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第八章《二元一次方程组》章末测试
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．y+5x B．x+y＝1 C． D．3x+1＝2xy
2．已知是二元一次方程mx+2y＝3的一组解，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知二元一次方程，则用含x的代数式表示y，应为（ ）
A．y＝3+3x B．y＝3﹣6x C．y＝6﹣6 x D．y＝6+6 x
4．已知是关于a、b的二元一次方程组，求a+b是（ ）
A．15 B．3 C．9 D．12
5．用代入法解二元一次方程组过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
6．关于x，y的方程组的解中x与y的差等于2，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
7．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（ ）
A．15.5cm B．19.5cm C．23cm D．30cm
8．小强到文具店购买钢笔和橡皮共用42元（两种物品都要买），已知钢笔每支12元，橡皮每块3元，则小强的购买方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．对于实数x，y定义新运算：x y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3 5＝15，4 7＝28，则2 3的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
二．填空题（共8小题）
11．已知3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b＝ ．
12．已知是二元一次方程2x﹣5y＝7的一个解，则代数式9﹣4a+10b的值为 ．
13．若的解是方程ax﹣3y＝2的一组解，则a的值是 ．
14．已知是方程组的解，则a﹣b的值为 ．
15．当实数m，n满足m+3n＝1时，称点P（m，n）为“创新点”，若以关于x，y的方程组的解为坐标的点Q（x，y）为“创新点”，则a的值为 ．
16．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙2件、丙1件，则共需315元；若购买甲1件、乙2件、丙3件，则共需285元；若购买甲、乙、丙各1件，则共需 元．
17．《孙子算经》中有这样一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长和绳长各是多少尺？
答：木长 尺；绳子长 尺．
18．已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则 ．
二、解答题（共8个小题，共66分）
19．（每小题4分，共8分）解下列方程组：
（1）； （2）．
20．（7分）已知：关于x，y的方程组的解满足等式x+y＝10﹣m．
（1）求m的值；
（2）求x2﹣y2的平方根．
21．（7分）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t．
（1）一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨？
（2）3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？
22．（8分）已知关于x，y的方程组和有相同的解．
（1）求出它们的相同解；
（2）求（a+b）2023的值．
23．（8分）甲、乙两个小马虎，在练习解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解为多少？
24．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计90万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计85万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请帮助该公司求出所有购买方案．
25．（9分）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“可爱点”．例如：点E（3，1），令得，m n＝4≠6，所以E（3，1）不是“可爱点”；F（4，﹣2），令得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“可爱点”．
（1）请判断点A（7，1）是否为“可爱点”： （填“是”或“否”）．
（2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点B（x，y）是“可爱点”，求t的值；
（3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“可爱点”，求正整数a，b的值．
26．（11分）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（千米 吨），铁路运费为1元/（千米 吨）．
（1）求该食品厂到A地，B地的铁路距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润＝总售价﹣总成本﹣总运费）中小学教育资源及组卷应用平台
第八章《二元一次方程组》章末测试
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．y+5x B．x+y＝1 C． D．3x+1＝2xy
【分析】含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都为1的整式方程即为二元一次方程，据此逐项判断即可．
【解答】解：A．y+5x是代数式，不是方程，故A不符合题意；
B．x+y＝1符合二元一次方程的定义，故B符合题意；
C．中未知数y的次数是2，不是二元一次方程，故不C符合题意；
D．3x+1＝2xy中含未知数的项的最高次数为2，不是二元一次方程，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．已知是二元一次方程mx+2y＝3的一组解，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】把代入方程mx+2y＝3得出﹣2m+2＝3，再求出方程的解即可．
【解答】解：把代入方程mx+2y＝3，得﹣2m+2＝3，
解得：m．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能得出关于m的方程﹣2m+2＝3是解此题的关键．
3．已知二元一次方程，则用含x的代数式表示y，应为（ ）
A．y＝3+3x B．y＝3﹣6x C．y＝6﹣6 x D．y＝6+6 x
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【解答】解：，
，
y＝6﹣6 x，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
4．已知是关于a、b的二元一次方程组，求a+b是（ ）
A．15 B．3 C．9 D．12
【分析】直接把方程组中两个方程相加可得3a+3b＝9，则a+b＝3．
【解答】解：把方程组中两个方程相加可得3a+3b＝9，
∴a+b＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟知由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组是解题的关键．
5．用代入法解二元一次方程组过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
【分析】应用代入法，逐个判断，判断出用代入法解二元一次方程组过程中，变形不正确的即可．
【解答】解：∵由①得x＝4y，
∴选项A不符合题意；
∵由①得，
∴选项B不符合题意；
∵由②得，
∴选项C不符合题意；
∵由②得x，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
6．关于x，y的方程组的解中x与y的差等于2，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【分析】两个方程相加后，再根据解的情况，得到m的一元一次方程，进行求解即可．
【解答】解：，
①+②，得：3x﹣3y＝4m﹣2，
∵x与y的差等于2，
∴x﹣y＝2，
∴3（x﹣y）＝3×2＝4m﹣2，
∴m＝2；
故选：C．
【点评】本题考查已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值，熟练掌握加减消元法是关键．
7．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（ ）
A．15.5cm B．19.5cm C．23cm D．30cm
【分析】设一个碗的高度为x cm，增加一个碗高度增加y cm，根据用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设一个碗的高度为x cm，增加一个碗高度增加y cm，
由题意得：，
解得：，
∴8个碗叠成一列高度为x+7y＝5.5+7×2＝19.5（cm），
即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有19.5cm，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．小强到文具店购买钢笔和橡皮共用42元（两种物品都要买），已知钢笔每支12元，橡皮每块3元，则小强的购买方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】设购买x支钢笔，y块橡皮，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出小强的购买方案共有3种．
【解答】解：设购买x支钢笔，y块橡皮，
根据题意得：12x+3y＝42，
∴y＝14﹣4x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴小强的购买方案共有3种．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9．对于实数x，y定义新运算：x y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3 5＝15，4 7＝28，则2 3的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据所给的条件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，从而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，从而可求解．
【解答】解：∵3 5＝15，4 7＝28，
∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②，
②﹣①得：a+2b＝13，
①+②得：7a+12b+2c＝43，
则7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43，
整理得：b﹣c＝24，
∴2 3
＝2a+3b+c
＝2（a+2b）﹣（b﹣c）
＝2×13﹣24
＝26﹣24
＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查解三元一次方程组，整体思想，解答的关键是由所给的条件得出：a+2b＝13，b﹣c＝24．
10．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a，
①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，
②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案，
③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，
④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系，
【解答】解：关于x，y的二元一次方程组，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
（3）方程组，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y
因此④是正确的，
故选：D．
【点评】考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．
填空题（每小题3分，共8个小题，共24分）
11．已知3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b＝ ．
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面考虑，求得a、b的值，代入（a+b）b中即可求出．
【解答】解：
因为3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，
则，
利用代入法求出a＝1，b＝2．
把a＝1，b＝2代入，得（a+b）b＝9．
【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
12．已知是二元一次方程2x﹣5y＝7的一个解，则代数式9﹣4a+10b的值为 ．
【分析】将x＝a，y＝b代入二元一次方程2x﹣5y＝7中，得，2a﹣5b＝7，可得﹣4a+10b＝﹣14，可求得9﹣4a+10b的值．
【解答】解：将x＝a，y＝b代入二元一次方程2x﹣5y＝7中，
得，2a﹣5b＝7，
∴﹣4a+10b＝﹣14，
∴9﹣4a+10b＝9﹣14＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，将二元一次方程2x﹣5y＝7的一个解代入方程求得2a﹣5b的值是本题的关键．
13．若的解是方程ax﹣3y＝2的一组解，则a的值是 ．
【分析】先求出方程组的解，再代入方程，即可求出a．
【解答】解：解方程组得：，
把代入方程ax﹣3y＝2得：﹣a﹣6＝2，
解得：a＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了解二元一次方程组的解，解一元一次方程的应用，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
14．已知是方程组的解，则a﹣b的值为 ．
【分析】把代入方程组得关于a，b的方程组，两个方程相减即可．
【解答】解：把代入方程组得：
，
②﹣①得：2a﹣2b＝6，
a﹣b＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值．
15．当实数m，n满足m+3n＝1时，称点P（m，n）为“创新点”，若以关于x，y的方程组的解为坐标的点Q（x，y）为“创新点”，则a的值为 ．
【分析】首先应用加减消元法，求出关于x，y的方程组的解，然后根据以方程组的解为坐标的点Q（x，y）为“创新点”，可得x+3y＝1，据此求出a的值即可．
【解答】解：，
①+②，可得4x＝4+4a，
解得x＝a+1，
把x＝a+1代入①，可得：2（a+1）+3y＝4，
解得ya，
∴原方程组的解是，
∵关于x，y的方程组的解为坐标的点Q（x，y）为“创新点”，
∴x+3y＝1，
∴a+1+3（a）＝1，
∴a+1+2﹣2a＝1，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
16．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙2件、丙1件，则共需315元；若购买甲1件、乙2件、丙3件，则共需285元；若购买甲、乙、丙各1件，则共需 元．
【分析】设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，则依题意，构建方程组求解．
【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，
则有，
∴4x+4y+4z＝600，
∴x+y+z＝150．
即：购买甲、乙、丙各1件共需108元．
故答案为：150．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用；根据总价得到2个等量关系是解决本题的关键；难点是把2个等式整理为只含5（x+y+z）的等式．
17．《孙子算经》中有这样一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长和绳长各是多少尺？
答：木长 尺；绳子长 尺．
【分析】设木长x尺，绳长y尺，由题意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设木长x尺，绳长y尺，
由题意得：，
解得：，
即绳长11尺，
故答案为：6.5，11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则 ．
【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数 系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．
【解答】解：x+y+7z＝0①，
x﹣y﹣3z＝0②，
①﹣②，得2y+10z＝0，即y＝﹣5z，
①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，
∴4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出x、y是解答本题的关键．
三、解答题（共8个小题，共66分）
19．（每小题4分，共8分）解下列方程组：
（1）； （2）．
【分析】（1）利用加减消元法解答即可求解；
（2）先化简方程组，再利用加减消元法解答即可求解．
【解答】解：（1），
①×4+②得，11x＝22，
∴x＝2，
把x＝2代入①得，4﹣y＝5，
∴y＝﹣1，
∴方程组的解为；
（2）方程组整理得，，
①+②×2得，15y＝11，
∴，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（7分）已知：关于x，y的方程组的解满足等式x+y＝10﹣m．
（1）求m的值；
（2）求x2﹣y2的平方根．
【分析】（1）先由，算出x＝5，再代入3x+5y＝30，求出y＝3，即可解出m的值；
（2）先算出x2﹣y2＝16，再求其的平方根，即可作答．
【解答】解：（1）依题意∵，
∴令②+③得2x＝10，
解得x＝5，
将x＝5代入3x+5y＝30，则15+5y＝30，
解得y＝3，
将x＝5和y＝3代入x+y＝10﹣m，
解得m＝2；
（2）依题意，x＝5，y＝3，
则x2﹣y2＝25﹣9＝16，
∴x2﹣y2的平方根为±4．
【点评】本题考查了解二元一次方程组、已知字母的值求代数式的值，求一个数的平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21．（7分）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t．
（1）一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨？
（2）3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？
【分析】（1）设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用运货总质量＝4×使用大货车的数量+2.5×使用小货车的数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：一辆大货车一次可以运货4吨，一辆小货车一次可以运货2.5吨；
（2）根据题意得：4×3+2.5×5
＝12+12.5
＝24.5（吨）．
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．（8分）已知关于x，y的方程组和有相同的解．
（1）求出它们的相同解；
（2）求（a+b）2023的值．
【分析】（1）根据已知条件，重新把不含有a，b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法，求出x，y的值即可；
（2）把（1）中所求的x＝3，y＝﹣1分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
①×2得：4x﹣2y＝14③，
②+③得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣1，
∴方程组的解为：；
（2）把（1）中所求的x＝3，y＝﹣1分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7得：，
①×2得：12a+2b＝8③，
②+③得：a＝1，
把a＝1代入①得：b＝﹣2，
∴（a+b）2023
＝[1+（﹣2）]2023
＝（﹣1）2023
＝﹣1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值．
23．（8分）甲、乙两个小马虎，在练习解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解为多少？
【分析】将甲的解代入方程组中的第二个方程，求出b的值，将乙的解代入第一个方程求出a的值，确定出方程组的解即可．
【解答】解：将x＝1，y＝6代入第二个方程得：1+6b＝7，解得：b＝1，
将x＝﹣1，y＝12代入第一个方程得：﹣a+12＝10，解得：a＝2，
方程组为，
①﹣②得：x＝3，
将x＝3代入②得：y＝4，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
24．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计90万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计85万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请帮助该公司求出所有购买方案．
【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计90万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计85万元．”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为15万元，B型汽车每辆的进价为20万元．
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：15m+20n＝200，
∴n＝10m．
∵m，n均为正整数，
∴m为4的倍数，
∴，，，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车4辆，B型车7辆；方案二：购进A型车8辆，B型车4辆；方案三：购进A型车12辆，B型车1辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25．（9分）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“可爱点”．例如：点E（3，1），令得，m n＝4≠6，所以E（3，1）不是“可爱点”；F（4，﹣2），令得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“可爱点”．
（1）请判断点A（7，1）是否为“可爱点”： 不是 （填“是”或“否”）．
（2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点B（x，y）是“可爱点”，求t的值；
（3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“可爱点”，求正整数a，b的值．
【分析】（1）根据“可爱点”的定义分别判断即可；
（2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点“的定义得出关于t方程，解方程求出t的值进而得出答案．
（3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点“的定义得出关于a、b的二元一次方程求出正整数解即可．
【解答】解：（1）∵点A（7，1），令，
解得，
∵m﹣n＝8≠6，
∴A（7，1）不是“可爱点“，
故答案为：不是；
（2）方程组的解为，
∵点B（，）是“可爱点”，
∴，
∴，
∵m﹣n＝6，
∴6，
解得t＝10，
∴t的值为10．
（3）方程组的解为，
∵点C（，）是“可爱点”，
∴，
∴，
∵m﹣n＝6，
∴6，
解得b＝14a，
∵a，b为正整数，
∴或或或．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及运用能力．掌握二元一次方程的正整数解求法是解（3）的关键．
26．（11分）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（千米 吨），铁路运费为1元/（千米 吨）．
（1）求该食品厂到A地，B地的铁路距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润＝总售价﹣总成本﹣总运费）
【分析】（1）设这家食品厂到A地的距离是x公里，到B地的距离是y公里，根据食品厂到B地的距离是到A地的2倍且A，B两地间的距离为150公里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，根据两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元、铁路运费20600元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（3）设卖出的食品每吨售价为a元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设这家食品厂到A地的距离是x公里，到B地的距离是y公里，
根据题意，得：，
解得：，
∴50﹣20＝30，100﹣30＝70，
答：这家食品厂到A地的铁路距离是30千米，到B地的铁路距离是70千米．
（2）设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，
由题意得：，
解得：，
答：该食品厂买进原料220吨，卖出食品200吨，
（3）设卖出的食品每吨售价为a元，
由题意得：200a﹣5000×220﹣15600﹣20600＝863800，
解得：a＝10000，
答：卖出的食品每吨售价是10000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
