渭南市2024年高三教学质量检测（Ⅱ）
数学试题（理科）
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前务必将自己的姓名 学校 班级 准考证号填写在答题卡和答题纸上.
3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.
第I卷选择题（共60分）
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的实部和虚部得定义即可判断AB；根据共轭复数的定义即可判断C；根据复数的模的计算公式即可判断D.
【详解】由，
得，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
2. 设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}，则 U（A∪B）＝（ ）
A. {x|0＜x＜1} B. {x|x≤0或x≥1} C. {x|x≤﹣3} D. {x|x＞﹣3}
【答案】C
【解析】
【分析】可求出集合A，B，然后进行并集、补集的运算即可．
【详解】解：A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣3＜x＜1}；
∴A∪B＝{x|x＞﹣3}；
∴ U（A∪B）＝{x|x≤﹣3}．
故选C．
【点睛】考查描述法的定义，对数函数的定义域，以及并集、补集的运算．
3. 已知等比数列的前项和为，则其公比（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用等比数列的通项公式及前项和公式，即可求出结果.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，若，由，得到，不满足，所以，
由，得到①，由，得到②，
由①②得，整理得到，解得，
故选：C.
4. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A. B. C. 8min D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据初始条件求得参数，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间．
【详解】由题意可知，当时，，则，解得，
所以，
当时，，即，
则
，
所以茶水泡制时间大的为7 min.
故选：B.
5. 平面与平面平行的充要条件是（ ）
A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面
C. ，平行于同一条直线 D. 内有两条相交直线都与平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据面面平行的判定定理逐项判断即可.
【详解】对于A，内有无数条直线与平行，可得与相交或；
对于B，与垂直于同一个平面，可得与相交或；
对于C，与平行于同一条直线，可得与相交或；
对于D，内有两条相交直线平行于，结合面面平行的判定定理可得，
故选：D．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 若数据的极差和平均数相等，则
B. 数据的中位数为8
C. 若，随机变量，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】选项A，根据条件，利用极差和平均数的定义即可求解；选项B，利用中位数的定义，即可求解；选项C，利用二项分布的期望公式和性质即可求解；选项D，利用正态分布的对称性，即可求解.
【详解】对于选项A，因为数据的平均数为，当时，极差为，
由题知，解得，满足题意，
当时，极差为，由题知，解得，满足题意，所以选项A错误，
对于选项B，因为数据的中位数为，所以选项B错误，
对于选项C，因为，所以，
又，所以，所以选项C正确，
对于选项D，因为，所以，从而有，故选项D错误，
故选：C.
7. 已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得函数是以为周期周期函数，且为奇函数，再根据函数的周期性可得代入已知解析式即可得解.
【详解】因为，所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
因为，所以函数是奇函数，
因为，
所以
.
故选：D.
8. 已知菱形的边长为为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可得解.
【详解】由题意点为的中点，
设，
则，，
故
，
当时，取得最小值.
故选：A.
9. 已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当面积最大时，，在中，，求出，再利用二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】圆化为，
则圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为，所以点在圆上，则，
当的面积最大时，，
在中，，则，
所以，
所以.
故选：A.
10. 已知等差数列的公差为，若集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由公差可得通项公式的解析式，再由集合种仅有两个元素，可得元素的值，再求出结果即可.
【详解】根据题意，，
最小正周期为，
要使集合中仅有两个元素，
则，即，
不妨取，显然满足题设要求，
则，
所以，
故选：B
11. 关于函数，给出如下结论：
①的图象关于点对称
②的图象关于直线对称
③的最大值是3
④是函数的周期
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据是否成立即可判断①；根据是否成立即可判断②；令，再结合二次函数的性质即可判断③；根据是否成立即可判断④.
【详解】对于①，，
，
则，
所以的图象不关于点对称，故①错误；
对于②，，
所以的图象关于直线对称，故②正确；
对于③，，
令，
则，
则，
当时，，
所以的最大值是3，故③正确；
对于④，，
所以不是函数的周期，故④错误.
所以正确结论的个数为个.
故选：B.
12. 已知，为函数的零点，，若，则（ ）
A. B.
C. D. 与大小关系不确定
【答案】C
【解析】
【分析】为函数的零点，则可以将三个根代入方程得到三个方程，再将这三个方程进行运算凑出，可解出为定值，然后再根据函数有三个零点求出的范围可得答案.
【详解】易知为函数的零点，
又
解之：，负根舍去；
又，
即与有三个交点，交点横坐标分别为，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为
切线方程为：过原点，
此时的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，
故选：C
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
第II卷非选择题（共90分）
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】令通项中，解出再代入计算即可.
【详解】通项为，
令，
所以展开式中的系数为，
故答案为：
14. 已知数列的前项和为，则数列的前2024项和__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用等差数列的前项和求出，再利用裂项相消法求解即可.
【详解】因为，
所以数列是等差数列，
则，
所以，
所以.
故答案为：.
15. 已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点（在第一象限），过作的垂线，垂足为.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答.
【详解】抛物线：的焦点为，准线为：，
令交于点，即有，
由，直线的倾斜角为，得，
则，，
又，则为正三角形，，因此点，
双曲线：过点的渐近线为，
于是，解得，
所以双曲线的离心率.
故答案为：.
16. 已知棱长为的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求出该正四面体的内切球半径，若正方体在纸盒内任意转动，当正方体玩具的棱长最大时，其外接球是正四面体的内切球，设此时正方体玩具的棱长为，分析可得关于的方程，解可得答案.
【详解】根据题意，如图：正四面体中，其棱长为，
设为底面的外心，为其内切球的球心，设其内切球半径为，
连接、，
底面为等边三角形，则，，
则，
则有，解得，
若正方体在纸盒内任意转动，当正方体玩具的棱长最大时，其外接球是正四面体的内切球，
设此时正方体玩具的棱长为，则其外接球直径为，
则有，解得，
即这个正方体玩具的棱长最大值为．
故答案为：.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合三角恒等变换的知识化简已知条件，求得，进而求得.
（2）利用余弦定理化简已知条件，求得，进而求得三角形的面积.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
由，
得，
,
，
，
.
18. 如图，在三棱锥中，．
（1）证明：平面平面BCD；
（2）若，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取BD的中点G，连接AG，CG，则有，由，可得，，由线面垂直的判定定理可得平面BCD，即得；
（2）设，建立空间坐标系，则有时当时，直线AB与平面ACD所成的角最大，再利用棱锥的体积公式计算即可.
【小问1详解】
证明：如图，取BD的中点G，连接AG，CG．
因为，所以BG=CG(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
又因为AB=AC，G为BD的中点，
所以，
所以，
又因为AG为公共边，
所以，
所以，所以，
又因为，平面BCD，
所以平面BCD，又因为平面ABD，
所以平面平面BCD；
【小问2详解】
解：过点C作直线平面BCD，以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，
则有，，．
设平面ACD的一个法向量为，
由得
可取，
设直线AB与平面ACD所成的角为，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立．
因为，
所以，
此时三棱锥体积，
故当直线AB与平面ACD所成的角最大时，三棱锥的体积为．
19. 有一个质地均匀的正方体骰子.
（1）将其随机抛掷次，求其向上的点数之和不超过的概率；
（2）将其随机抛掷次，记其向上的最大点数为，求的分布列以及；
（3）记为前次抛掷中向上的最大点数为的概率，求.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）先确定可出现的所有可能，再用列举法找出点数之和不超过的样本点，利用古典概率公式，即可求出结果；
（2）的可能取值为，求出对应取值的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求出结果；
（3）根据题意有，利用等比数列的前项和公式，即可求出结果.
【小问1详解】
用中的分别表示第一次、二次、三次投掷的点数，投掷次，共有种可能，
其中点数之和不超过的情况有，，
，，，，，共种情况，
所以点数之和不超过的概率为.
【小问2详解】
的可能取值为，
用中的分别表示第一次、二次投掷的点数，抛掷次，共有种可能，
当时，抛掷结果为，当时，抛掷结果为，
当时，抛掷结果为，
当时，抛掷结果为，
当时，抛掷结果为，
当时，抛掷结果为，
所以，，，
，，，
所以的分布列为
.
【小问3详解】
由题知，，，，，
所以.
20. 已知椭圆的左，右焦点分别为，Q为E短轴的一个端点，若是等边三角形，点在椭圆E上，过点作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：直线MN过定点；
（3）求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆过点及焦点三角形为正三角形求解；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程求中点M坐标，同理求点坐标，得到直线方程即可得证；
（3）求出三角形面积，利用换元法求函数的最小值即可得解.
【小问1详解】
如图，
因为点在椭圆E上，所以，
因为是等边三角形，所以，，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，消去得，
设，则，
所以，即，
将的坐标中的用代换，得的中点.
当时，所在直线为，
当时，，直线的方程为，整理得，
所以直线过定点.
【小问3详解】
，
令，则，
由于则在上递增，
所以当，即时，取得最大值为，
即面积的最大值为.
21. 已知函数，其中.
（1）讨论单调性；
（2）若恒成立，求.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数与函数单调性间的关系，对求导，得，对分类讨论，即可求出结果；
（2）先探求恒成立的必要条件，从而得到，再证明时，在上恒成立，即可解决问题.
【小问1详解】
因为，易知其定义域为，，
当时，在上恒成立，
当时，由，得到，
所以，当时，，时，，
综上所述，当时，的单调增区间为，无减区间，
当时，的单调增区间为，减区间.
【小问2详解】
令，
由于恒成立，且，又在区间上连续，
所以是的一个极大值点，又，
所以，得到，
下证明时，在上恒成立，
由（1）知，时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，又恒成立，所以，
综上所述，.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于根据条件得到是的一个极大值点，从而得恒成立的一个必要条件，再证明时，在上恒成立，即可解决问题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线的极坐标方程为，点A的极坐标为且点A在曲线上．
（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的参数方程；
（2）已知直线与曲线分别交于P，Q两点，其中P，Q异于原点O，求的面积．
【答案】（1）曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把曲线的参数方程化为直角坐标方程，然后再化为极坐标方程，再根据点在曲线上求得，即可得曲线的极坐标方程，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，进而可得参数方程；
（2）先求出点的直角坐标，分别联立直线与的普通方程，求出连点的坐标，再根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式即可得解.
【小问1详解】
由，得，
因为，
所以，即，
又点在曲线上，
所以，解得，
所以曲线的极坐标方程为，
由，得，
所以曲线的直角坐标方程为，即，
所以曲线的参数方程为（为参数）；
【小问2详解】
点的直角坐标为，
由（1）得曲线的直角坐标方程为，
联立，解得或，
所以
联立，解得或，
所以，
则，
点到直线的距离，
所以.
[选修4-5：不等式选讲]
23 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，设函数的最小值为，若均为正数，且，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论分别得到不等式组，解得即可；
（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，即可得到，再由柯西不等式计算可得.
【小问1详解】
当时，
，
所以不等式等价于或或，
解得或或，
综上可得不等式的解集为.
【小问2详解】
当时，
，
当且仅当，即时取等号，
所以，
又因为均为正数，
所以由柯西不等式得
，
所以，
当且仅当时取等号，即，
所以的最大值为.渭南市2024年高三教学质量检测（Ⅱ）
数学试题（理科）
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前务必将自己的姓名 学校 班级 准考证号填写在答题卡和答题纸上.
3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.
第I卷选择题（共60分）
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}，则 U（A∪B）＝（ ）
A {x|0＜x＜1} B. {x|x≤0或x≥1} C. {x|x≤﹣3} D. {x|x＞﹣3}
3. 已知等比数列的前项和为，则其公比（ ）
A. B. C. D.
4. 中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A. B. C. 8min D.
5. 平面与平面平行充要条件是（ ）
A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面
C. ，平行于同一条直线 D. 内有两条相交直线都与平行
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 若数据的极差和平均数相等，则
B. 数据中位数为8
C. 若，随机变量，则
D. 若，则
7. 已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. 2 D.
8. 已知菱形的边长为为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，（ ）
A. B. C. D.
10. 已知等差数列的公差为，若集合，则（ ）
A. B. C. D.
11. 关于函数，给出如下结论：
①的图象关于点对称
②的图象关于直线对称
③的最大值是3
④是函数的周期
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 已知，为函数零点，，若，则（ ）
A. B.
C. D. 与大小关系不确定
第II卷非选择题（共90分）
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
14. 已知数列的前项和为，则数列的前2024项和__________.
15. 已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点（在第一象限），过作的垂线，垂足为.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为__________.
16. 已知棱长为的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最大值为__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求面积.
18. 如图，在三棱锥中，．
（1）证明：平面平面BCD；
（2）若，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥的体积．
19. 有一个质地均匀的正方体骰子.
（1）将其随机抛掷次，求其向上的点数之和不超过的概率；
（2）将其随机抛掷次，记其向上的最大点数为，求的分布列以及；
（3）记为前次抛掷中向上的最大点数为的概率，求.
20. 已知椭圆的左，右焦点分别为，Q为E短轴的一个端点，若是等边三角形，点在椭圆E上，过点作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：直线MN过定点；
（3）求面积的最大值．
21. 已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求.
（二）选考题：共10分.请考生在第22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线的极坐标方程为，点A的极坐标为且点A在曲线上．
（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的参数方程；
（2）已知直线与曲线分别交于P，Q两点，其中P，Q异于原点O，求的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，设函数的最小值为，若均为正数，且，求的最大值.
