数学试题参考答案
1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．D 8．B
9．CD 10．AD 11．ABC 12．ABD
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上...............................................5分
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；................................ .................... ...................7分
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．........................................10分
18．解:（1）
证明：取中点，连接，如图所示，
为中点，则，又，得，
由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面................. .........5分
（2），易知，又，得.
由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.
如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则有，，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，有，得，
，
设点到平面的距离为，.....................12分
19．解（1）
，，
，....................4分
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
所以...................8分
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.....................12分
20．解:（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，...................3分
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,即,....................60分
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；....................8分
（2）
∴....................12分
21．解:（1）由题意知，直线OB方程为，直线OA的方程为，
因为，所以直线BF的方程为，与直线OB方程联立，
解得，把代入直线OA的方程得，所以
又因为ABOB，所以，解得，
故双曲线C的方程为........................................4分
（2）由（1）知，则直线的方程为，
即
因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点 ，
直线与直线的交点为 ，因为，
则 ...........................................................................10分
因为是C上一点，则，代入上式得
，所求定值为....................12分
22．解:（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；.......................................................................4分
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；....................9分
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.........................................................12分泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期5月期中考试
数学试题
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知数列的前n项和为，则（ ）
A．81 B．162 C．243 D．486
2．已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
6．甲 乙 丙 丁 戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，，则（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数的单调增区间为
C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是
D．，则
10．已知，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知等差数列{}的前n项和 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当取得最大值时 D．当取得最大值时
12．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．四边形面积的最大值为2
B．四边形周长的最大值为
C．为定值
D．四边形面积的最小值为32
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13．已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为 .
14．设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为 ．
15．如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 .
16．双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）
已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
18．（12分）
如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点
(1)证明：平面；
(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
19．（12分）
为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．
(1)若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；
(2)若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
20．（12分）
记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
21．（12分）
如图，已知双曲线的右焦点，点分别在C的两条渐近线上，轴，（O为坐标原点）．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值．
22．（12分）
已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
