
∵∠EHD＝∠C＝90°，∠EDH＝∠BDC，
∴△EDH∽△BDC，
∴ED：BD＝EH：BC＝DH：CD，
∵BC＝6，EH的最大值是2，
∴的最大值＝＝，
∵CH＝4，DH：CD＝1：3，
∴DH＝CH＝1，
∴AD＝AH+DH＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是证明△EDH∽△BDC，得到ED：BD＝EH：BC＝DH：CD．
押题方向3：特殊四边形综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年台州卷、绍兴卷第14题、湖州卷第16题 特殊四边形的性质 从近几年浙江各地中考来看，尺规作图与几何性质综合主要以作图为背景（作已知角、角平分线、中垂线等）结合特殊三角形（四边形）的性质与运算工具（相似、勾股定理等）一起考查，试题以填空题形式呈现，难度中上；预计2024年成都卷必考尺规作图与几何性质综合运用（求角度、长度、比值等）。
1．（2023 台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
【点拨】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠A，
在△ABE和△FCB中，
，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴FC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，
在Rt△FCB中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．
2．（2023 绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 10°或80° ．
【点拨】根据菱形的性质可得∠DAC＝20°，再根据等腰三角形的性质可得∠AEC的度数．
【解析】解：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示，
在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAB＝40°，
∴∠DAC＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，
∵AE′＝AC，
∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，
综上所述，∠AEC的度数是10°或80°，
故答案为：10°或80°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
3．（2023 湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．
（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是 4 cm．
（2）若，则tan∠DAH的值是 3 ．
【点拨】（1）将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC＝11cm，即可求出BE的长；
（2）由已知条件可以证明∠DAH＝∠CDG，从而得到tan∠DAH＝tan∠CDG，设AH＝x，DG＝5k，GH＝4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH＝tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH的值．
【解析】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∵AE+FC＝11cm，
∴BE+BF＝11cm，
即BE+BE+EF＝11cm，
即2BE+EF＝11cm，
∵EF＝3cm，
∴2BE+3cm＝11cm，
∴BE＝4cm，
故答案为：4；
（2）设AH＝x，
∵，
∴可设DG＝5k，GH＝4k，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k，
∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°，
∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k，
∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°，
∵四边形ABCD对角互补，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADH+∠CDG＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AHD＝∠CGD＝90°，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠DAH＝∠CDG，
∴tan∠DAH＝tan∠CDG，
∴，即，
整理得：x2+12kx﹣45k2＝0，
解得x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去），
∴tan∠DAH＝＝＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
1.平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；
（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。
2.矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。（5）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
3.菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
4.正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；（5）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，且BE＝BF，连接DE，DF．若∠ADC＝140°，∠CDF＝50°，则∠EDF的大小为 40° ．
【答案】40°．
【点拨】根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明△ADE≌△CDF，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝CB﹣BF，
即AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴∠ADE＝∠CDF＝50°，
∴∠EDF＝140°﹣50°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
2．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝AD，点E为边AB的中点，若，则tan∠BCE的值为 ．
【答案】．
【点拨】过E作EH⊥CB交CB延长线于H，由等腰三角形的性质推出DE⊥AB，令DE＝4x，则AD＝5x，由勾股定理求出AE＝＝3x，得到BE＝AE＝3x，由sin∠EBH＝＝，求出EH＝x，由勾股定理求出BH＝＝x，得到CH＝BC+BH＝x，于是求出tan∠BCE＝＝．
【解析】解：过E作EH⊥CB交CB延长线于H，
∵BD＝AD，点E为边AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵sinA＝＝，
∴令DE＝4x，则AD＝5x，
∴AE＝＝3x，
∴BE＝AE＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5x，BC∥AD，
∴∠EBH＝∠A，
∴sin∠EBH＝＝，
∵BE＝3x，
∴EH＝x，
∴BH＝＝x，
∴CH＝BC+BH＝x，
∴tan∠BCE＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，关键是过E作EH⊥CB交CB延长线于H，构造直角三角形，由锐角的正弦求出EH＝x．
3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
【答案】
【点拨】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【解析】解：如图，连接AP，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP BC＝AB AC，
∴AP BC＝AB AC，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝，
∴AM＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
4．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 ①②④ ．（填写正确结论的序号）
【答案】①②④
【点拨】根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，设AC与MN的交点为O，证明四边形AECF为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出∠BAF＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质可得AF＝2BF，由即可AF＝CF求解．
【解析】解：如图，设AC与MN的交点为O，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，
∴AO＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠OCF，
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴四边形AECF是菱形，故①正确；
②∵FA＝FC，
∴∠ACB＝∠FAC，
∴∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得，故③不正确，
④∵四边形AECF是菱形，
∴∠FAC＝∠EAC，AF＝CF
又∵∠BAF＝∠FAC，
∴∠BAF＝∠FAC
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠FAC+∠EAC＝90°，
∴∠BAF＝30°，
∴AF＝2BF，
∴CF＝2BF．故④正确；
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
【答案】．
【点拨】先证明△ABE≌△BCF，即可得到∠AGB＝90°，再取AB中点H，HG＝BC，由于HG、HC不变，因此当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，依据HG与CH的长，即可得出CG的最小值．
【解析】解：如图，取AB中点H，连接HG，HC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝a，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠BAE+∠ABG＝∠CBF+ABG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴HG＝AB＝a，
∵HG、HC的长不变，
∴当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
Rt△BCH中，HC＝＝＝，
∴CG的最小值＝HC﹣HG＝﹣a＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解决本题的关键是取AB中点H，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值．
6．如图，在边长为8的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为 ．
【答案】24．
【点拨】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝8，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝4，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝8，则BD＝12，所以OB＝OD＝6，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝4，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
【解析】解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝8，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE＝4，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝4，
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝8，
∴BD＝BF+DF＝8+4＝12，
∴OB＝OD＝6，
在Rt△BOC中，OC＝＝2，
∴AC＝2OC＝4，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）．
7．古代数学家贾宪曾经提出“从长方形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等”，如图①所示的图形中两阴影部分面积相等．这个方法可以帮助我们解决很多类似的数学问题，如图②，在平行四边形ABCD中，G为对角线AC上一点，过点G作AD的平行线分别交AB，CD于点F，E，连接BG，DG，若S△BGF＝4，则S△DEG＝ 4 ．
【答案】4．
【点拨】过G作MN∥AB交AD于M交BC于N，根据平行四边形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解析】解：过G作MN∥AB交AD于M交BC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴MN∥CD，
∴四边形ABNM和四边形CDMN是平行四边形，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴四边形AFGM和四边形CEGN，四边形DEGM，四边形BFGN是平行四边形，
∴S△ADC＝S△ABC，SCEG＝S△CBG，S△AMG＝S△AFG，
∴四边形DEGM的面积＝四边形BFGN的面积，
∵S△DEG＝S△DGM，S△BGF＝S△BGN＝4，
∴S△DEG＝S△BGF＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，点F分别在AB，BC上，AE＝BE＝BF，若P为矩形上一点，则当△EFP为直角三角形时，斜边长为 2， 或 ．
【答案】2， 或．
【点拨】分析题意，求出图中相关线段长和角度，根据直角三角形的直角顶点不确定，可知需分三种情况讨论，分情况作出图形，并进行求解．
【解析】解：．∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE＝BE＝BF，
∴AE＝BE＝，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，CF＝BC﹣BF＝3﹣1＝2，
∴．
①当点E为直角顶点时，如图（1），过点E作 EP⊥EF交AD于点P，
∵∠BEF＝45°，∠PEF＝90°，
∴∠AEP＝45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②当点F为直角顶点时，如图（2），过点F作 FP⊥EF交直线AD于点P，过点P作 PG⊥BC于点G，
则PG＝2．
∵∠BFE＝45°，
∴∠PFG＝45°，
∴△FPG是等腰直角三角形，
∴FP＝
∴．
③当点P为直角顶点时，点P在以EF为直径的圆上，易知此时点P与点B重合，如图（3），
斜边．
综上，当△EFP为直角三角形时，斜边长为2， 或．
故答案为：2， 或．
【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9．已知，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，延长BC至F，使EF＝AE，连接AF交CD于点G．
（1）若AF＝2AB，则∠BAE＝ 30 °；
（2）点接BG，EG，AE与BG交于O，若EG⊥AF，则＝ ．
【答案】（1）30；
（2）．
【点拨】（1）由正方形的性质，结合AF＝2AB，可推出∠F＝30°，得到∠BAF＝60°，由EF＝AE可得∠EAF＝∠F＝30°，再根据角的和差即可求解；
（2）作EM⊥BC交BG于点M，则 EM∥CD∥AB，证明△ADG≌△FCG，得到DG＝CD＝2CD＝AB，AD＝CF＝BC＝AB，推出EF＝AE＝2AB﹣BE，根据勾股定理可推出 ，由EM∥CD可得△BEM∽△BCG得出 ，根据EM∥AB得出△AOB∽△EOM，即可求解．
【解析】解：（1）∵在正方形ABCD中，∠B＝90°，AF＝2AB，
∴，
∴∠F＝30°，
∴∠BAF＝60°，
∵EF＝AE，
∴∠EAF＝∠F＝30°，
∴∠BAE＝∠BAF﹣∠EAF＝30°；
故答案为：30；
（2）作EM⊥BC交BG于点M，
则EM∥CD∥AB，
∵EF＝AE，EG⊥AF，
∴AG＝GF，
∵∠D＝∠DCF＝90°，∠AGD＝∠CGF，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴，AD＝CF＝BC＝AB，
∴EF＝AE＝BF﹣BE＝2AB﹣BE，
∵∠ABC＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2，即（ 2AB﹣BE）2＝AB2+BE2，
∴，
∵EM∥CD，
∴△BEM∽△BCG，
∴，
∴，
∵EM∥AB，
∴△AOB∽△EOM，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连结BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连结BF与EF，BF交对角线AC于点G，过点C作CH∥QF交BE于点H，连结AH．以下四个结论：
①BQ＝QF；②△DEF周长为8；③∠BQG＝∠BEF，④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确的结论是 ①②④ ．（填序号）
【答案】①②④．
【点拨】通过证明点B，点C，点F，点Q四点共圆，可得∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，可证BQ＝FQ，故①正确；由“SAS”可证△ABN≌△CBF，△BEF≌△BEN，可得EF＝EN，由线段的和差关系可得△DEF的周长为8，故②正确；由题意可得点H在以BC为边的圆上运动，则当点H在AP上时，AH有最小值为2﹣2，故④正确；通过证明点E，点F，点G，点Q四点共圆，可判断③．
【解析】解：∵BQ⊥FQ，
∴∠FQB＝∠BCD＝90°，
∴点B，点C，点F，点Q四点共圆，
∴∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，
∴∠QBF＝∠QFB，
∴BQ＝FQ，故①正确；
如图，延长DA至N使AN＝CF，连接BN，
∵CF＝AN，∠BAN＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴△ABN≌△CBF（SAS），
∴BF＝BN，∠ABN＝∠CBF，
∵∠QBF＝45°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∵∠ABE+∠ABN＝45°，
∴∠EBN＝∠EBF＝45°，
又∵BE＝BE，BF＝BN，
∴△BEF≌△BEN（SAS），
∴EF＝EN，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+EN＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝8，故②正确；
∵CH∥FQ，
∴∠BHC＝∠BQF＝90°，
∴点H在以BC为边的圆上运动，
如图，以BC为直径作圆，取BC的中点P，连接AP，PH，
∴BP＝2＝HP，
∴AP＝＝＝2，
在△AHP中，AH＞AP﹣HP，
∴当点H在AP上时，AH有最小值为2﹣2，故④正确；
如图，连接EG，
∵∠DAC＝∠QBF＝45°，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴∠BAC＝∠BEG＝45°，
∴∠BEG＝∠EBF＝45°，∠EGB＝90°，
∴EG＝BG，
∴BE＝BG，
∵∠BEG＝∠BFQ＝45°，
∴点E，点F，点G，点Q四点共圆，
∴∠BQG＝∠BFE，∠BGQ＝∠BEF，故③不正确．
故答案为：①②④．
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押题方向1：反比例函数
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷第15题 反比例函数的应用 从近几年浙江各地中考来看，反比例函数在填空题中主要考查反比例函数的应用与反比例函数系数k的几何意义，属于稍难题，有时候作为填空题的压轴题考查；预计2024年浙江卷还将继续重视反比例函数系数k的几何意义。
2023年衢州卷、绍兴卷第15题、宁波卷第16题 反比例函数系数k的几何意义
1．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
2．（2023 绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 ．
3．（2023 衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
4．（2023 宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 ，a的值为 ．
1.
2.
1．如图， ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，AE＝2DE，若△DCE的面积为9，则k的值为 ．
2．如图，过原点的线段AB的两端点A和B分别在反比例函数y＝（x＞0）和（x＜0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为C，若△BOC面积为3，则k＝ .
3．如图，M（﹣a，b）是反比例函数上的一点，其中b＞a＞0，过点M作MN⊥x轴于点N，连接OM．
（1）若△MON的面积是3，则k的值为 ．
（2）将△MON绕点M按顺时针方向旋转90°得到△MQP，且点O的对应点Q恰好落在该反比例函数的图象上，则＝ ．
4．如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接OA，OB，OC，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P．
（1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：S1 S2；（填“＜”，“＞”或”＝”）
（2）如图2所示，若OM＝MN＝NP，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 ．
5．如图，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，OB，AB，并延长OA，CB交于点P．若A是OP的中点，则S△ABP﹣S△OBC的值为 （结果用含k的代数式表示）．
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过平行四边形OABC的顶点A，将该反比例函数图象沿y轴对称，所得图象恰好经过BC中点M，则平行四边形OABC的面积为 ．
7．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y＝（k＞3）分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为 ．
8．如图，反比例函数y＝（m＞0）在第三象限的图象是l1，y＝（n＜0）在第四象限的图象是l2，点A、C在l1上，过A点作AB∥x轴交l2于B点，过C点作CD⊥y轴于D点，点P为x轴上任意一点，连接AP、BP、CP、DP，若S△ABP＝5，S△CDP＝2，则n＝ ．
9．如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形OABC的面积是9，则k＝ ．
10．如图，O为坐标原点，反比例函数的图象与矩形OABC的两边AB，BC相交于点D，E，点A，C分别在x，y轴上，DF⊥y轴于点F，EG⊥x轴于点G．若．
（1）线段EG的长为 ；
（2）连接EF，若EF＝EG，则矩形OABC的面积为 .．
押题方向2：相似三角形
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷第15题 相似三角形的应用 从近几年浙江各地中考来看，对相似三角形的应用及相似三角形的综合考查经常会出现在填空题的压轴题，整体稍有难度；预计2024年浙江卷在填空题中还将继续重视相似三角形的综合的考查。
2023年衢州卷、杭州卷第16题 相似三角形的判定与性质
1．（2023 湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 米．
2．（2023 杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝ （结果用含k的代数式表示）．
3．（2023 衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ．
（2）若，则＝ ．
1、相似图形的性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2、相似图形的应用：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例求出高度、宽度、长度等。
1．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝14m，则树高PQ＝ m．
2．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝y，则y关于x的函数表达式是 ．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BF⊥AC于点F，连接AD交BF于点G．若BC＝6，＝，则DE的长为 ．
4．如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，，以BD为斜边作等腰Rt△BDE，使E，C在BD同侧，连接CE，当CE取最小值时，△BDE的面积是 ．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边BC，CD上，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，H，且AE＝BF．有下列四个结论：①AE垂直平分BH；②若点P是边AB上的一个动点，则PH+PC的最小值为；③GH2＝AG EG；④．其中正确的有 ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别在AB，AC上，连接BE、CD交于点F．若sin∠CFE＝，CE AE＝BD BA，则的值是 ．
7．已知在△ABC，∠ACB＝90°，D是AC边中点，E在AB边上，且∠ABC＝2∠AED，CF⊥DE于点F，CF＝4，tan∠DCF＝，则CE＝ ．
8．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形．如果图中△EMH与△DMI的面积比为，那么tan∠GDC的值为 ．
9．如图，在锐角△ABC中，AC＝3，AB＝4，∠ABC＝45°，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则CD＝ ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点D是边AC上一动点，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，当最大时，AD的长为 ．
押题方向3：特殊四边形综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年台州卷、绍兴卷第14题、湖州卷第16题 特殊四边形的性质 从近几年浙江各地中考来看，尺规作图与几何性质综合主要以作图为背景（作已知角、角平分线、中垂线等）结合特殊三角形（四边形）的性质与运算工具（相似、勾股定理等）一起考查，试题以填空题形式呈现，难度中上；预计2024年成都卷必考尺规作图与几何性质综合运用（求角度、长度、比值等）。
1．（2023 台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
2．（2023 绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 ．
3．（2023 湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．
（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是 cm．
（2）若，则tan∠DAH的值是 ．
1.平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；
（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。
2.矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。（5）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
3.菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
4.正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；（5）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，且BE＝BF，连接DE，DF．若∠ADC＝140°，∠CDF＝50°，则∠EDF的大小为 ．
2．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝AD，点E为边AB的中点，若，则tan∠BCE的值为 ．
3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 ．（填写正确结论的序号）
5．如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
6．如图，在边长为8的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为 ．
7．古代数学家贾宪曾经提出“从长方形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等”，如图①所示的图形中两阴影部分面积相等．这个方法可以帮助我们解决很多类似的数学问题，如图②，在平行四边形ABCD中，G为对角线AC上一点，过点G作AD的平行线分别交AB，CD于点F，E，连接BG，DG，若S△BGF＝4，则S△DEG＝ ．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，点F分别在AB，BC上，AE＝BE＝BF，若P为矩形上一点，则当△EFP为直角三角形时，斜边长为 ．
9．已知，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，延长BC至F，使EF＝AE，连接AF交CD于点G．
（1）若AF＝2AB，则∠BAE＝ °；
（2）点接BG，EG，AE与BG交于O，若EG⊥AF，则＝ ．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连结BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连结BF与EF，BF交对角线AC于点G，过点C作CH∥QF交BE于点H，连结AH．以下四个结论：
①BQ＝QF；②△DEF周长为8；③∠BQG＝∠BEF，④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确的结论是 ①②④ ．（填序号）
答案与解析
押题方向1：反比例函数
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷第15题 反比例函数的应用 从近几年浙江各地中考来看，反比例函数在填空题中主要考查反比例函数的应用与反比例函数系数k的几何意义，属于稍难题，有时候作为填空题的压轴题考查；预计2024年浙江卷还将继续重视反比例函数系数k的几何意义。
2023年衢州卷、绍兴卷第15题、宁波卷第16题 反比例函数系数k的几何意义
1．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 20 mL．
【点拨】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【解析】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝＝80，
当p＝100kPa时，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
2．（2023 绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 2 ．
【点拨】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC面积即可．
【解析】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，
∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴四边形OECF为矩形，
∵x2＝2x1，
∴点A为CE的中点，
由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，
∴点B为CF的中点，
∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，
∴S矩形OECF＝16，
∴S△ABC＝×16＝2．
故答案为：2．
2
【点睛】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．
3．（2023 衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 24 ．
【点拨】设OA＝4a，因为OA＝2AB，所以AB＝2a，则A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CD⊥y轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为：x＝k4a，由于Q为BE中点，切BE⊥x轴，所以BQ＝AB＝a，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：a，面积为6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解决．
【解析】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用说学知识是解决问题的关键．
4．（2023 宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 12 ，a的值为 9 ．
【点拨】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．
【解析】解：设A（m，），
∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，
∴E（，）．
∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，
∴B（﹣2m，﹣）．
∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，
∴D（﹣2m，﹣）．
∵△ABE的面积为9，
∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m ＝＝9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，
∴S△BDE＝DB （+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b） （） m＝3（）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案为：12，9．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．
1.
2.
1．如图， ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，AE＝2DE，若△DCE的面积为9，则k的值为 54 ．
【答案】54．
【点拨】过点A作AF⊥x轴于F，设点A的坐标为（a，b），则AF＝b，AB＝CD＝a，证△DOE∽△DFA得OE＝，再根据△DCE的面积为9得ab＝54，然后根据点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上即可得出k的值．
【解析】解：过点A作AF⊥x轴于F，如下图所示：
设点A的坐标为（a，b），则AF＝b，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝a，
∵AE＝2DE，
∴AD＝3DE，
∵AF⊥x轴，∠EOD＝90°，
∴OE∥AF，
∴△DOE∽△DFA，
∴OE：AF＝DE：AD，
即OE：b＝DE：3DE，
∴OE＝，
∵△DCE的面积为9，
∴CD OE＝9，
即，
∴ab＝54，
∵点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝ab＝54．
故答案为：54．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
2．如图，过原点的线段AB的两端点A和B分别在反比例函数y＝（x＞0）和（x＜0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为C，若△BOC面积为3，则k＝ 18 .
【答案】18．
【点拨】作BD⊥x轴，垂足为D，利用两个三角形的面积得到，再根据相似三角形的性质计算出S△AOC＝9S△OBD＝9．继而求出k值即可．
【解析】解：如图，作BD⊥x轴，垂足为D，
∵点B在（x＜0）的图象上，
∴S△OBD＝＝1，
∵△BOC面积为3，
∴，
∵BD∥AC，
∴△BDO∽△ACO，
∴，
∴S△AOC＝9S△OBD＝9．
∴k＝2S△AOC＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，利用相似求出S△AOC＝9S△OBD＝9是关键．
3．如图，M（﹣a，b）是反比例函数上的一点，其中b＞a＞0，过点M作MN⊥x轴于点N，连接OM．
（1）若△MON的面积是3，则k的值为 ﹣6 ．
（2）将△MON绕点M按顺时针方向旋转90°得到△MQP，且点O的对应点Q恰好落在该反比例函数的图象上，则＝ ．
【答案】（1）﹣6；（2）．
【点拨】（1）根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可；
（2）根据旋转性质得到点Q坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，利用换元法解出值即可．
【解析】解：（1）∵△MON的面积是3，
∴丨k丨＝2S△MON＝2×3＝6，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
（2）根据旋转的性质可得点Q（﹣b﹣a，b﹣a），
∵点Q在反比例函数图象上，
∴（﹣b﹣a）（b﹣a）＝﹣6，
∴b2﹣a2＝6，
∵b＞a＞0，
∴ab＞0，
又∵﹣ab＝﹣6，
∴ab＝6，
∴﹣＝1，
设，则t﹣＝1，
∴t2﹣t﹣1＝0，
解得t＝或（舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及k值的几何意义，熟练掌握换元法解一元二次方程是关键．
4．如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接OA，OB，OC，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P．
（1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：S1 ＝ S2；（填“＜”，“＞”或”＝”）
（2）如图2所示，若OM＝MN＝NP，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 72 ．
【答案】（1）＝；
（2）72．
【点拨】（1）设AM与OB交于点D，根据反比例函数比例系数的几何意义得S△AOM＝S△OBN＝，进而得S1＝S2，由此可得出答案；
（2）设AM交OB于E，交OC于F，BN交OC于G，设S△OEF＝a，S△OFM＝b，先证OF＝FG＝GC，证△OEF∽△BBG得，则S△OBG＝4a，S四边形EFGB＝3a，同理S四边形FMNG＝3b，则S△OGN＝4b，S四边形EMNG＝3（a+b），根据反比例函数比例系数的几何意义得S△AOM＝S△OCP＝，则S△AOE＝﹣a﹣b，根据（1）的结论得S△AOE＝S四边形EMNG，则4a+4b＝，再证△OGN∽△OCP得，则S△OCP＝9b＝，S四边形GNPC＝5b，进而得，4a＝，再根据三块阴影部分的面积之和为62，得﹣a﹣b+3a+5b＝62，整理得k+4a+8b＝124，再将4a＝，代入即可得出k的值．
【解析】解：（1）设AM与OB交于点D，如图1所示：
∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOM＝S△OBN＝，
∴S△AOM﹣S△ODM＝S△OBN﹣S△ODM，
∴S1＝S2．
故答案为：＝．
（2）设AM交OB于E，交OC于F，BN交OC于G，如下图所示：
设S△OEF＝a，S△OFM＝b，
∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，CP⊥x轴，
∴AM∥BN∥CP，
∵OM＝ON＝NP，
∴OF＝FG＝GC，
∵AM∥BN，
∴△OEF∽△BBG，
∴，
即，
∴S△OBG＝4a，
∴S四边形EFGB＝S△OBG﹣S△OEF＝3a，
同理：S四边形FMNG＝3b，
∴S△OGN＝S△OFM+S四边形FMNG＝4b，
∴S四边形EMNG＝S四边形EFGB+S四边形FMNG＝3（a+b），
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOM＝S△OCP＝，
∴S△AOE＝﹣a﹣b，
根据（1）的结论得：S△AOE＝S四边形EMNG，
∴﹣a﹣b＝3（a+b），
∴4a+4b＝，
∵BN∥CP，
∴△OGN∽△OCP，
∴，
即，
∴S△OCP＝9b＝，
∴S四边形GNPC＝S△OCP﹣S△OGN＝9b﹣4b＝5b，b＝，
∴4a＝＝，
∵三块阴影部分的面积之和为62，
∴﹣a﹣b+3a+5b＝62，
整理得：k+4a+8b＝124，
∴，
解得：k＝72．
【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
5．如图，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，OB，AB，并延长OA，CB交于点P．若A是OP的中点，则S△ABP﹣S△OBC的值为 （结果用含k的代数式表示）．
【答案】k．
【点拨】作AE⊥x轴，根据题意可得S△AOE＝，S△AOB＝S△APB，S△OBC＝，利用相似得到S△POC＝4S△AOE＝4×＝2k，从而求出S△PAB即可计算出所求．
【解析】解：如图，作AE⊥x轴，
∵点A在反比例函数图象上，且是OP的中点，
∴S△AOE＝，S△AOB＝S△APB，S△OBC＝，
∵AE∥CP，
∴△OAE∽△OCP，
∴，
∴S△POC＝4S△AOE＝4×＝2k，
∴S△PAB＝×（2k﹣）＝，
∴S△ABP﹣S△OBC＝﹣＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握相似三角形的性质求出S△POC＝4S△AOE＝4×＝2k是关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过平行四边形OABC的顶点A，将该反比例函数图象沿y轴对称，所得图象恰好经过BC中点M，则平行四边形OABC的面积为 10 ．
【答案】10．
【点拨】过点A作AE⊥x轴于E，过点M作MF⊥x轴于F，首先根据对称性求出关于y轴对称的函数表达式，设OE＝m，用m的代数式表示出点A的坐标，然后根据△MCF和△AOE相似，用m的代数式表示出点M的坐标，进而可用m的代数式表示出OC，AE的长，最后利用平行四边形的面积公式即可得出答案．
【解析】解：过点A作AE⊥x轴于E，过点M作MF⊥x轴于F，
设关于y轴对称的函数与AB的交点为N，
设OE＝m，
对于，当x＝m时，，
∴点A的坐标为，
∴，
∵点N与点A关于y轴对称，
∴点N的坐标为，
∴关于y轴对称的函数为，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
∴∠MCF＝∠AOE，
又∵AE⊥x轴，MF⊥x轴，
∴∠MFC＝∠AEO＝90°，
∴△MCF∽△AOE，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴点M的纵坐标为，
对于，当时，x＝﹣2m，
∴点M的坐标为，
∴OF＝2m，
∴，
∴．
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，解答此题的关键是理解题意，求出与反比例函数y＝4/x关于y轴对称的函数解析式，难点是设置适当的未知数，并用该未知数的代数式表示出平行四边形的边长及高．
7．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y＝（k＞3）分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为 ．
【答案】．
【点拨】过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，先由点A和点B的坐标得到AF，BH，FH的长，然后求得△AOF，△BOH，梯形ABHF的面积，进而结合△AOB的面积列出方程求得x1和x2之间的关系，然后由AC∥BD∥x轴得到点C和点D的坐标，进而得到AC和BD的长，最后得到结果．
【解析】解：过点A作AE⊥y轴，交y轴于点E，过点B作BF⊥x轴，交x轴于点F，延长BF，交AC于点G，
∴四边形OEGF为矩形，
∴，，G（x2，y1），
S△AOB＝矩形OEGF面积﹣S△OEA﹣S△OFB﹣S△ABG
＝
＝
＝，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴2m2+3m﹣2＝0，
∴，或m＝﹣2，
∵0＜x1＜x2，
∴m＝﹣2不符合题意，
经检验，是原方程的解，
∴，
，，
∴，，
∴，
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．
8．如图，反比例函数y＝（m＞0）在第三象限的图象是l1，y＝（n＜0）在第四象限的图象是l2，点A、C在l1上，过A点作AB∥x轴交l2于B点，过C点作CD⊥y轴于D点，点P为x轴上任意一点，连接AP、BP、CP、DP，若S△ABP＝5，S△CDP＝2，则n＝ ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【点拨】AB∥x轴，S△ABP＝5，易得|m|+|n|＝2S△ABP＝2×5＝10；CD⊥y轴，S△CDP＝2，则|m|＝2S△CDP＝2×2＝4；n＜0，﹣n＝10﹣|m|＝10﹣4＝6，n＝﹣6．
【解析】解：∵AB∥x轴，S△ABP＝5，CD⊥y轴，
∴|m|+|n|＝2S△ABP＝2×5＝10，|m|＝2S△CDP＝2×2＝4；
∴|n|＝10﹣|m|＝10﹣4＝6，
∵n＜0，
∴n＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数图象特点及性质是解本题的关键．
9．如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形OABC的面积是9，则k＝ ﹣5 ．
【答案】﹣5．
【点拨】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+4＝9，进而即可求得k的值．
【解析】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD＝|k|，S△BOD＝2，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝|k|+2，
∴S平行四边形OABC＝2S△AOB＝|k|+4，
∵平行四边形OABC的面积是9，
∴|k|＝5，
∵在第四象限，
∴k＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|是解答此题的关键．
10．如图，O为坐标原点，反比例函数的图象与矩形OABC的两边AB，BC相交于点D，E，点A，C分别在x，y轴上，DF⊥y轴于点F，EG⊥x轴于点G．若．
（1）线段EG的长为 ；
（2）连接EF，若EF＝EG，则矩形OABC的面积为 .．
【答案】（1）；（2）．
【点拨】（1）先推出D（k，1），根据条件可得到点E的横坐标为，代入解析式求出点E纵坐标就是EG长；
（2）利用勾股定理求出FH长，利用比例关系计算出OA长，根据进行面积计算方法计算即可．
【解析】解：（1）∵OF＝1，
∴点D点的纵坐标为1，
∵点D在反比例函数 的图象上，
∴D（k，1），
∴OA＝k，
∵，
∴OG＝k，即点E的横坐标为
∵点E在反比例函图象上，
∴点E的纵坐标为，
∴EG＝．
故答案为：．
（2）令EG与DF交于点H，
∵，GH＝OF＝1，
∴
∴FH＝OG＝，
∵，
∴OA＝，
∴矩形OABC的面积为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．
押题方向2：相似三角形
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷第15题 相似三角形的应用 从近几年浙江各地中考来看，对相似三角形的应用及相似三角形的综合考查经常会出现在填空题的压轴题，整体稍有难度；预计2024年浙江卷在填空题中还将继续重视相似三角形的综合的考查。
2023年衢州卷、杭州卷第16题 相似三角形的判定与性质
1．（2023 湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 4.1 米．
【点拨】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．
【解析】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），
又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴，即，
解得：AG＝3.6米，
∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．
故答案为：4.1．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
2．（2023 杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝ （结果用含k的代数式表示）．
【答案】．
【点拨】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2 AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．
【解析】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB，
∵AD＝DF，
∴∠A＝∠DFA，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE，
∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，
∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠DEB＝∠DEF，
∴∠C＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴△ABC∽△ECF，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝＝，
∴EC＝BC，
∵＝k，
∴BC＝k AB，
∴EC＝k AB，
∴＝，
∴CF＝k2 AB，
∴＝＝＝＝．
方法二：如图，连接BF，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB＝DF，
∴BF⊥AC，
设AB＝AC＝1，
则BC＝k，
设CF＝x，
则AF＝1﹣x，
由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，
∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，
∴x＝，
∴AF＝1﹣x＝，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．
3．（2023 衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 9 ．
（2）若，则＝ ．
【点拨】（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，由cos∠ABC＝，可得CT＝BC，CM＝AC，故CT CM＝BC AC＝BC AC，而△ABC的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为CT BT＝CT CM＝9；
（2）标识字母如图，设NT＝19t，证明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由△BCT∽△WBT，有CT WT＝BT2，即CT （34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝CT，AK＝WT，即可得到答案．
【解析】解：（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：
∵CT∥AB，
∴∠ABC＝∠BCT，
∵cos∠ABC＝，
∴cos∠BCT＝，即＝，
∴CT＝BC，
∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，
∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝，
∴CM＝AC，
∴CT CM＝BC AC＝BC AC，
∵△ABC的面积为16，
∴BC AC＝16，
∴BC AC＝32，
∴CT CM＝18，
∴纸片Ⅲ的面积为CT BT＝CT CM＝9；
故答案为：9；
（2）如图：
∵＝，
∴＝，
设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t，
∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，
∴△BFN≌△CBW（ASA），
∴BN＝CW＝34t，
∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，
∴△BCT∽△WBT，
∴＝，
∴CT WT＝BT2，
∴CT （34t﹣CT）＝（15t）2，
解得CT＝9t或CT＝25t，
当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；
当CT＝25t时，WT＝9t，
而BK＝CT，AK＝WT，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
1、相似图形的性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2、相似图形的应用：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例求出高度、宽度、长度等。
1．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝14m，则树高PQ＝ 7 m．
【答案】7．
【点拨】根据题意可得△ABD∽△AQP，然后由相似三角形的性质，即可求解．
【解析】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角，
∴BD∥PQ，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
∵AB＝40cm＝0.4m，BD＝20cm＝0.2m，AQ＝14m，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝y，则y关于x的函数表达式是 y＝1+ ．
【答案】y＝1+．
【点拨】首先解析的性质证明△AFD∽△FEC，然后利用相似三角形的性质和折叠的性质即可解答．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠FEC+∠EFC＝90°，
由折叠得：
BE＝EF，AB＝AF＝DC＝DF+CF，∠B＝∠AFE＝90°，
∵∠EFC+∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠FEC，
∴△AFD∽△FEC，
∴＝，
∴＝，
而＝y，
∴y＝，
∴y＝1+，
∴y＝1+．
故答案为：y＝1+．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），函数关系式，熟练掌握一线三等角模型相似是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BF⊥AC于点F，连接AD交BF于点G．若BC＝6，＝，则DE的长为 ．
【答案】．
【点拨】证明△AFG∽△CFB，得出，∠AGF＝∠CBF，求出AG，AD的长，证明△CDE∽△CBF，得出，则可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC＝∠AFG＝90°，
∴△AFG∽△CFB，
∴，∠AGF＝∠CBF，
∴AG＝，
∵∠AGF＝∠BGD，
∴∠DBG＝∠BGD，
∴DG＝BD，
设BD＝x，
∴6﹣x＝x+，
∴x＝，
∴BD＝DG＝，
∴AD＝CD＝，
∴AB＝＝2，
∴AC＝＝2，
∵，
∴BF＝＝，
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴△CDE∽△CBF，
∴，
∴，
∴DE＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，，以BD为斜边作等腰Rt△BDE，使E，C在BD同侧，连接CE，当CE取最小值时，△BDE的面积是 ．
【答案】．
【点拨】过点C作CH⊥BC，使CH＝CB＝2，连接BH，HD，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到CE＝DH，则当CE取最小值时，DH最小；过点H作HD′⊥AC，由于垂线段最短，点D与点D′重合时，DH最小，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得CD′＝；连接BD′，过点D′作D′K⊥BC于点K，利用勾股定理求得BD′，再利用等腰直角三角形的性质剪刀剪开得出结论．
【解析】解：过点C作CH⊥BC，使CH＝CB＝2，连接BH，HD，如图，
则△HCB为等腰直角三角形，
∴∠HBC＝45°．
∵△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，BE＝DE，
∴∠DBE＝∠HBC，
∴∠DBH＝∠EBC．
∵，
∴△BDH∽△BEC，
∴，
∴CE＝DH．
∴当CE取最小值时，DH最小．
过点H作HD′⊥AC，由于垂线段最短，点D与点D′重合时，DH最小．
∵CH⊥BC，AB⊥BC，
∴CH∥AB，
∴∠HCD′＝∠A＝30°，
∴HD′＝HC＝，
∴CD′＝，
连接BD′，过点D′作D′K⊥BC于点K，
∴CK＝CD′＝，
∴BK＝2﹣，D′K＝＝，
∴BD′＝＝．
∵△BD′E为等腰直角三角形，
∴△BD′E的面积＝BD′2＝．
当CE取最小值时，△BDE的面积是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边BC，CD上，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，H，且AE＝BF．有下列四个结论：①AE垂直平分BH；②若点P是边AB上的一个动点，则PH+PC的最小值为；③GH2＝AG EG；④．其中正确的有 ①②③ ．
【答案】①②③．
【点拨】①根据四边形ABCD是正方形，可知AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，证明Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），有∠BAE＝∠CBF，进而可得∠AGB＝90°，AG⊥BH，再利用AE平分∠BAC，∠BAE＝∠CAE，再证明Rt△ABG≌Rt△AHG（ASA），得到BG＝HG，从而可知AE垂直平分BH，从而可知①正确；
②延长CB至M，使BM＝BC＝4，过点H作HN⊥BC于点N，则点M与点C关于AB对称，连接MH交AB于点P，此时确定点P使PH+PC取最小值，先证明Rt△PMB≌Rt△PCB（SAS），得到PM＝PC，求出AC的值，利用Rt△ABG≌Rt△AHG得到A B＝A H＝4，再求出HC的值，利用勾股定理求得HN的值，在Rt△HNM中利用勾股定理即可求得MH的值，从而可知②正确；
③连接EH，利用Rt△ABG面Rt△AHG得到AB＝AH，先证△ABE≌△AHE（SAS），有∠ABE＝∠AHE＝90°，AH⊥EH，从而确定四边形ABEH在以AE为直径的圆上，再证△ABG∽△HEG，得到，有BG＝HG，得到GH2＝AG EG，从而可知③正确；
④利用，从而可知④错误．
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴AG⊥BH，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AG⊥BH，
∴∠AGB＝∠AGH＝90°，
在Rt△ABG和Rt△AHG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AHG（ASA），
∴BG＝HG，
∴AE垂直平分BH，
故①正确；
②延长CB至M，使BM＝BC＝4，过点H作HN⊥BC于点N，如图，
则点M与点C关于AB对称，连接MH交AB于点P，
在Rt△PMB和Rt△PCB中，
，
∴Rt△PMB≌Rt△PCB（SAS），
∴PM＝PC，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝4，
∴，
∵Rt△ABG≌Rt△AHG，
∴AB＝AH＝4，
∴，
在Rt△HCN中，∠HCN＝45°，
∴HN＝CN，
∴HN2+CN2＝HC2，
∴，
∴，
∴在Rt△HNM中
，
∴PH+PC的最小值是，
故②正确；
③连接EH，如图，
∵Rt△ABG≌Rt△AHG，
∴AB＝AH，
在△ABE和△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴AH⊥EH，
∴四边形ABEH在以AE为直径的圆上，
∵，
∴△ABG∽△HEG，
∴，
∴HG BG＝AG EG，
∵BG＝HG，
∴GH2＝AG EG；
故③正确；
④由②知，，
∴
＝
＝，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理和四点共圆等知识，利用好全等三角形和相似三角形等知识是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别在AB，AC上，连接BE、CD交于点F．若sin∠CFE＝，CE AE＝BD BA，则的值是 ．
【答案】．
【点拨】过点C作CG∥BD，使得CG＝BD，连接EG，先证明四边形BDCG为平行四边形，从而有BG∥CD，∠CFE＝∠GBE，再由CE AE＝BD BA，证明△ABE∽△CEG，
从而有∠BEG＝90°，，再由sin∠GBE＝，即可求得＝．
【解析】解：过点C作CG∥BD，使得CG＝BD，连接EG，
∵CG∥BD，CG＝BD，
∴四边形BDCG为平行四边形，
∴BG∥CD，
∵CE AE＝BD BA，
∴＝，
∵∠A＝90°，CG∥BD，
∴∠A＝∠BCG，
∴△ABE∽△CEG，
∴∠BEG＝90°，，
∵BG∥CD，
∴∠CFE＝∠GBE，
∴sin∠GBE＝，
设EG＝3x，BG＝5x，
则＝4x，
∴tan∠GBE＝，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作CG∥BD，使得CG＝BD，将∠CFE转化成∠GBE．
7．已知在△ABC，∠ACB＝90°，D是AC边中点，E在AB边上，且∠ABC＝2∠AED，CF⊥DE于点F，CF＝4，tan∠DCF＝，则CE＝ 4 ．
【答案】4．
【点拨】延长DE与CB交于点H，过点A作AN⊥ED，交ED的延长线于点N，根据垂直定义可得∠CFD＝∠CFH＝90°，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的求出DF的长，从而求出CD的长，再根据线段中点的定义可得AD＝CD＝2，从而利用AAS证明△ADN≌△CDF，然后利用全等三角形的性质可得DF＝DN＝2，CF＝AN＝4，再证明△CDF∽△HDC，从而利用相似三角形的性质求出CH的长，最后利用三角形的外角性质可得∠ABC＝∠H+∠BEH，再利用对顶角相等可得∠BEH＝∠AED，从而可得∠ABC＝∠H+∠AED，进而可得∠H＝∠AED，再证明△AEN∽△DHC，从而利用相似三角形的性质求出EN的长，进而求出EF的长，再在Rt△ECF中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解析】解：延长DE与CB交于点H，过点A作AN⊥ED，交ED的延长线于点N，
∴∠AND＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝∠CFH＝90°，
在Rt△CDF中，tan∠DCF＝，CF＝4，
∴DF＝CF tan∠DCF＝4×＝2，
∴CD＝＝＝2，
∵D是AC边中点，
∴AD＝CD＝2，
∵∠AND＝∠CFD＝90°，∠ADN＝∠CDF，
∴△ADN≌△CDF（AAS），
∴DF＝DN＝2，CF＝AN＝4，
∵∠DCB＝∠CFD＝90°，∠CDF＝∠CDH，
∴△CDF∽△HDC，
∴＝，
∴＝，
解得：CH＝4，
∵∠ABC是△BEH的一个外角，
∴∠ABC＝∠H+∠BEH，
∵∠BEH＝∠AED，
∴∠ABC＝∠H+∠AED，
∵∠ABC＝2∠AED，
∴∠H＝∠AED，
∵∠AND＝∠DCB＝90°，
∴△AEN∽△DHC，
∴＝，
∴＝，
解得：EN＝8，
∴EF＝EN﹣DN﹣DF＝8﹣2﹣2＝4，
∴EC＝＝＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形．如果图中△EMH与△DMI的面积比为，那么tan∠GDC的值为 ．
【答案】．
【点拨】证明△EMH∽△DMI，可得＝（）2，而△EMH与△DMI的面积比为，即得＝，设EH＝4t＝AE＝AI，则DI＝3t，在Rt△AED中，有tan∠EDA＝＝＝，又∠GDC＝90°﹣∠ADG＝∠EDA，故tan∠GDC＝tan∠EDA＝．
【解析】解：∵EAIH都是正方形，
∴∠EHM＝90°＝∠MID，
∵∠EMH＝∠IMD，
∴△EMH∽△DMI，
∴＝（）2，
∵△EMH与△DMI的面积比为，
∴＝，
设EH＝4t＝AE＝AI，则DI＝3t，
∴AD＝AI+DI＝7t，
在Rt△AED中，
tan∠EDA＝＝＝，
由“青朱出入图”可知：∠GDC＝90°﹣∠ADG＝∠EDA，
∴tan∠GDC＝tan∠EDA＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
9．如图，在锐角△ABC中，AC＝3，AB＝4，∠ABC＝45°，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则CD＝ ．
【答案】．
【点拨】过点A作AH⊥BC于点H，易证△AHB是等腰直角三角形，则AH＝BH＝AB＝2，再由勾股定理求出CH＝1，得出BC＝2+1，过点E作EG∥BC交AD于点G，证△AGE∽△ADC，得出＝＝，证GFE∽△DFB，得出＝＝，推出＝，设CD＝2a，则BD＝3a，求出a＝，即可得出答案．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵∠ABC＝45°，
∴△AHB是等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝AB＝×4＝2，
在Rt△AHC中，由勾股定理得：CH＝＝＝1，
∴BC＝BH+CH＝2+1，
∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，
∴＝，
过点E作EG∥BC交AD于点G，
∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，
∴△AGE∽△ADC，
∴＝＝，
∴DC＝2GE，
∵BF＝3FE，
∴＝，
∵GE∥BD，
∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，
∴△GFE∽△DFB，
∴＝＝，
∴＝，
设CD＝2a，则BD＝3a，
∵CD+BD＝BC，
∴2a+3a＝2+1，
∴a＝，
∴CD＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构建直角三角形和相似三角形是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点D是边AC上一动点，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，当最大时，AD的长为 5 ．
【答案】5．
【点拨】由勾股定理求出AB＝＝10，由∠AEB＝90°，得到E在以AB为直径是圆O上，连接OE，交AC于H，当OE⊥AC时，OH最小，由垂径定理得到AH＝CH＝AC＝4，由勾股定理求出OH＝＝3，求出EH最大值＝5﹣3＝2，由△EDH∽△BDC，得到ED：BD＝EH：BC＝DH：CD，求出的最大值＝，求出DH＝CH＝1，即可得到AD＝AH+DH＝4+1＝5．
【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴E在以AB为直径是圆O上，
连接OE，交AC于H，
当OE⊥AC时，OH最小，
由垂径定理得到AH＝CH＝AC＝4，
∵OA＝AB＝5，
∴OH＝＝3，
∵EH＝OE﹣OH，
∴EH最大值＝5﹣3＝2，
∵∠EHD＝∠C＝90°，∠EDH＝∠BDC，
∴△EDH∽△BDC，
∴ED：BD＝EH：BC＝DH：CD，
∵BC＝6，EH的最大值是2，
∴的最大值＝＝，
∵CH＝4，DH：CD＝1：3，
∴DH＝CH＝1，
∴AD＝AH+DH＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是证明△EDH∽△BDC，得到ED：BD＝EH：BC＝DH：CD．
押题方向3：特殊四边形综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年台州卷、绍兴卷第14题、湖州卷第16题 特殊四边形的性质 从近几年浙江各地中考来看，尺规作图与几何性质综合主要以作图为背景（作已知角、角平分线、中垂线等）结合特殊三角形（四边形）的性质与运算工具（相似、勾股定理等）一起考查，试题以填空题形式呈现，难度中上；预计2024年成都卷必考尺规作图与几何性质综合运用（求角度、长度、比值等）。
1．（2023 台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
【点拨】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠A，
在△ABE和△FCB中，
，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴FC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，
在Rt△FCB中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．
2．（2023 绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 10°或80° ．
【点拨】根据菱形的性质可得∠DAC＝20°，再根据等腰三角形的性质可得∠AEC的度数．
【解析】解：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示，
在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAB＝40°，
∴∠DAC＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，
∵AE′＝AC，
∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，
综上所述，∠AEC的度数是10°或80°，
故答案为：10°或80°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
3．（2023 湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．
（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是 4 cm．
（2）若，则tan∠DAH的值是 3 ．
【点拨】（1）将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC＝11cm，即可求出BE的长；
（2）由已知条件可以证明∠DAH＝∠CDG，从而得到tan∠DAH＝tan∠CDG，设AH＝x，DG＝5k，GH＝4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH＝tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH的值．
【解析】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∵AE+FC＝11cm，
∴BE+BF＝11cm，
即BE+BE+EF＝11cm，
即2BE+EF＝11cm，
∵EF＝3cm，
∴2BE+3cm＝11cm，
∴BE＝4cm，
故答案为：4；
（2）设AH＝x，
∵，
∴可设DG＝5k，GH＝4k，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k，
∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°，
∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k，
∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°，
∵四边形ABCD对角互补，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADH+∠CDG＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AHD＝∠CGD＝90°，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠DAH＝∠CDG，
∴tan∠DAH＝tan∠CDG，
∴，即，
整理得：x2+12kx﹣45k2＝0，
解得x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去），
∴tan∠DAH＝＝＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
1.平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；
（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。
2.矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。（5）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
3.菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
4.正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；（5）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，且BE＝BF，连接DE，DF．若∠ADC＝140°，∠CDF＝50°，则∠EDF的大小为 40° ．
【答案】40°．
【点拨】根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明△ADE≌△CDF，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝CB﹣BF，
即AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴∠ADE＝∠CDF＝50°，
∴∠EDF＝140°﹣50°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
2．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝AD，点E为边AB的中点，若，则tan∠BCE的值为 ．
【答案】．
【点拨】过E作EH⊥CB交CB延长线于H，由等腰三角形的性质推出DE⊥AB，令DE＝4x，则AD＝5x，由勾股定理求出AE＝＝3x，得到BE＝AE＝3x，由sin∠EBH＝＝，求出EH＝x，由勾股定理求出BH＝＝x，得到CH＝BC+BH＝x，于是求出tan∠BCE＝＝．
【解析】解：过E作EH⊥CB交CB延长线于H，
∵BD＝AD，点E为边AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵sinA＝＝，
∴令DE＝4x，则AD＝5x，
∴AE＝＝3x，
∴BE＝AE＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5x，BC∥AD，
∴∠EBH＝∠A，
∴sin∠EBH＝＝，
∵BE＝3x，
∴EH＝x，
∴BH＝＝x，
∴CH＝BC+BH＝x，
∴tan∠BCE＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，关键是过E作EH⊥CB交CB延长线于H，构造直角三角形，由锐角的正弦求出EH＝x．
3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
【答案】
【点拨】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【解析】解：如图，连接AP，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP BC＝AB AC，
∴AP BC＝AB AC，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝，
∴AM＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
4．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 ①②④ ．（填写正确结论的序号）
【答案】①②④
【点拨】根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，设AC与MN的交点为O，证明四边形AECF为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出∠BAF＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质可得AF＝2BF，由即可AF＝CF求解．
【解析】解：如图，设AC与MN的交点为O，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，
∴AO＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠OCF，
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴四边形AECF是菱形，故①正确；
②∵FA＝FC，
∴∠ACB＝∠FAC，
∴∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得，故③不正确，
④∵四边形AECF是菱形，
∴∠FAC＝∠EAC，AF＝CF
又∵∠BAF＝∠FAC，
∴∠BAF＝∠FAC
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠FAC+∠EAC＝90°，
∴∠BAF＝30°，
∴AF＝2BF，
∴CF＝2BF．故④正确；
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
【答案】．
【点拨】先证明△ABE≌△BCF，即可得到∠AGB＝90°，再取AB中点H，HG＝BC，由于HG、HC不变，因此当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，依据HG与CH的长，即可得出CG的最小值．
【解析】解：如图，取AB中点H，连接HG，HC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝a，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠BAE+∠ABG＝∠CBF+ABG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴HG＝AB＝a，
∵HG、HC的长不变，
∴当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
Rt△BCH中，HC＝＝＝，
∴CG的最小值＝HC﹣HG＝﹣a＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解决本题的关键是取AB中点H，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值．
6．如图，在边长为8的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为 ．
【答案】24．
【点拨】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝8，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝4，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝8，则BD＝12，所以OB＝OD＝6，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝4，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
【解析】解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝8，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE＝4，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝4，
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝8，
∴BD＝BF+DF＝8+4＝12，
∴OB＝OD＝6，
在Rt△BOC中，OC＝＝2，
∴AC＝2OC＝4，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）．
7．古代数学家贾宪曾经提出“从长方形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等”，如图①所示的图形中两阴影部分面积相等．这个方法可以帮助我们解决很多类似的数学问题，如图②，在平行四边形ABCD中，G为对角线AC上一点，过点G作AD的平行线分别交AB，CD于点F，E，连接BG，DG，若S△BGF＝4，则S△DEG＝ 4 ．
【答案】4．
【点拨】过G作MN∥AB交AD于M交BC于N，根据平行四边形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解析】解：过G作MN∥AB交AD于M交BC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴MN∥CD，
∴四边形ABNM和四边形CDMN是平行四边形，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴四边形AFGM和四边形CEGN，四边形DEGM，四边形BFGN是平行四边形，
∴S△ADC＝S△ABC，SCEG＝S△CBG，S△AMG＝S△AFG，
∴四边形DEGM的面积＝四边形BFGN的面积，
∵S△DEG＝S△DGM，S△BGF＝S△BGN＝4，
∴S△DEG＝S△BGF＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，点F分别在AB，BC上，AE＝BE＝BF，若P为矩形上一点，则当△EFP为直角三角形时，斜边长为 2， 或 ．
【答案】2， 或．
【点拨】分析题意，求出图中相关线段长和角度，根据直角三角形的直角顶点不确定，可知需分三种情况讨论，分情况作出图形，并进行求解．
【解析】解：．∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE＝BE＝BF，
∴AE＝BE＝，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，CF＝BC﹣BF＝3﹣1＝2，
∴．
①当点E为直角顶点时，如图（1），过点E作 EP⊥EF交AD于点P，
∵∠BEF＝45°，∠PEF＝90°，
∴∠AEP＝45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②当点F为直角顶点时，如图（2），过点F作 FP⊥EF交直线AD于点P，过点P作 PG⊥BC于点G，
则PG＝2．
∵∠BFE＝45°，
∴∠PFG＝45°，
∴△FPG是等腰直角三角形，
∴FP＝
∴．
③当点P为直角顶点时，点P在以EF为直径的圆上，易知此时点P与点B重合，如图（3），
斜边．
综上，当△EFP为直角三角形时，斜边长为2， 或．
故答案为：2， 或．
【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9．已知，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，延长BC至F，使EF＝AE，连接AF交CD于点G．
（1）若AF＝2AB，则∠BAE＝ 30 °；
（2）点接BG，EG，AE与BG交于O，若EG⊥AF，则＝ ．
【答案】（1）30；
（2）．
【点拨】（1）由正方形的性质，结合AF＝2AB，可推出∠F＝30°，得到∠BAF＝60°，由EF＝AE可得∠EAF＝∠F＝30°，再根据角的和差即可求解；
（2）作EM⊥BC交BG于点M，则 EM∥CD∥AB，证明△ADG≌△FCG，得到DG＝CD＝2CD＝AB，AD＝CF＝BC＝AB，推出EF＝AE＝2AB﹣BE，根据勾股定理可推出 ，由EM∥CD可得△BEM∽△BCG得出 ，根据EM∥AB得出△AOB∽△EOM，即可求解．
【解析】解：（1）∵在正方形ABCD中，∠B＝90°，AF＝2AB，
∴，
∴∠F＝30°，
∴∠BAF＝60°，
∵EF＝AE，
∴∠EAF＝∠F＝30°，
∴∠BAE＝∠BAF﹣∠EAF＝30°；
故答案为：30；
（2）作EM⊥BC交BG于点M，
则EM∥CD∥AB，
∵EF＝AE，EG⊥AF，
∴AG＝GF，
∵∠D＝∠DCF＝90°，∠AGD＝∠CGF，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴，AD＝CF＝BC＝AB，
∴EF＝AE＝BF﹣BE＝2AB﹣BE，
∵∠ABC＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2，即（ 2AB﹣BE）2＝AB2+BE2，
∴，
∵EM∥CD，
∴△BEM∽△BCG，
∴，
∴，
∵EM∥AB，
∴△AOB∽△EOM，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连结BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连结BF与EF，BF交对角线AC于点G，过点C作CH∥QF交BE于点H，连结AH．以下四个结论：
①BQ＝QF；②△DEF周长为8；③∠BQG＝∠BEF，④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确的结论是 ①②④ ．（填序号）
【答案】①②④．
【点拨】通过证明点B，点C，点F，点Q四点共圆，可得∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，可证BQ＝FQ，故①正确；由“SAS”可证△ABN≌△CBF，△BEF≌△BEN，可得EF＝EN，由线段的和差关系可得△DEF的周长为8，故②正确；由题意可得点H在以BC为边的圆上运动，则当点H在AP上时，AH有最小值为2﹣2，故④正确；通过证明点E，点F，点G，点Q四点共圆，可判断③．
【解析】解：∵BQ⊥FQ，
∴∠FQB＝∠BCD＝90°，
∴点B，点C，点F，点Q四点共圆，
∴∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，
∴∠QBF＝∠QFB，
∴BQ＝FQ，故①正确；
如图，延长DA至N使AN＝CF，连接BN，
∵CF＝AN，∠BAN＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴△ABN≌△CBF（SAS），
∴BF＝BN，∠ABN＝∠CBF，
∵∠QBF＝45°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∵∠ABE+∠ABN＝45°，
∴∠EBN＝∠EBF＝45°，
又∵BE＝BE，BF＝BN，
∴△BEF≌△BEN（SAS），
∴EF＝EN，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+EN＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝8，故②正确；
∵CH∥FQ，
∴∠BHC＝∠BQF＝90°，
∴点H在以BC为边的圆上运动，
如图，以BC为直径作圆，取BC的中点P，连接AP，PH，
∴BP＝2＝HP，
∴AP＝＝＝2，
在△AHP中，AH＞AP﹣HP，
∴当点H在AP上时，AH有最小值为2﹣2，故④正确；
如图，连接EG，
∵∠DAC＝∠QBF＝45°，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴∠BAC＝∠BEG＝45°，
∴∠BEG＝∠EBF＝45°，∠EGB＝90°，
∴EG＝BG，
∴BE＝BG，
∵∠BEG＝∠BFQ＝45°，
∴点E，点F，点G，点Q四点共圆，
∴∠BQG＝∠BFE，∠BGQ＝∠BEF，故③不正确．
故答案为：①②④．
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