曲阜师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月综合测试（三）数学试题
考试范围：第六章-第八章；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）若，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）已知空间中的两个不同的平面，，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（本题5分）如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．1
4．（本题5分）已知向量不共线，，且与方向相反，则实数的值是（ ）
A． B．1 C．或 D．1或
5．（本题5分）下列命题正确的是（ ）
A．若直线，则平行于经过的任何平面
B．若直线，和平面，，满足，，，则
C．若直线，和平面满足，，则
D．若直线和平面满足，则与内任何直线平行
6．（本题5分）在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成的角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题5分）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．外心、重心、垂心
C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
8．（本题5分）在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）已知复数，在复平面内对应的点分别为，则（ ）
A．两点在以原点为圆心的同一个圆上
B．两点之间的距离为
C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是
D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是
10．（本题6分）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和12，且，则该圆台的（ ）
A．高为
B．上底面积、侧面积和下底面积之比为16∶14∶1
C．表面积为
D．体积为
11．（本题6分）对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，，且有两解，则的取值范围是
C．在锐角中，不等式恒成立
D．在中，若，，则必是等边三角形
第II卷（非选择题）
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）已知，，，，则向量在向量上的投影向量为 （用坐标表示）
13．（本题5分）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ．
14．（本题5分）已知平面向量满足，则的最大值为 .
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知复数满足和均为实数．
(1)求复数；
(2)若在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16．（本题15分）已知的内角所对的边分别为，向量与平行.
(1)求；
(2)若，求的面积．
17．（本题15分）我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．
(1)证明：三棱锥为鳖臑；
(2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．
①证明：直线平面；
②判断与的位置关系，并证明你的结论．
18．（本题17分）如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．
(1)求旋转体的表面积；
(2)求旋转体的体积；
(3)求图中所示圆锥的内切球体积．
19．（本题17分）已知点G为三条中线的交点．
(1)求证:
(2)若点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，求证:
(3)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，，求的最小值．参考答案
1．D 【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为，故选：D.
2．B 【详解】两个不同的平面，，直线平面，
当时，或，不充分；当时，，必要.故选：B.
3．A 【详解】如图，不妨令直观图中正方形为，则，
所以，
由直观图可得如下平面图形，则，，
所以.故选：A
4．A【详解】因为与方向相反，则存在，使得，，且向量、不共线，则，整理可得，
解得或，所以或，又，所以，故选：A.
5．B【详解】对于A：若直线，则直线与直线唯一确定一个平面，不妨设为平面，则，故A错误；
对于B：过作平面，使得，作平面，使得，因为，所以，因为，所以，所以，又，，所以，
又因为，，所以，所以，故B正确.
对于C：若，，则与平行或相交或异面，故C错误；
对于D：若，则与内任何直线不相交，即平行或异面，故D错误.故选：B
6．D【详解】解：连接，因为，所以与所成的角就是与所成的角，
即.当点从向运动时，从增大到，但当点与重合时，，与与为异面直线矛盾，所以异面直线与所成的角的取值范围是.故选：
7．B【详解】因为，所以到顶点的距离相等，所以点为的外心；由，则，取的中点，
则，所以，所以点是的重心；
由，得，即，
所以，同理，所以点为的垂心.故选：B.
8．B【详解】如下图所示：
在直线上取一点，使得，所以，
当时，取得最小值为，即；
又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形，
建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：
又可得为的中点，由以及可得在上，可得，所以，可得，则，
令，由可得，
所以，，
由二次函数在上单调递减可得.
故选：B
9．BD【详解】对A：由题意得,
所以,所以,
所以两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误;
对B：两点之间的距离为,故B正确；
对C：满足的复数对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆,所以其周长为,故C错误；
对D：满足的复数对应的点形成的图形是以原点为圆心，
分别以为半径的两个圆所夹的圆环，
所以其面积为,故D正确.故选:BD
10．ACD
【详解】对于A中，设圆台的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，
则且，解得，由圆台的母线长为，所以圆台的高为，所以A正确；
对于B中，圆台的上、下底面面积为，
其侧面积为，所以上底面积、侧面积和下底面积之比为，所以B不正确；
对于C中，由B项得，圆台的表面积为，所以C正确；
对于D中，圆台的体积为，所以D正确.故选：ACD.
11．ACD
【详解】选项A：中，若，
即，所以由正弦定理得，
又由余弦定理得，所以，
为钝角三角形，A正确；
选项B：如图所示，
若有两解，则，解得，B错误；
选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，
又，所以，则，
又因为在单调递增，所以，C正确；
选项D：若，，
由余弦定理，，
所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确.故选：ACD
12．．
【详解】因为，，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.故答案为：.
13．
【详解】设底面的外接圆圆心为，半径为，三棱柱的外接球的球心为半径为，取的中点，可知，且∥，
则，，可得，，所以三棱柱的外接球表面积为.
故答案为：.
14．30 【详解】设，则，
因为，
所以点在以为圆心3为半径的圆周上，点在以为圆心2为半径的圆周上，如图所示，
，由图可知，当A，B，C三点共线，在如图所示的位畳时，
有最大值有最大值5，此时取最大值1，
所以的最大值为30.故答案为：30
15．(1) (2)
【详解】（1）设，则，
所以，因为和均为实数，
所以，解得，故；
（2），
因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得或，即实数的取值范围为.
16．(1) (2)
【详解】（1）解：由向量，，因为，可得，
又由正弦定理，可得，因为，可得，所以，即，又因为，所以.
（2）解：因为且，
由余弦定理得，即，
可得，解得或（舍去），
所以的面积为.
17．（1）∵，∴为直角三角形，∵平面，且平面，平面，平面，∴，，，∴和为直角三角形，∵，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴，∴为直角三角形，∴三棱锥为鳖曘.
（2）①
连接，∵点分别为的中点，∴，且平面，平面，所以直线平面，
②平行，证明：平面，平面，平面平面=，所以.
18．(1) (2) (3)
【详解】（1）由图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，
在直角梯形中，，，过点作于点，
则四边形和四边形为矩形，，如图所示，
在中，由得，，
，
所以，，
因为旋转体的表面积，
所以．
（2）因为旋转体的体积，
所以旋转体的体积．
（3）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上，
设球切于点，连接，
则，，
因为，所以，
在中，，解得，
所以圆锥的内切球体积．
19．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).
【详解】（1）令分别为的边上的中线，，
由点在上，得，显然，则，即，
又点共线，于是，解得，则，因此，所以.
（2）由（1）知，，而点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，
因此，即，
所以.
（3）由（1）知，，而，，
因此，又点共线，则，即，
于是，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
答案第1页，共2页
