(共20张PPT)
第3课时 分 式
徐州近年真题及拓展
1
考点精讲
2
徐州近年真题及拓展
分式化简(10年9考,近9年连续考查)
1.计算:( )÷ .
命题点
【答题模板】
解：原式＝ ÷ (通分并计算)
＝________÷ (分解因式)
＝ ×________ (除法变乘法)
＝________ (约分)
a＋1
2.计算: +4÷ .
解：原式＝ · (3分)
＝2x.(5分)
3.计算: ÷ .
解：原式＝ · (3分)
＝2(a－b)．(5分)
4.计算: ÷ .
解：原式＝ ÷ (2分)
＝ · (4分)
＝x.(5分)
5.计算:(1+ )÷ .
解：原式＝ · (3分)
＝ .(5分)
6.计算:(1+ )÷ .
解：原式＝ ·
＝ · (3分)
＝x＋1.(5分)
7.计算:(1- )÷ .
解：原式＝ ÷
＝ · (3分)
＝ .(5分)
8.计算:(1+ )÷ .
原式＝ · (3分)
＝x－2.(5分)
9.计算:(a+ )÷(1+ ).
解：原式＝ ÷
＝ · (3分)
＝a－1.(5分)
创新考法
10.下面是小明同学分式化简的过程,请认真阅读并完成相应习题.
计算:(1- )÷ .
解:原式= ÷ (第一 步)
= · (第二步)
= · (第三步)
= .(第四步)
创新考法
(1)该同学解答过程是从第_______ 步开始出现错误的;其错误的原因是____________________________________________________________;
二
去括号时，括号前面是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
创新考法
(2)请写出此题正确的化简过程,再求值,其中x=3.
(2)原式＝ ÷
＝ ·
＝ ·
＝ .
当x＝3时，原式＝ ＝－4.
基本性质
分式
最简分式
分式 有意义的条件
分式 值为0的条件
有关概念
分式的加减运算
分式的乘除运算
分式化简求值的一般步骤
分式
的运算
分式
考点精讲
苏科：八下第10章P96-P121
【对接教材】
有关概念
分式:形如 (B≠0)的代数式,其中A、B 都是整式,且B中含有字母
最简分式:___________________________
分式 有意义的条件:_______
分式 值为0的条件:___________
基本性质:分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值_______ ,即 = , = ,其中A、B、C 是整式,且C≠0
分子与分母没有公因式的分式
B≠0
A＝0且B≠0
不变
分式的运算
分式的加
减运算
1.同分母分式相加减,分母_______ ,分子_______ ,即 ± =_______
2.异分母分式相加减,先通分,把异分母分式化为同分母分式,再加减,即 ± = ± =_______ (关键是通分)
通分 找最简公分母
关键
1.先观察各分母,能因式分解的先因式分解
2.取各分母的所有因式的最高次幂的积(数字因式的最小公倍数)作为公因式
不变
相加减
分式
的乘
除运
算
1.分式乘分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母: · =
_______ (关键是约分)
2.分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘: ÷ =_______=
约分 找公因式
关键
1.分子、分母能因式分解的先因式分解
2.取分子、分母中相同因式的最低次幂的积(数字因式的最大公约数)作为公因式
分式的运算
分式化简求值的一般步骤
1.有括号先计算括号内的加减法,关键是通分:寻找公分母
2.进行乘除运算(除法变为乘法)
3.分子分母能因式分解的先进行因式分解
4.约分:寻找公因式
5.结果化为最简分式
6.代入相应的数字或式子,求代数式的值
分式的运算(共29张PPT)
第1课时 实 数
徐州近年真题及拓展
1
考点精讲
2
徐州近年真题及拓展
1
命题点
数轴(10年2考)
1. (2022徐州8题3分)点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为－3、1.若BC＝2，则AC等于( )
A. 3 B. 2 C. 3或5 D. 2或6
D
第2题图
2. (2023徐州8题3分)如图，数轴上有O、A、B三点，O为原点，OA、OB分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离(单位：光年)．下列选项中，与点B表示的数最为接近的是( )
A. 5×106 B. 107 C. 5×107 D. 108
C
2
命题点
绝对值、相反数、倒数(10年9考)
3. －2的绝对值是( )
A. －2 B. 2 C. D. －
B
4. (2021徐州1题3分)－3的相反数是( )
A. 3 B. －3 C. D. －
A
5. －2的倒数是( )
A. － B. C. 2 D. －2
A
3
命题点
科学记数法
6. 2023年我市财政计划安排社会保障和公共卫生等支出约1820000000元支持民生幸福工程，该数据用科学记数法表示为( )
A. 18.2×108元 B. 1.82×109元
C. 1.82×1010元 D. 0.182×1010元
B
7. (2021徐州9题3分)我市2020年常住人口约9080000人，该人口数用科学记数法可表示为__________ 人．
9.08×106
8. (2020徐州12题3分)原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148 m，将0.000000000148用科学记数法表示为____________．
1.48×10－10
9. (2022徐州10题3分)我国自主研发的某型号手机处理器采用10nm工艺，已知1nm＝0.000000001m，则10nm用科学记数法可表示为________m.
1×10－8
创新考法
10. (2021邵阳)2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000 km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为a×108的形式，则a的值是( )
A. 0.192 B. 1.92
C. 19.2 D. 192
B
11. 4的算术平方根是________．
4
命题点
平方根、算术平方根、立方根(10年6考)
2
12. 49的平方根是__________．
±7
13. 8的立方根是________．
2
14.2－1等于( )
A. 2 B. －2 C. D. －
5
命题点
实数的运算(10年12考)
C
15. 化简：| －2|＝________．
2－
16. 计算：(－1)2＋sin 30°－ .
解：原式＝1＋ －2(3分)
＝－ (5分)
17. 计算：(－1)2020＋| －2|－( )－1.
解：原式＝1＋2－ －2(3分)
＝1－ .(5分)
18.计算：π0－ ＋( )－2－|－5|.
解：原式＝1－3＋9－5(3分)
＝2.(5分)
19. [2021徐州19(1)题5分]计算：|－2|－20210＋ －( )－1.
解：原式＝2－1＋2－2(3分)
＝1.(5分)
科学记数法
实数
的分类
按定义分类
按大小分类
相反数
倒数
算术平方根
立方根
平方根
平方根、算术平
方根、立方根
类别比较法
数轴比较法
作差比较法
平方比较法
实数的
大小比较
绝对值
数轴
实数
实数的运算
四则运算法则
常见的实数运算
实数的混
合运算顺序
考点精讲
苏科：七上第2章P10－P63，
八上第4章P92－P113
【对接教材】
实数的分类
按定义 分类
有理数
整数分数
有限小数或无限循环小数
无理数:无限不循环小数
无理数的 几种常见 形式
1.开方开不尽的数:如 、 、 等
2.含有根式的三角函数值:如sin45°,sin60°,cos30°, cos45°,tan30°,tan60°等
3.有规律的无限不循环小数:如0.10010001…(相邻2个1之间依次多1个0)
无理数的判断,一定要将其先化为最简形式后再进行判断,如 =2, 是有理数
●
易错警示
无理数
的几种
常见
形式
按定义 分类
实数的
分类
按大小
分类
正数(>0)
0(0既不是正数,也不是负数)
负数(<0)
正负数可以用于表示相反意义的量,可以把其中一 个量规定为正,则另一个量为负.如:规定“上升” 为正,则“下降”为负;“零上”为正,则“零下”为负
数轴
1.三要素:
2.实数与数轴上的点是一一对应的
3.数轴上两点间的距离:用右边点表示的数减去左边点表示的数
●
满分技法
到数轴上某一点距离相等的点有两个,分别位于该点两侧.
绝对值
|a|=
a(a>0)
0(a=0)
_______ (a<0)
绝对值具有非负性
几何意义:数轴上表示数a的点到原点的距离,离原点越远的数的绝对值越_______
相反数
非零实数a 的相反数是_______,特别地,0的相反数为0
实数a,b互为相反数 a+b=_______
几何意义:互为相反数的两个数(除0外)分别位于数轴上原点的两侧,且到原点的距离相等
－a
大
－a
0
倒数
非零实数a的倒数为_______ ,0没有倒数,倒数等于它本身的数是1和-1
实数a,b互为倒数 ab=_______
科学
记数
法
一个数用科学记数法可以表示为:a×10n ,其中1≤|a|<10,n为整数
n的确定
当原数的绝对值≥10时:n 为正整数,n 等于原数的整数位数减1
当0<原数的绝对值<1时:n 为负整数,|n|等于原数左起第一位非 零数字前所有零的个数(包括小数点前的零)
1
●
满分技法
常考的计数单位有:1万=104,1亿=108;常考的计量单位有:1μm=10-6 m,1nm=10-9 m.
类别比较法:正数>0>负数;两个负数比较大小,_______ 大的反而小
数轴比较法:数轴上两个点表示的数,右边的数总比左边的数_______
作差比较法:对于任意实数a、b,若a-b>0 a>b;若a-b=0 a=b;若a-b<0 a平方比较法:若a> ,则a2>b(b>0)(主要应用于无理数的估值或无理数的大小比较)
实数的
大小比
较
绝对值
大
平方根、算术平方根、立方根
考查点
平方根 实数a(a≥0)的平方根为 ______ 1.一个正数的平方根有两个,它们互为相反数
2.负数没有平方根
3.所有的数都有一个立方根,且与原数同号
4.平方根等于它本身的数是0;算术平方根等于它本身的数是0,1;立方根等于它本身的数是0,±1
算术平方根 实数a(a>0)的算术平方 根为 _______ ,0 的算术平方根为0 立方根 实数a的立方根为 定义
总结
±
实数的运算
加法
同号两数相加:取与加数相同的符号,并把_______相加
异号两数相加:绝对值相等时,和为_______;绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对_______较小的绝对值
一个数与0相加,仍得这个数
减法:减去一个数等于加上这个数的相反数,如a-b=a+_______
乘法:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,0与任何数相乘都得0
除法:除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数
绝对值
0
减去
(－b)
四则
运算
法则
常见
的实
数运
算
运算 法则
乘方 a·a·…·a＝an，表示n个a相乘(注意：a+a+…+a＝na，
表示n个a相加)
0次幂 a0=1(a≠0),注:见到0次幂值就写1
负整数指 数幂 a-p =_______(a≠0, p 为正整数)注:倒底数,反指数(特别地a-1 =_______ (a≠0)).如( )-1=2,( - )-1 =_______ ,( )-2=_______
n个
n个
－2
9
实数的运算
运算 法则
-1的奇偶次幂 (-1)n = _______ (n 为奇数)
_______ (n 为偶数)
常见的算术平方根、立方根 =2, = , =3, =_______,
=_______, =_______, =2,
=_______
－1
1
－3
常见
的实
数运
算
实数的运算
运算 法则
去绝对值符号 _______ (a>b)
(1)|a-b|= 0 (a=b)
_______ (a注:先通过大小比较判断a-b的符号,再利用绝对值的非负性去绝对值符号.如| -2|=2- ,|1- |= -1,
|3- |=______
(2)若|x|=a,则x=±a
a－b
b－a
3－
常见
的实
数运
算
实数的运算
运算 法则
特殊角的三角函数值 sin30°=cos60°=______,cos30°=sin60°=_______, sin45°=cos45°=_______,tan30°=_______,tan60°=____,
tan45°=_______
1
常见
的实
数运
算
实数的运算
实数的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减;如果有括号,先进行括号内的运算,同级运算按照从左到右的顺序进行运算
实数的运算(共24张PPT)
第2课时 代数式与整式(含规律探索)
徐州近年真题及拓展
1
考点精讲
2
徐州近年真题及拓展
1
命题点
代数式求值(10年7考)
1.若2m+n=4,则代数式6-2m-n 的值为________ .
2
2.(2019徐州12题3分)若a=b+2,则代数式a2-2ab +b2 的值为________ .
4
3.(2020徐州14题3分)已知a+b=10,a-b=8,则a2 -b2=________ .
80
4.(2022徐州14题3分)若a2+2a=1,则2a2+4a-1=________ .
1
5.(2023徐州12题3分)若ab=2,a-b=-1,则代数式 a2b-ab2 的值等于________ .
－2
拓展训练
6.已知c与d互为相反数,则代数式2c+2d-6的值为________ .
－6
7.当x=3时,px3 +qx+1=2022,则当x=-3时,px3+qx+1的值为________ .
－2020
8.(2021甘肃省卷改编)对于任意的有理数a,b, 如果满足 + = ,那么我们称这一对数 a,b为“相随数对”,记为(a,b).若(m,n)是“相随数对”,则3m+2[3m+(2n-1)]=________ .
－2
创新考法
2
命题点
整式运算
9.下列计算正确的是 ( )
A.a2+2a2=3a4 B.a6÷a3=a2
C.(a-b)2=a2-b2 D.(ab)2=a2b2
D
10.下列计算正确的是 ( )
A.a2+a2=a4 B.(a+b)2=a2+b2
C.(a3)3=a9 D.a3·a2=a6
C
11.下列运算正确的是 ( )
A.a-(b+c)=a-b+c B.2a2·3a3=6a5
C.a3+a3=2a6 D.(x+1)2=x2+1
B
12.下列计算正确的是 ( )
A.(a3)3=a9 B.a3·b4=a12
C.a2+a3=a5 D.a6÷a2=a3
A
拓展训练
13.下列各式中计算结果为4a3 的是 ( )
A.4a3-a B.3a·a2
C.4a5÷a2 D.(2a2)2
C
3
命题点
分解因式
14.分解因式:m2-4=_____________ .
(m＋2)(m－2)
15.因式分解:x2-36=____________ .
(x＋6)(x－6)
拓展训练
18.分解因式:2x2+4x+2=_____________ .
2(x＋1)2
16.分解因式:m2-4m+4=________ .
(m－2)2
17.分解因式:2m2-2=_________________ .
2(m＋1)(m－1)
4
命题点
图形规律探索
19.如图,每个图案都由大小相同的正方形组成.按照此规律,第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为___________ .
第19题图
n(n＋1)
变式训练
20. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成．按照此规律,第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．
第20题图
n2
21.如图,每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成,照此规律,第n个图案中白色正方形比黑色正方形多________个.(用含n的代数式表示)
第21题图
(4n＋3)
变式训练
22.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成,如图中的每一个小正方形表示一块地砖.如果按图①②③…的次序铺设地砖,把第n个图形用图表示,那么第个图形中的白色小正方形地砖有________块. (用含n 的代数式表示)
第22题图
(7n＋5)
【试题链接】更多试题详见本书 P128题型一.
整式的
相关概念
代数式及
其求值
列代数式
非负性
代数式求值
因式分解
概念
方法
步骤
整式的运算
加减运算
幂的运算
乘法运算
乘法公式
除法运算
代数式与整式
（含规律探索）
考点精讲
苏科：七上第3章P64-P93,
七下第8章P44-P63,第9章P64-P91
【对接教材】
代数式及其求值
列代数式:把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子表示出来
代数式求值
直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运 算顺序计算求值
整体代 入法
1.观察已知条件和所求代数式的关系
2.用提取公因式、平方差公式、完全平方公式将所求代数式或已知代数式进行 变形,使它们成倍分关系
3.把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
非负性
常见的非负数:|a|、b2、 (c≥0),其中a、b、c均为实数,最小的非负数是_______
常见的非负式:|A|、B2、 ,其中A、B、C 均为整式,若|A|+B2+ =0,因为|A|≥0,B2≥0, ≥0,所以A=0,B=0,C=0
0
代数式
及其求
值
多项式
概念:几个单项式的和.如a+2b
项:一个多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做_______如2a-1的项是2a 与-1,其中-1是常数项
次数:多项式里次数_______ 的项的次数.如多项式2xy+5x3y2+4的次数是5单项式和多项式统称为整式
单项式和多项式统称为整式
同类项:__________________________________________________;常数项都是同类项
常数项
最高
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
概念:数与字母的积表示的式子.单独的一个数或一个字母也是单项式
系数:单项式中的数字因数.如单项式3a2 的系数为_______
次数:单项式中所有字母指数的_______ .如3x2y3 的次数为5
单项式
3
和
整式
的相
关概
念
整式的运算
加减运算
实质:合并同类项
合并同类项法则
1.字母和字母的指数不变
2.同类项系数相加减作为新的系数,如2xy2+3xy2=5xy2
去括号法则:括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉, 括号里各项的符号都不改变,如:a+(b-c)=a+b_______
括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项的符号都要改变,如:a-(b-c)=a-b_______ (口诀:“+”不变号,“-”变号)
整式加减运算法则:几个整式相加减,有括号就先去括号,然后再合并同类项
－c
＋c
幂的
运算
名称 运算法则 公式表示(a≠0,b≠0,m,n 是整数)
同底数幂的乘法 底数不变,指数相加 am ·an =_______
同底数幂的除法 ____________________ am ÷an =_______
幂的乘方 ____________________ (am )n =_______
积的乘方 ____________________ (ab)n =_______
am＋n
底数不变，指数相减
am-n
底数不变，指数相乘
amn
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
anbn
整式的运算
乘法
运算
名称 运算法则 字母表示
单项式乘单项式 系数、相同字母的幂分别相乘, 对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 如2a2·3ab2=
_______
单项式乘多项式 先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加 如m(a+b)=_______
多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所 得的积相加 如(m+n)(a-b)=
________________
6a3b2
ma＋mb
ma－mb＋na－nb
整式的运算
乘法
公式
平方差公式:______________________
完全平方公式:_____________________
单项式除以单项式:将系数、同底数幂分别相除,作为商的一个因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式,如:6a2b÷3a= 2ab(a≠0)
多项式除以单项式:用多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加
除法
运算
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
整式的运算
因式分解
概念:把一个多项式写成几个整式的积的形式
方法
提公因式法
ab+ac+ad _____________
公因式的确定
系数:取各项系数的最大公约数
字母:取各项相同的字母
指数:取各项相同字母的最低次数
公式法
a2-b2 _______________
a2±2ab+b2 _______
a(b＋c＋d)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
步骤
一提:如果多项式各项有公因式,应先提取公因式,特别注意数字因式;
二套:如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法;若多项式为两项且符号相反时,考虑平方 差公式;若多项式为为三项时,考虑完全平方公式;
三检查:检查因式分解是否彻底,必须把每一个因式都分解到不能再分解为止,且最后结果是积的形式
分解因式的实质是把和差化为积的形式,而整式化简的实质是把积化为和差的形式,二者不可混淆.
●
满分技法
因式
分解
