数学：4.14.相交线与平行线 垂线知识教案（北京课改版七年级上）

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4.14相交线与平行线 垂线
教学目标：1．使学生掌握垂线的概念、点到直线距离的概念，
　　 2．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，并会度量点到直线距离.
　　 3．使学生理解并掌握垂线的性质.
能力目标：1．通过对垂线定义做正、反两方面的推理，培养学生的逻辑推理能力.
2．通过垂线的画法，进一步培养学生的实际动手操作能力.
德育目标：1．使学生初步树立辩证唯物主义观点.
　　 2．通过垂线，使学生进一步体会到几何图形的对称美.
教学重点：垂线概念和性质．
教学难点：垂线的判断和性质的理解运用．
教学方法：通过创设情境，引导学生主动发现性质，并运用练习加以巩固．
教学过程：
　　创设情境：
　　1．做一做：用三角板量一量，课本封面的每个角是多少度？
　　2．教师演示：（几何画板）直线AB、CD相交于点O，转动直线CD的同时，观察直线AB、CD相交所得的角的角度大小，多变换几种位置一直转到使直线CD与AB所成的角有一个角∠AOC＝90°．
3．学生活动：当∠AOC＝90°，口答∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？这种位置关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？学生回答完后，引入课题．
　 探索新知：
　　提出问题：什么样的两条直线互相垂直？
　　学生思考后回答问题，教师根据学生回答情况，适当加以引导点拨，得到：
1．垂直定义：两条直线相交所成的四个角中，如果其中有一个角等于90°，那么就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（1）学生活动：让学生举出日常生活和生产中常见的垂直关系的实例．（十字路口的两条道路；方格本的横线和竖线；铅垂线和水平线．）
（2）提出以下问题帮助学生理解定义
①“有一个角是直角”是指四个角中的哪一个角？②“互相垂直”是什么意思？③相交的两条直线都垂直吗？
(3) 垂线与铅垂线的区分：两条直线垂直时，只和它们夹角的大小有关，而和直线是否处于水平位置无关；铅垂线是一条带铅锤的线，由于地心引力的作用，铅垂线指向地心.（用来测量自然墙面和水平面是否垂直）
　　2．垂直的记法、读法和判定
　　①直线垂直的记法读法：直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”．
②垂直判定： ∵∠AOC=90°，
　　 ∴AB⊥CD（垂直的定义）．
　　 ∵AB⊥CD（已知），
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
学生活动：
(1)用∠AOD、∠BOD或∠BOC让学生重复练习正、反两步推理．
(2) 在一张任意形状（不规则）的纸上，怎样才能折出两条互相垂直的线呢？（不能借助任何工具）
　　【教法说明】让学生自己尝试学习，可充分发挥学生的积极性、主动性，对垂直定义做正、反两方面的推理可加深学生对定义的理解，一方面为了渗透符号推理格式，熟悉符号的使用；另一方面可加深学生对定义的理解，定义既可以作判定用，又可以当性质用．
　　
3．垂线的画法及性质
学生活动：让学生用三角板或量角器画已知直线的垂线，然后回答这样的垂线有几条？若过一点，能不能画这条直线的垂线？若能，有几条呢？
请一个学生到黑板上去画
教师引导学生，点可以在直线上或者直线外.
通过画图，得垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
提出问题：
　　（1）“过一点”包括几种情况？
　　（2）“有且只有”是什么意思？（“有”表示存在，“只有”表示唯一．）
【教法说明】垂线的性质放手让学生自己动手画图，自己总结，培养了学生动手，动脑，发现问题和解决问题的能力，达到能力培养的目标．
画垂线的步骤：一贴，二过，三画.
　　学生活动：让学生尝试画一条线段或射线的垂线（一个学生板演）．
教师与学生共同归纳：两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况，因此在题目中遇到两条线段互相垂直、两条射线互相垂直，都是指它们所在的直线互相垂直．所以过一点作线段(或射线)的垂线时，垂足可能在线段(或射线)上，也可能在线段的延长线(或射线的反向延长线)上．
　　【教法说明】让学生在理解概念的基础上，多动手练习画垂线，进一步体会垂线的惟一性。学生画图时，教师巡回指导，发现问题，及时纠正，使学生加深印象，进一步培养学生动手操作能力.
4．点到直线的距离：
学生活动：“试一试”： 如图，设点P是直线l外一点，从P点向直线引PO、PA、PB、PC…几条线段，其中只有PO与l垂直.量一量着几条线段中，那一条最短？
用圆规(或刻度尺)比较垂线段PO与线段PA、PB、PC…的大小，就会发现一个确定无疑的事实：PA＞PO，PB＞PO，PC＞PO，…所有连结P点和直线l上的点的线段都比垂线段PO长.这就说明垂线确实具有这样一条重要性质，这个性质可简单地说成：垂线段最短.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
提问：“垂线段”和“点到直线的距离”有什么区别？
答：前者是一个图形，而后者则是一个数量，是指该点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段．
垂线段的概念和垂线段最短的性质，是定义“点到直线距离”这个概念的依据．由于从直线外一点到这条直线的垂线是唯一的，又由垂线段最短，它的长度也是唯一的，因此保证了点到直线距离的唯一性．教学时要特别注意区别“垂线段”和“垂线段的长度”．前者是一个图形，而后者则是一个数量．要强调点到直线距离是一个数量，是指该点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段．要注意纠正学生“作出点到直线的距离”这类错误．
应用举例：怎样正确量出跳远的成绩？
由学生独立思考分析.教师引导学生将实际问题转化为数学问题，做得比较好的学生，让他到黑板上画图.
归纳小结：
1． 垂线的定义、性质是什么？
2． 垂线有哪些应用？
补充练习：
　　1．如图，公路边上有一小商亭和工厂 .
　　（1）量出商亭与工厂的距离.
（2）量出工厂到公路的距离.　　
2．要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图来，并说明根据什么道理.
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