(共24张PPT)
模型分析
主从联动，其实质就是构造旋转、位似．
对于一个图形进行旋转和位似变化，其实质就是对图形中的每一个点进行旋转和位似变化．
微专题 主从联动(瓜豆原理)
模型一 动点轨迹之线段
模型一 直线轨迹
已知定点A，动点P、动点Q，∠PAQ＝α， 为定值，点P在直线BC上运动；
(1)如图①，当α＝0°时，点Q的运动轨迹为直线MN(虚线)，MN∥BC；
图①
(2)如图②，当0°＜α≤90°时，点Q的运动轨迹为直线MN(虚线)，直线MN与直线BC之间的夹角为α；
图②
问题1 如图，△APQ是等边三角形，点A为定点，当点P在直线BC上运动时，求Q点的运动轨迹．
问题1题图
解：当确定轨迹是线段时，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，如图，直线QQ′即为点Q的运动轨迹
问题1题图
Q'
P'
问题2 如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°且AP＝AQ，点A为定点，当点P在直线BC上运动时，求Q点的运动轨迹．
问题2题图
解：如解图，直线QQ′即为点Q的运动轨迹．
Q'
P'
问题2题图
模型应用
1. 如图，在等边△ABC中，AB＝9，点D是BC边上的动点，点E在AD上，已知AE∶AD＝1∶3，当点D从点B运动到点C时，点E的运动轨迹长为________；若将点E绕点D顺时针旋转90°到点F的位置，则当点D从点B运动到点C时，点F的运动轨迹长为________．
第1题图
3
2. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E为CD边上一动点，以AE为边在AE下方作等边△AEF，连接DF，线段DF长度的最小值是________．
第2题图
模型迁移
3. (2020宿迁)如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝－ x＋2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为( )
A. B. C. D.
第3题图
B
模型分析
已知定点A，动点P、动点Q，∠PAQ＝α， 为定值，点P在⊙O上运动，
(1)如图①，当α＝0°时，点Q的运动轨迹为⊙M(虚线)；
图①
模型二 动点轨迹之圆
(2)如图②，当0°＜α≤90°时，点Q的运动轨迹为⊙M(虚线)；
图②
【温馨提示】在圆轨迹的主从联动问题中，求从动点轨迹的方法(如图②)：
第一步：确定主动点P，从动点Q；
第二步：确定主动点P的轨迹(⊙O)；
第三步：确定∠PAQ的大小及 的值；
第四步：确定点M的位置及AM的长：令∠MAO＝∠PAQ，
, 求出AM和QM；
第五步：确定从动点Q的轨迹(⊙M)的圆心和半径QM.
图②
问题1 如图，P是⊙O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ＝AP.当点P在⊙O上运动时，Q点轨迹是？并简要说明如何确定Q点轨迹．
问题1题图
Q点轨迹是一个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，∴Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP＝AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM＝AO，且可得半径MQ＝PO.即可确定⊙M位置，任意时刻均有△APO △AQM.
问题1题解图
Q
O
M
A
≌
解：如解图
∟
问题2 如图，P是⊙O上一个动点，点A为定点，连接AP，以AP为一直角边作直角△APQ，且AP＝2AQ，当P在⊙O上运动时，Q点轨迹是？并简要说明如何确定Q点轨迹．
问题2题图
由AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；由AP∶AQ＝2∶1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO∶AM＝2∶1，且半径QM＝ OP.即可确定⊙M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2.
问题2题解图
Q
O
M
A
P
解：如解图,
问题3 如图，P是⊙O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ.当点P在⊙O上运动时，Q点轨迹是？并简要说明如何确定Q点轨迹．
问题3题图
Q点满足∠PAQ＝60°，AP＝AQ，∴Q点轨迹是一个圆，由∠PAQ＝60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO＝60°；由AP＝AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM＝AO，且可得半径MQ＝PO.即可确定⊙M位置，任意时刻均有△APO △AQM.可以理解AQ由AP旋转得来，∴⊙M亦由⊙O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．
问题3题解图
Q
O
M
A
P
≌
60°
解：如解图，
问题4 如图，P是⊙O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ.当点P在⊙O上运动时，如何作出Q点轨迹？并简要说明如何确定Q点轨迹．
问题4题图
Q点满足∠AQP＝90°，AP∶AQ＝ ∶1，∴Q点轨迹是一个圆．连接AO，构造∠OAM＝45°且AO∶AM＝ ∶1.M点即为Q点轨迹圆圆心，半径QM＝ OP，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ.即可确定点Q的轨迹圆．
问题4题解图
Q
O
M
A
P
∟
解：如解图，
模型应用
4. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，E是BC的中点，AE、BD相交于点P，当∠ABC从90°逐步减小到30°的过程中，则点P经过的路径长为_____．
第4题图
5. 如图，正方形ABCD中，AB＝2 ，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.则线段OF长的最小值为________．
第5题图
模型迁移
6. (2023县区一模)一次函数y＝2x与反比例函数y＝ (k＞0)的图象交于A，B两点，点P在以C(－2，0)为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为 ，则k的值为________．
第6题图(共21张PPT)
例1 如图①，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，直线y＝－x＋3过B、C两点，点P是抛物线第一象限内一动点．
微专题 运动产生的线段问题
函数微技能
一阶
一题多设问
例1题图①
能力点一 点坐标的表示
(1)若点P在x轴上，设点P的横坐标为p，则点P的坐标可表示为______；点P在y轴上，设点P的纵坐标为q，则点P的坐标可表示为________；
(p，0)
(0，q)
例1题图①
(2)若点P在抛物线上，设点P的横坐标为p，则点P的坐标可表示为_______________________；
(3)若点P在直线上，设点P的横坐标为p，则点P的坐标可表示为______________；
(4)若点P在抛物线的对称轴上，设P点纵坐标为q，则点P的坐标可表示为________．
(p，－p2 ＋2p＋3 )
(p，－p＋3)
(1, q)
例1题图①
能力点二 线段的表示
(5)如图②，若点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，PQ交BC于点H，设点P的横坐标为p.
①点P到y轴的距离为___________；
②点P到对称轴的距离为_____________；
③PQ的长为______________；
④PH的长为______________；
p
|p－1|
－p2＋2p＋3
－p2＋3p
例1题图②
⑤点P′与点P关于y轴对称，则PP′的距离为______________；点P′与点P关于x轴对称，则PP′的距离为_________________；
⑥点P到直线BC的距离为______________.
－2p2＋4p＋6
2p
例1题图②
【方法总结】
①与x轴垂直的线段的长即纵坐标相减(上减下);
②与y轴垂直的线段的长即横坐标相减(右减左);
③斜线段时，可过线段端点分别作x轴、y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解．
设问突破
二阶
例2 已知二次函数y＝－ x2＋ x＋3的图象与x轴交于A、B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为M.
(1)设点E为x轴上一点，当AE＝CE时，求点E的坐标；
一题多设问
例2题图①
【思维教练】
解：(1)如解图①，由题意可得A(－2，0)，C(0，3)，设点 E 的坐标为
(e，0)，
∴AE＝| e－(－2)|，CO＝3，OE＝|e|，
在Rt△COE 中，CE2＝OC2＋OE2＝9＋e2.
∵AE＝CE，
∴AE2＝CE2，
∴[e－(－2)]2＝9＋e2，解得 e＝ ，
∴点E的坐标为( ，0)；
例2题解图①
(2)点P是抛物线在第一象限内一点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.①求线段PQ的最大值；
【思维教练】设出点P的横坐标，根据竖直线段的坐标特性，表示出PQ的长度．①利用二次函数性质求线段PQ的最大值；
例2题图②
(2)①由题可得B(4，0)，
∵直线BC过点B(4，0)，C(0，3)，
∴直线BC表达式为y＝－ x＋3.
设点P的坐标为(p，－ p2＋ p＋3)，
∵PQ∥y 轴，
∴点Q的坐标为(p，－ p＋3)，
∴PQ＝－ p2＋ p＋3－(－ p＋3)＝－ p2＋ p＝－ (p－2)2＋ .
∵－ ＜0，0＜p＜4，
∴当 p＝2 时，PQ有最大值，最大值为 ；
例2题图②
②求点P到直线BC距离的最大值；
②如解图②，过点P作PN⊥BC交BC于点N，连接PC，PB，要求点P到直线BC的最大值，即为求△PCB面积的最大值．
例2题解图②
由①知PQ＝－ (p－2)2＋ ，
∴S△PCB＝ PQ·OB＝ ×[－ (p－2)2＋ ] ×4
＝－ (p－2)2＋3，
∵－ <0，0
②方法一：利用△PCB的面积即可求出点P到直线BC距离的最大值；方法二：利用相似三角形求出点P到直线BC距离的最大值．
在Rt△BOC中，由勾股定理可知BC＝ ＝5，
∵S△PCB＝ BC·PN，
∴3＝ ×5·PN，解得PN＝ ，
∴点P到直线BC距离的最大值为 ；
例2题解图②
(3)设点D是对称轴l上一点，是否存在点D，使得DC＋DA的值最小，若存在，请你求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
例2题图③
【思维教练】作点A关于对称轴l的对称点，恰好与点B重合，直线BC与对称轴l的交点即为要求的点D.
(3)存在．由题意可知，A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3), 抛物线的对称轴为直线 x＝1，
∴点 A 关于对称轴 l 的对称点的坐标为(4，0)，恰好与点B重合．
∴直线BC与对称轴的交点即为使得 DC＋DA 最小时点D的位置，由(2)可知直线BC的表达式为y＝－ x＋3，
∴当x＝1时，y＝ ，
∴点D的坐标为(1, )；
例2题图③
(4)在y轴上找一点H，使得△BMH的周长最小，请你求出此时点H的坐标．
例2题图④
【思维教练】求△BMH的周长最小值，BM是定值，则求出HM＋HB的最小值即可．
由题意，可知 M(1， )，
∴M′(－1， )，
∵B(4，0)，
∴设直线 BM′的解析式为 y＝k1x＋b1，
解得
例2题解图③
(4)如解图③，作点 M 关于 y 轴的对称点 M′，连接 BM′交 y 轴与点 H，此时点 H 可以使得△BMH 的周长最小．
∴直线BM′的表达式为y＝－ x＋ ，
当 x＝0 时，y＝ ，
∴此时点H的坐标为(0， )；
例2题解图③
例2题图⑤
(5)点P是x轴上一点，是否存在点P，使PC＋ PB最小，若存在，请你求出PC＋ PB的最小值，并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】要求PC＋ PB的最小值，
可在x轴下方作∠ABD＝45°，交y轴负半轴于点D，
过点P作PB′⊥BD，交BD于点B′，
此时PB′＝ PB，当点C，P，B′在同一条直线上时，
PC＋ PB最小，最小值为CB′，
再在Rt△BOC和Rt△CB′B中，利用勾股定理求点P的坐标．
例2题解图⑤
(5)存在．如解图④，在x轴下方作∠ABD＝45°，交y轴负半轴于点D，则OB＝OD＝4，
在Rt△ODB中，BD＝ OB＝4 .
∵OC＝3，∴CD＝3＋4＝7，.
过点P作PB′⊥BD于点 B′，连接PC，
在Rt△PB′B中，PB′＝PB，
∴PC＋ PB＝PC＋PB′，
当点C、P、B′在同一条直线上时，PC＋ PB最小，此时CB′⊥BD交BD于点B′，最小值为CB′.
∵S△BCD＝ CD·OB＝ BD·CB′，
∴CB′＝ .即PC＋ PB的最小值为 ；
在Rt△BOC中，∵OC＝3，OB＝4，
∴BC＝5.
在Rt△CB′B中，∵BB′＝ ，
∴PB＝ PB′＝1，OP＝OB－PB＝4－1＝3.
∴点P的坐标为(3，0)．
例2题解图⑤(共25张PPT)
微专题 动点产生的面积问题
函数微技能
一阶
例1 (1)如图①，在平面直角坐标系中，点B(2，0)，点C(3，2)，求△OBC的面积；
例1题图①
∵B(2，0)，C(3，2)，
∴OB＝2，CD＝2，
∴S△OBC＝ OB·CD＝ ×2×2＝2.
例1题例图①
D
解：(1)如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
(2)如图②，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，4)、B(3，1)、C(1，2)，求△ABC的面积；
例1题例图②
∵A(3，4)，B(3，1)，C(1，2)，
∴CD＝2，
∴S△ABC＝AB·CD＝ ×(4－1)×2＝3.
(2)如图，过点C作CD⊥AB于点D，
D
(3)如图③，在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，求△ABC的面积；
例1题图③
设直线AC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(1，3)、C(5，4)代入，
得 解得
∴直线AC的表达式为y＝ x＋ .
∵点B(3，0)，
∴当x＝3时，y＝ .则点D的坐标为(3， )．
∴S△ABC＝ BD·|xC－xA|＝ × ×|5－1|＝7
例1题图③
(3)方法一：【分割法】如图，过点B作y轴的平行线交线段AC于点D.
∵A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，
∴S△ABC＝S梯形AEFC－S△ABE－S△BCF
＝ ×(3＋4)×(5－1)－ ×(3－1)×3－ ×(5－3)×4＝7.
方法二：【补全法】如图，过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点E，F.
F
E
例1题图③
(4)如图④，在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，求四边形AOBC的面积．
例1题图④
(4)如图，连接AB，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E.
例1题图④
F
E
∵点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，
∴DE＝|xC－xA|＝4，BE＝|xC－xB|＝2.
∴S四边形AOBC＝S△AOD＋S四边形ADEC－S△CBE
＝ ×1×3＋ ×(3＋4)×4－ ×4×2
＝ .
1. 直接公式法：适用于三角形的一边平行于坐标轴(或在坐标轴上)，直接运用三角形的面积公式S＝ AB·h求解．
满分技法
2. 分割法：S△ABC＝ ah，即三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半．
满分技法
3. 补全法：S△ABC＝S四边形ADEC－S△ADB－S△BEC，即将三角形补成一个规则的图形再求解．
满分技法
4. 对于一边在坐标轴上(或一边平行于坐标轴)的四边形，可连接一条对角线，将四边形分割成两个三角形来解决，其中一个三角形一边在坐标轴上(或一边平行于坐标轴)．另一个三角形的三边都不在坐标轴上(或三边都不平行于坐标轴)．
例2 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2－2x＋3经过A，C两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)如图，若点P为抛物线上一点，且点P的横坐标为
－2，连接PA，PC.
①求△PAC的面积；
突破设问
二阶
一题多设问
例2题图①
【思维教练】①根据抛物线与直线表达式求出三角形的顶点坐标，进而求解；
解：(1)①∵直线y＝x＋3交x轴于点A，交y轴于点C，
令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝－3，
∴A(－3，0)，C(0，3)．
∵抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∵点P的横坐标为－2，
∴点P和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴PC∥x轴，PC＝2.
∴PC边上的高为OC＝3.
∴S△PAC＝ PC·OC＝ ×2×3＝3；
例2题图①
例2题图①
【思维教练】②根据S四边形PAOC＝S△PAC＋S△AOC求解．
②求四边形PAOC的面积；
②解法一：由(1)可知，S△PAC＝3，A(－3，0)，C(0，3)．
∴AO＝3，OC＝3.
∴S△AOC＝ AO·OC＝ ×3×3＝ .
∴S四边形PAOC＝S△PAC＋S△AOC＝3＋ ＝ ；
解法二：由①可知，PC∥x轴，PC＝2，
PC边上的高为OC＝3.
∴S四边形PAOC＝S梯形PAOC＝ (PC＋OA)·OC＝ ×(2＋3)×3＝ ；
(2)点D为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点E在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得△QAE的面积与△CBE的面积相等，若存在，请你求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
例2题图②
【思维教练】因为△QAE和△CBE的底边AE＝BE，所以只需高相等即可得到面积相等．
(2)存在，如解图①，由题意，得AE＝BE，
∵OC＝3，
∴当△QAE的边AE上的高为3时，△QAE的面积与△CBE的面积相等．
①当y＝3时，－x2－2x＋3＝3，解得x1＝－2，x2＝0，
∴点Q的坐标为(－2，3)或(0，3)；
②当y＝－3时，－x2－2x＋3＝－3，解得x＝－1± ，
∴点Q的坐标为(－1＋ ，－3)或(－1－ ，－3)．
综上所述，点Q的坐标为(－2，3)或(0，3)
或(－1＋ ，－3)或(－1－ ，－3)．
例2题解图①
(3)若点P为抛物线第二象限上一点，是否存在点P，使得S△PAC＝ S△ABC，若存在，请你求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
例2题图③
【思维教练】因为S△PAC可以用含字母的式子表示出来，所以本题可转化为一元二次方程求解问题．
(3)存在，点P的横坐标为－2或－1；
如图，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点N.
例2题图③
F
N
设点P的坐标为(m，－m2－2m＋3)，
∵直线AC的表达式为y＝x＋3，
∴点N的坐标为(m，m＋3)．
∴PN＝－m2－2m＋3－(m＋3)＝－m2－3m.
∴S△PAC＝S△PAN＋S△PCN
＝ PN·AF＋ PN·FO＝ PN·(AF＋FO)
＝ OA·PN＝ ×3×(－m2－3m)＝－ m2－ m.
由(1)可知点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(1，0)，
点C的坐标为(0，3)，
∴AB＝4，OC＝3.
∴S△ABC＝ AB·OC＝ ×4×3＝6.
∴S△PAC＝ S△ABC＝ ×6＝3.
∴－ m2－ m＝3.
解得m＝－2或－1.
∴当S△PAC＝ S△ABC时，点P的横坐标为－2或－1.
例2题图③
F
N
(4)若点R是抛物线上的一点，且位于对称轴的左侧，是否存在点R，使得S△RBC＝ ，若存在，请你求出点R的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】假设点R存在，过点R作BC的垂线交BC于点K，则
BC·RK＝ ，由于点R、K坐标不易求得，可考虑作RH∥y轴交BC的延长线于点F，利用△RKF∽△BOC的性质，列等量关系式求解．
例2题图④
(4)存在．假设存在点R，使得S△RBC＝ ，如解图③，连接BC，过点R作RK⊥BC，交BC的延长线于点K，作RH∥y轴，交x轴于点H，交BC的延长线于点F，连接RC，RB.
∵RH∥y轴，RK⊥BC，
∴∠F＝∠BCO，∠RKF＝∠BOC＝90°.
∴△RKF∽△BOC.
∴ .
∴BC·RK＝BO·RF.
又∵S△RBC＝ ，BO＝1，
例2题解图③
∴ BC·RK＝ BO·RF＝ .∴RF＝9.
由B(1，0)，C(0，3)可求出直线BC的表达式为y＝－3x＋3，
设R(x，－x2－2x＋3)，则F(x，－3x＋3)，
∴RF＝－3x＋3－(－x2－2x＋3)＝x2－x＝9.
解得x1＝ ，x2＝ (不合题意，舍去)，
当x＝ 时，y＝
∴R( ， )．
∴存在点R，使得S△RBC＝ ，此时点R的坐标为( ， )；
例2题解图③
(5)在直线AC上方的抛物线上，是否存在一点M，使四边形MABC的面积最大？若存在，请你求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】△ABC面积一定，所以求四边形MABC面积最大值，即为求△MAC面积的最大值. 要使△MAC的面积最大，可先把△MAC的面积用含字母的式子表示出来，再利用二次函数的性质讨论其最值，进而求得 M点坐标．
例2题图⑤
(5)存在点M，使四边形MABC的面积最大，
如解图④，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，连接MA，MC，BC，
∴S四边形MABC＝S△MAC＋S△ABC，
∵S△ABC一定，∴四边形MABC面积最大时，即为△MAC的面积最大．
设M(x，－x2－2x＋3)，则N(x，x＋3)，
∴MN＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x.
∴S△MAC＝S△AMN＋S△CMN＝ MN·OA
＝ ×(－x2－3x)×3
＝－ (x＋ )2＋ .
例2题解图④
∵－ ＜0，－ 3< － <0，
∴当x＝－ 时，S△MAC的值最大，即四边形MABC的面积最大，
此时y＝－(－ )2－2×(－ )＋3＝ .
∴当四边形MABC面积最大时，点M的坐标为(－ ， )．
例2题解图④(共24张PPT)
函数微技能
一阶
微专题 运动产生的角度问题
例1 (1)如图①，在平面直角坐标系中，直线x＝1与x轴交于点B，点A是直线x＝1上一点，当直线OA与x轴正半轴夹角为30°时，点A的纵坐标为________；
例1题图①
(2)如图②，点A( ，1)，点C为BA延长线上一点，若∠COB＝2∠AOB，则点C的坐标为 ________；
例1题图②
(3)如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上一点，若∠PBA＝15°，求点P的坐标；
例1题图③
(3)∵直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A(2，0)，B(0，2)，
∴OA＝OB＝2，
∴∠OBA＝45°.
设点P的坐标为(x，0)，
如解图②，当点P在点A左侧时，
∵∠P1BA＝15°，
∴∠OBP1＝∠OBA－∠P1BA＝30°，
∴OP1＝OB·tan30°＝ ，
例1题解图②
点P1的坐标为( ，0)；
当点P在点A右侧时，
∵∠P2BA＝15°，
∴∠OBP2＝∠OBA＋∠P2BA＝60°，
∴OP2＝OB·tan60°＝ ，
∴点P2的坐标为( ，0)．
综上所述，点P的坐标为( ，0)或( ，0)．
例1题解图②
(4)如图④，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，点C为直线AB上一点，当OC平分∠AOB时，求点C的坐标；
例1题图④
(4)如解图③，过点C作CD⊥OA于点D，
∵OC平分∠AOB，DC⊥OA，CB⊥OB，
∴DC＝BC.
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABO＝90°，
∴△ADC∽△ABO.
∴ .
∵点A(2，3)，
∴OB＝2，AB＝3，
在Rt△ABO中，OA＝ .
例1题解图③
设点C的坐标为(2，m)(m>0)，则CD＝BC＝m，
∴ ，
解得m＝ ，
则点C的坐标为(2， )．
例1题解图③
(5)如图⑤，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，C是y轴上一动点，是否存在点C使得∠ACO＝∠AOB？若存在，请你求出点C坐标；若不存在，请说明理由．
例1题图⑤
(5)存在．
如解图④，当点C在y轴正半轴时，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴．
∴∠AOC＝∠OAB，
∵∠ACO＝∠AOB，
∴△AOC∽△BAO，
∴ .
∵点A(2，3)，
例1题解图④
∴OB＝2，AB＝3，OA＝ ，
∴ ，
∴OC＝ .
∴点C的坐标为(0， )；
如解图⑤，当点C在y轴负半轴上时，
∵∠ACO<∠AOB，∴∠ACO与∠AOB不可能相等．
综上所述，符合条件的点C坐标为(0， )．
例1题解图⑤
①若所求角度为90°，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解；
②若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解．
满分技法
例 2 如图①，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴交于点C(0，3 )，抛物线的顶点为M，连接AC，BC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点F.
(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
突破设问
二阶
一题多设问
例2题图①
例2题图①
解：(1)∵抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)、B，与y轴交于点C(0，3)，将点A、C两点坐标代入得，
∴ ， 解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x ＋ ，
化为顶点式得y＝－ (x－3)2＋ ，
∴顶点M的坐标为(3， )；
(2)如图②，已知点R是y轴上一点，连接AR，若AR恰好平分∠OAC，求点R的坐标；
例2题图②
【思维教练】要求点R的坐标，先设出点R的坐标，结合AR平分∠OAC，且OR⊥AO，故可考虑过点R作RD⊥AC于点D，利用角平分线性质得到RD＝RO，再结合∠RCD＝∠ACO，∠RDC＝∠AOC得△CRD∽△CAO，列比例式求解即可．
(2)如解图①，过点R作RD⊥AC于点D，设点R的坐标为(0，r)，
∵AR平分∠CAO，RO⊥AO，
∴DR＝RO＝r，∠CDR＝∠AOC＝90°，
∵在△CDR与△COA中，∠RCD＝∠ACO，∠CDR＝∠COA
∴△CDR∽△COA，∴ ，
又∵点A(－3，0)，C(0，3 )，
∴OA＝3，OC＝3 ，
例2题解图①
在Rt△AOC中，由勾股定理得AC= ，
∴ ，解得r＝ ，
∴点R的坐标为(0， )；
例2题解图①
(3)如图③，抛物线上是否存在点H，使得∠HCB＝∠HBC，若存在，请你求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
例2题图③
【思维教练】要求满足∠HCB＝∠HBC的点H坐标，则由等角对等边可知HC＝HB，即点H在线段BC的垂直平分线上，从而取BC的中点S，过S作SL⊥BC，交x轴于点L，交抛物线于点H，则点H即为所求．
先求点L的坐标，从而得到直线SL的函数表达式，
再与抛物线联立得方程组，求解即可得到点H的坐标．
(3)存在．
如解图②，取BC的中点S，过点S作SL⊥BC，交x轴于点L，交抛物线于点H，此时点H即为所求．
令y＝ x2＋ x＋3 ＝0，解得x1＝－3，x2＝9，
∴A(－3，0)，B(9，0)．
∵C(0，3 )，∴BC的中点S的坐标为( ， )．
∵OC＝3 ，OB＝9，∴BC＝6 ，
又∵OA＝3，AC＝6，
∴∠ACO＝∠CBO＝30°，∴BS＝ BC＝3 ，
例2题解图②
∴BL ，
∴OL＝OB－BL＝9－6＝3，此时点L与点E重合，则点L的坐标为
(3，0)．
设直线SL的表达式为y＝kx＋t(k≠0)，将点L，S的坐标代入得，
， 解得
∴直线的解析式为y＝ x－3 ，
与抛物线表达式联立得方程组
例2题解图②
解得
∴满足条件的点H有两个，坐标为(6，3 )或(－9，－12 )；
例2题解图②
(4)如图⑤，在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得∠CPB＝90°，若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
例2题图④
(4)存在．
如解图③，过点C作CT⊥ME于点T，设点P的坐标为(3，e)，
则CT＝3，BE＝6，PT＝|e－3 |，PE＝|e|，
∵∠CPB＝90°，
∴∠CPT＋∠EPB＝90°，
∵∠CTP＝90°，
∴∠TCP＋∠CPT＝90°，
∴∠EPB＝∠TCP，
∵∠CTP＝∠PEB，
例2题解图③
∴△CTP∽△PEB，
∴ ，即＝ ，
整理得e2－3 e＝18 ①或e2－3 e＝－18 ②，
解方程①得e1＝ ，e2＝ ，
方程②中，∵b2－4ac<0，∴方程无解．
综上所述，满足条件的点P有两个，坐标为
(3 ， )或( 3， )．
例2题解图③(共18张PPT)
微专题 十字模型
【活动目的】运用所学的知识探究正方形中十字图形的特点及相关结论．
活动一：
【分析图形】如图①，在正方形ABCD中，
点E、F分别是BC、CD上的点，AF、DE相交于点G.
图①
【提出问题】根据题干信息，请从下列条件中选择一个，作为已知条件，其他条件作为结论，并进行证明：①CE＝DF，②AF＝DE，③AF⊥DE，④△ADG∽△AFD.
你添加的条件是_____，证明结论是___________________．
【解决问题】
图①
③
①②④.(答案不唯一)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，
∴∠DAF＋∠ADG＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，
∴在△ADF和△DCE中，
∴△ADF≌△DCE(ASA)，∴DF＝CE，AF＝DE；
在△ADG和△AFD中，
∴△ADG∽△AFD；
图①
【总结结论】__________________________________________________________________________________________________________________________;
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，AF、DE相交于点G.若AF⊥DE，则有CE＝DF，AF＝DE，△ADG∽△AFD
图①
活动二：
【类比探究】如图②，当点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上时，活动一中添加的条件是否仍然可以证明相应的结论？说明理由．
图②
仍然可以．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AGD＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°，
∵∠ADG＋∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，
∴在△ADF和△DCE中，
∴△ADF≌△DCE(ASA)，
∴DF＝CE，AF＝DE；
在△ADG和△AFD中，
∴△ADG∽△AFD；
图②
活动三：
【挖掘本质】
问题1：如图③当点E、F分别在BC、CD上运动，且CE＝DF，点G到哪条边中点的距离始终不变？为什么？
图③
解：点G到AD边中点的距离始终不变，
∵AF⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∴点G的运动轨迹是以AD中点为圆心，以AD为直径的一条 的圆弧上，
∴点G到AD的中点的距离始终不变．
问题2：根据点G的运动轨迹你能发现什么结论？
图③
解：点G的运动轨迹是以AD中点为圆心，以AD为直径的一条 圆弧．
活动四：
【知识迁移】运用所学的知识探究矩形中十字图形的特点
问题3：如图④，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，点E是AD上一点，且CE⊥BD，则CE与BD之间有什么数量关系？然后请证明．
图④
解：CE与BD之间的数量关系为：nCE＝mBD，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝∠CDE＝90°，
∴∠BDE＋∠BDC＝90°，
∵CE⊥BD，∴∠BDE＋∠DEC＝90°，
∴∠BDC＝∠CED，
∴△CDE∽△BCD，
又∵BC＝AD，
∴ .
∴nCE＝mBD.
图④
对接中考
1. 在正方形ABCD中，如图①，点E是AB边上的一个动点(点E与点A、B不重合)，连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F.
(1)求证：△ABF≌△BCE；
第1题图
(1)证明：∵BF⊥CE，
∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＋∠GBC＝90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AB，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴∠GBA＋∠GBC＝90°，∴∠GCB＝∠FBA，
在△ABF与△BCE中，
∴△BCE≌△ABF(ASA)；
第1题图
(2)如图②，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB＝2，求DG的长；
第1题图
(2)解：如图，过点D作DH⊥CE于点H，
H
∟
∵E为AB中点，AB＝2，
∴EB＝1，BC＝2，
∴CE＝ ，
在Rt△CEB中，由CE·BG＝EB·BC得
BG＝ ，∴CG＝ ，
∵∠DCE＋∠BCE＝∠BCE＋∠CBF＝90°，
∴∠DCE＝∠CBF，
又∵DC＝BC＝2，∠CHD＝∠CGB＝90°，
在△CHD与△BGC中，
∴△CHD≌△BGC(AAS)
∴CH＝BG＝ ，∴GH＝CG－CH＝ ，
第1题图
H
∟
∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，
在△DGH与△DCH中，
∴△DGH≌△DCH(SAS)，
∴DG＝DC＝2.
第1题图
H
∟
(3)如图③，在(2)的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD、BF于点M、N，求 的值．
第1题图
(3)解：设正方形ABCD的边长是m，则BE＝ ，
∴CE＝ m.
易得△BCG∽△ECB，
∴ .
∴CG＝ m.
如图，作DP⊥CG交CG于点P，
由(2)可得点P 是CG中点，
∴CP＝ CG＝ m，∴DP＝ m，
∴S△DCG＝ × m× m＝ m2.
第1题图
P
∟
又∵S△DCG＝ DG·CH，DG＝DC＝m.∴ CH＝ .
易得△CHG∽△CGN，△CDM∽△CHD，
∴ ，∴CN＝ ＝m，CM＝ .
∴MN＝CM－CN＝ ，NH＝CN－CH＝m－ ，
∴ .
第1题图
H
∟(共36张PPT)
函数微技能
一阶
微专题 运动产生的特殊三角形问题(含菱形)
例1 (1)如图①，线段AB与直线l交于点A，且AB不与直线l垂直，请在l上找一点P，使△ABP为等腰三角形，请在图中画出所有符合要求的点P，保留作图痕迹，不写作法．
例1题图①
考向一 运动产生的等腰三角形(含菱形)
【作法提示】①以点A为圆心，AB长为半径画圆，交直线l于P1，P2两点；②以点B为圆心，AB长为半径画圆，交直线l于点P3；③连接以上两圆的交点作AB的垂直平分线，直线与l的交点即为P4.
解：(1)如解图①，P1，P2，P3，P4即为所有满足要求的点．
例1题解图①
(2)如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，在x轴正半轴上有一点B，使△AOB为等腰三角形，且BA＝BO，则点B的坐标为________．
(3)如图③，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，0)，若在y轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则点C的坐标为______________．
例1题图③
( ，0)
(0，0)或(0，－2)
例1题图②
(4)如图④，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(4，0)，C(0，4)，点P是线段BC上一动点，当以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形时，则点P的坐标为__________________________．
例1题图④
(1，3)或 ( ， )
1. 确定点的位置：已知线段AB，在平面内找一点P，使得△ABP为等腰三角形，这样的点P位置有以下两种情况：
(1)以AB为腰：点P在分别以点A、B为圆心，AB长为半径的圆上，AB直线上的点除外；
(2)以AB为底：点P在AB的垂直平分线上，AB直线上的点除外．
满分技法
2. 求点P坐标的方法如下：
分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③BP＝AP列方程解出坐标．
设问突破
二阶
例2题图①
例2 如图，已知抛物线y＝－ x2＋ x＋2与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴与x轴交于点N.
(1)若y轴上一点D的坐标为(0， )，试判断△ABD的形状，并说明理由；
一题多设问
【思维教练】由于点A、B、D三点的坐标确定，
可根据勾股定理分别计算出三条线段的长，
进行比较分析即可．
解：(1)△ABD为等腰三角形．
理由如下：
∵A(－1，0)，B(3，0)，D(0， )，
∴AD＝ ＝2 ，BD＝ ＝4，AB＝3＋1＝4，
∴AB＝BD，
∴△ABD是等腰三角形；
例2题图①
(2)在抛物线上是否存在一点P，使得△PCO是以OC为底的等腰三角形，若存在，请你求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
例2题图②
【思维教练】由于点P在抛物线上，△PCO是以OC为底的等腰三角形，所以点P在OC的垂直平分线上，即点P的纵坐标为1，将y＝1代入抛物线表达式求解即可．
(2)存在．点P的横坐标为1＋ 或1－ ；
如解图，作CO的垂直平分线交抛物线于点P和点P′，交CO于点D.连接CP，OP，OP′，CP′，则△POC和△P′CO是以OC为底的等腰三角形．
令x＝0，则y＝2，
∴C(0，2)，∴OC＝2.
∵△COP是以CO为底的等腰三角形，C(0，2)，
∴CD＝DO＝1，
当y＝1时，－ x2＋ x＋2＝1，
例2题解图
解得x＝1＋ 或x＝1－ ，
∴点P的横坐标为1＋ ，点P′的横坐标为1－ .
即存在点P使得△PCO是以OC为底的等腰三角形，点P的横坐标为1＋ 或1－ .
例2题解图
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△BMQ是以BQ为腰的等腰三角形，若存在，请你求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
例2题图③
【思维教练】分BQ＝QM和BQ＝MB两种情况，利用点的坐标即可求解．
(3)存在．
∵y＝－ x2＋ x＋2，
∴抛物线对称轴为直线x＝－ ＝1，点B的坐标为(3，0)，M(1， )．
设点Q的坐标为 Q(1，t)，
∴BQ＝ ，QM＝| －t|，MB＝ ＝ .
∵△BMQ 是以 BQ 为腰的等腰三角形，
∴分两种情况讨论：
例2题图③
①当BQ＝QM时，即 | －t|，解得t＝ ，
此时点Q的坐标为(1 ， )；
②当BQ＝MB时，即＝ ，解得 t＝－ (t＝ 不符合题意，舍去)，
此时点 Q 的坐标为(1，－ )．
综上所述，点 Q 的坐标为(1, ) 或(1，－ )；
例2题图③
(4)在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形，若存在，请你求出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．
例2题图④
【思维教练】先设出点 E的坐标， 由于△ACE是等腰三角形，可分为三种情况讨论：①AE＝AC, ②AC＝CE，③AE＝CE，当AE＝AC时还要注意点E分别在点A的两侧两种情况．
(4)存在．点E的横坐标为 －1或－ －1或1或 .
∵点E在x轴上，
∴设点E的坐标为(m，0)．
由题意得点C的坐标为(0，2)，点A的坐标为(－1，0)，
∴AC＝ ，
∵△ACE是等腰三角形，∴分以下三种情况：
①当AE＝AC时，a.当点E在点A的右侧时，
∵AE＝AC＝ ，则EO＝ －1，
∴点E的横坐标为 －1；
b．当点E在点A的左侧时，
例2题图④
∵AE＝AC＝ ，则EO＝ ＋1，
∴点E的横坐标是－ －1；
②当AC＝CE时，
∵CO⊥AE，
∴点E在AO右侧的延长线上，且AO＝EO，
∴点E的横坐标为1；
③当AE＝CE时，则点E为AC的垂直平分线与x轴的交点．
∵AE＝1＋m，OE＝m，
例2题图④
∴AE2＝(1＋m)2.
∵点C的坐标为(0，2)，∴OC＝2.
在Rt△COE中，CE2＝OE2＋OC2，
∴CE2＝22＋m2.
∵CE＝AE，∴22＋m2＝(1＋m)2，解得m＝ .
∴点E的横坐标为 .
综上所述，点E的横坐标为 －1或－ －1或1或 .
例2题图④
考向二 运动产生的直角三角形问题
函数微技能
一阶
例3 (1)如图①，线段AB在直线l上方，在直线l上是否存在一点P，使△PAB是直角三角形？请在图中画出所有符合条件要求的点P，并说明画图依据；
例3题图①
解：(1)存在点P，使△PAB是直角三角形，如解图中点P1，P2，P3，P4即为满足条件的点P.
画图依据：①AB作为直角边：分别过点A，B作线段AB的垂线，交直线l于点P1，P2；②AB作为斜边：以AB为直径画圆，交直线l于点P3，P4，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形．
例3题解图
(2)如图②，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(3，0)，(0，4)．
点P为y轴上一点，使△PAB为直角三角形，求点P的坐标；
例3题图②
(2)设点P(0，p)，分两种情况讨论：
①当AB为直角边时，只存在点A为直角顶点的情况．
∵A(3，0)，B(0，4)，
∴AB2＝32＋42＝25，AP2＝32＋p2＝9＋p2，BP2＝(4－p)2.
根据勾股定理得AB2＋AP2＝BP2，
即25＋9＋p2＝(4－p)2，解得p＝－ .
∴P(0，－ )；
②当AB为斜边时，同理可得AB2＝AP2＋BP2，即25＝9＋p2＋(4－p)2，
解得p＝0或p＝4(不符合题意，舍去)，
∴P(0，0)．
综上所述，点P的坐标为(0，－ )或(0，0)．
例3题图②
(3)如图③，在平面直角坐标系中，已知点A(－5，0)，B(0，－5)，在直线x＝－3上取点C，使得△ABC为直角三角形，求满足条件的点C的坐标．
例3题图③
(3)∵点C在直线x＝－3上，
∴设C(－3，y)，
∵A(－5，0)，B(0，－5)，
∴AB2＝50，AC2＝4＋y2，
BC2＝9＋(y＋5)2＝y2＋10y＋34，
分三种情况讨论：
①当∠ACB＝90°时，则AB2＝AC2＋BC2，即50＝4＋y2＋y2＋10y＋34，解得y＝－6或y＝1，此时点C的坐标为(－3，－6)或(－3，1)；
②当∠ABC＝90°时，则AC2＝AB2＋BC2，即4＋y2＝50＋y2＋10y＋34，解得y＝－8，此时点C的坐标为(－3，－8)；
③当∠BAC＝90°时，则BC2＝AB2＋AC2，
即y2＋10y＋34＝50＋4＋y2，解得y＝2，
此时点C的坐标为(－3，2)．
综上所述，点C的坐标为(－3，－6)或(－3，1)
或(－3，－8)或(－3，2)．
例3题图③
满分技法
1. 确定点的位置：已知线段AB，在平面内找一点P，使△ABP为直角三角形，这样的点P位置有以下三种情况：
(1)以A为直角顶点，AB为直角边，点P在过点A与AB垂直的直线上；
(2)以B为直角顶点，AB为直角边，点P在过点B与AB垂直的直线上；
(3)以点P为直角顶点，AB为斜边，点P在以AB为直径的圆上．
2. 求点P坐标的方法如下：
分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2，②BP2＝AB2＋AP2，③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标．
满分技法
例4 如图，已知抛物线y＝ x2－ x－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，对称轴为直线l，顶点为M.
(1)若点P是y轴上一点，且∠PAC＝90°，求点P的坐标；
突破设问
二阶
一题多设问
例4题图①
【思维教练】当∠PAC＝90°时，易得∠PAO＝∠ACO，根据相等两角的正切值也相等求解即可．
解：(1)将y＝0代入y＝ x2－ x－2，解得x＝4或x＝－1.
∴A(－1，0)，B(4，0)．令x＝0.代入得点C(0，－2)，∴OA＝1，OC＝2.
如解图，过点A作AP⊥AC交y轴于点P.
∴∠PAO＋∠OAC＝90°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠PAO＝∠ACO，
∴tan∠PAO＝tan∠ACO＝ ，∴ ，
∵OA＝1，
∴PO＝ ，即点P的坐标为(0， )；
例4题解图
【思维教练】由于点G在x轴上，可知∠COG＝90°，要让它为等腰 直角三角形，则需要分为当点G在x正半轴和负半轴两种情况讨论.
例4题图②
(2)若点G是x轴上一点，当△OCG为等腰直角三角形时，求点G的坐标；
(2)由(1)可知，点C的坐标为(0，－2)．
∴OC＝2.
∵点G在x轴上，
∴当△OCG为等腰直角三角形时，分点G在x轴正半轴和负半轴两种情况讨论：
①当点G在x轴正半轴时，
∵OC＝OG，
∴OG＝2.
∴点G的坐标为(2，0)；
例4题图②
②当点G在x轴负半轴时，
∵OC＝OG，
∴OG＝2.
∴点G的坐标为(－2，0)．
∴当点G是x轴上一点，△OCG为等腰直角三角形时，
点G的坐标为(2，0)或(－2，0)；
例4题图②
(3)若点P是抛物线上一点，是否存在点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
例4题图③
【思维教练】因为△PBC是直角三角形，BC为直角边，则分点B、点C为直角顶点两种情况求解即可．
(3)存在，满足条件的点P的坐标为(－5，18)或(－1，0)．
设直线BC表达式为y＝kx＋b，将B(4，0)，C(0，－2)代入，
得 解得
∴直线 BC 的表达式为y＝ x－2，
∵BC是Rt△PBC 的直角边，
∴分两种情况讨论；
①当点 B 是直角顶点时，设 PB 所在直线的表达式为 y＝－2x＋n，
将点 B(4，0)代入，解得 n＝8，∴PB 所在直线的表达式为 y＝－2x＋8，
例4题图③
联立 ，即x2＋x－20＝0，
解得x＝4(舍去)或 x＝－5，此时点P(－5，18)；
②当点 C 是直角顶点时，设 PC 所在直线的表达式为 y＝－2x＋n，
将点 C(0，－2)代入，解得 n＝－2，
∴PC 所在直线的表达式为 y＝－2x－2，
联立 ，即 x2＋x＝0，
解得 x＝－1 或 x＝0(舍去)，此时点 P(－1，0)．
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(－5，18)或(－1，0)；
例4题图③
(4)若点N是对称轴l上一点，是否存在点N使得△NBC是直角三角形，若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
例4题图④
【思维教练】因为点N是对称轴l上一点，当△NBC是直角三角形时，需分∠NCB，∠NBC，∠BNC为直角三种情况进行讨论，进而求解．
(4)存在，由(1)得抛物线的对称轴 l：x＝－ ，
∵点N在对称轴l上，
∴设点 N 的坐标为( ，t)，则CN2＝( )2＋(2＋t)2，BN2＝(4－ )2＋t2，BC2＝20，
当△NBC是直角三角形时，分以下三种情况：
①当∠NCB＝90°时，NC2＋BC2＝NB2，
即( )2＋(2＋t)2＋20＝(4－ )2＋t2，解得t＝－5；
例4题图④
②当∠NBC＝90°时，NB2＋BC2＝NC2，
即(4－ )2＋t2＋20＝( )2＋(2＋t)2，解得t＝5；
③当∠BNC＝90°时，NB2＋NC2＝BC2，
即(4－ )2＋t2＋( )2＋(2＋t)2＝20，解得t＝ 或t＝ .
综上所述，当△NBC 是直角三角形时，点 N 的坐标为( ，－5)或
( ，5)或( ， )或( ， )．
例4题图④(共32张PPT)
微专题 辅助圆问题
模型一 定点定长作圆
如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分．
满分技法
模型分析
推广：在折叠问题中，有时会利用“定点定长作圆”确定动点的运动轨迹．
模型应用
1．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A(2，3)，P是x轴上一点，若△OPA是以OA为腰的等腰三角形，则满足条件的点P有___个．
3
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD.设∠ABC＝α，则∠ADC＝________(用含α的代数式表示)．
第2题图
3. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的角平分线，将△ABD绕点A逆时针旋转，使得边AB与边AC重合，点D的对应点为D′，则点D运动的路径长为________
第3题图
2π
4. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．D运动的路径长为
第4题图
解：点A′的运动轨迹如图所示．
模型二 点圆最值
模型分析
平面内一定点D和⊙O上一动点E的所有连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大(小)值．具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r)：
位置关系
点D在⊙O内
点D在⊙O上
点D在⊙O外
DE的最大值
此时点E的位置
DE的最小值
此时点E的位置
图示
d＋r
2r
d＋r
连接DO并延长交⊙O于点E
r－d
0
d－r
连接OD并延长交⊙O于点E
点E与点D重合
连接OD交⊙O于点E
模型应用
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，若圆心O在矩形ABCD的边上运动，则点C到⊙O上的点的距离的最大值为________．
第5题图
6
6. 如图，在墙角放置一个“T”型钢尺，已知钢尺的一边AB＝10，M是AB的中点，CM＝8，AB沿墙壁边向下滑动，在运动过程中，点C到点O的最大距离为________．
第6题图
13
7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC的中点，以D为圆心，BD长为半径作⊙D，E是⊙D上一点，连接AE，若AB＝8，BC＝6，则线段AE的最小值为________．
第7题图
8.如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为________．
第8题图
模型三 线圆最值
模型分析
已知⊙O及直线l，⊙O的半径为r，圆心O到直线l之间的距离为d，点Q为⊙O上一动点.
位置关系 直线与⊙O相离 直线与⊙O相切 直线与⊙O相交
图示
点Q到直线l距离的最大值 d＋r 2r d＋r
此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线，其反向延长线与⊙O的交点即为点Q 点Q到直线l距离的最小值 d－r 0 0
此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线，与⊙O的交点即为点Q ⊙O与直线l的交点即为点Q 模型应用
9. 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一动点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，则△ABC的面积的最大值为________．
第9题图
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，M为AB的中点，E为BC上的动点，将△MBE沿ME折叠，点B的对应点为点F，则△CDF面积的最小值为_________．
第10题图
35
11. 如图，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，半径为1的⊙O在斜边AC上滚动，点D是⊙O上一点，则四边形ABCD的最大面积为________．
第11题图
模型四 定弦对定角
模型分析
如图①，在△ABC中，AB的长为定值，∠C＝α为定角度，我们称该模型为定弦定角模型．
图①
问题：探究点C的轨迹．
(1)如图②，当∠C<90°时，点C在优弧 上运动(不与点A、B重合)．
图②
结论：∠AOB＝2∠C.
(2)如图③，当∠C＝90°时，点C在⊙O上运动(不与点A、B重合)．
图③
结论：弦AB为⊙O的直径．
(3)如图④，当∠C>90°时，点C在劣弧 上运动(不与点A、B重合)．
图④
结论： ∠AOB＋∠ACB＝180°.
模型应用
12. 如图，已知四边形ABCD.请按下列要求作图．
(1)如图①，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所有点P；
P1
P2
O
解：(1)如图①，点P1、P2即为所求(作OA＝OB＝AB，则∠AOB＝2∠APB＝60°)；
第12题图①
(2)如图②，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠DPC＝45°的所有点P.
(2)如图②，点P1、P2即为所求(作CD的垂直平分线，与CD交于点M，以M为圆心，MC长为半径作弧交垂直平分线于点O，OD＝OC，且∠DOC＝2∠DPC＝90°)；
P2
P1
O
M
第12题图②
(3)如图③，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的所有点P；
(3)如图③，点P1、P2、P3、P4即为所求(分别以B、C为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，作BC与MC的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，OB为半径作圆即可OB＝OC，且∠BOC＝2∠BPC＝120°)；
第12题图③
第12题解图③
(4)如图④，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.
(4)如图④，点P1、P2即为所求(以 BC中点为圆心，BC长为半径作圆)．
P1
P2
第12题图④
13. 在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°，则△ABC面积的最大值为________．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝8，点D在△ABC内部，且∠DAB＝∠DBC，连接CD，则CD的最小值为________．
第14题图
4
15. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠C＝60°，E，F分别是边BC，DC上的点，且BE＝CF，BF，DE相交于点P，连接AP，则AP的最大值为________．
第15题图
模型五 定角定高(探照灯模型)
模型分析
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，其中∠BAC＝α为定角度，AD＝h为定值，我们称该模型为定角定高模型．
问题：随着点A的运动，探究BC的最小值(△ABC面积的最小值)．
(1)当∠BAC＝90°时(如图①)：
第一步：作△ABC的外接圆⊙O；
第二步：连接OA；
第三步：由图知AO≥AD，当AO＝AD时，BC取得最小值．
图①
(2)当∠BAC<90°时(如图②)：
第一步：作△ABC的外接圆⊙O；
第二步：连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E；
第三步：由图知AO＋OE≥AD，当AO＋OE＝AD(或h)时，BC取得最小值．那么∠BAC>90°呢？
图②
模型应用
16. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，高AD＝4，则线段BC的最小值为________，△ABC面积的最小值为________．
第16题图
8
16
17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点P在边AD上，且∠BPC＝45°，则矩形ABCD面积的最小值为_________．
第17题图(共22张PPT)
满分技法
方法解读
已知，点D为等腰△ABC底边BC的中点．
【结论】AD⊥BC；AD平分∠BAC.
微专题 遇到中点如何添加辅助线
方法一 遇到中点,考虑构造中线
【结论】CD＝ AB；△ACD和△BCD都是等腰三角形.
已知，Rt△ABC，∠C＝90°，点D为AB的中点．
方法应用
情形1：遇等腰三角形底边上中点时，考虑作底边上的中线．
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2 ，D为BC的中点，则AB的长度为________．
第1题图
2
满分技法
情形2：遇直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线．
2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，点E、F分别为AB、BC边上的两点，且DE⊥DF，连接EF，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
∵D是AC的中点，且△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C＝45°，
BD＝AD＝CD，BD⊥AC.
∴∠FDB＋∠CDF＝90°
第2题图
解：如图，连接BD.
满分技法
又∵DE⊥DF，
∴∠EDB＋∠FDB＝90°，
∴∠EDB＝∠FDC.
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(ASA)，
∴BE＝CF.
∵AB＝BC，BE＝CF＝3，
第2题图
满分技法
∴AE＝BF＝4.
∴在Rt△BEF中，EF＝ ＝5.
第2题图
满分技法
方法解读
已知点D，E分别为AB，AC的中点．
【结论】DE∥BC；DE＝ BC；△ADE∽△ABC.
方法二 遇到中点，考虑构造中位线
【结论】AE＝CE；DE＝ BC；△ADE∽△ABC.
已知点D为AB的中点．
【结论】BD＝AD；DC＝AF；△BDC∽△BAF.
已知CD为△ABC的中线．
满分技法
方法应用
情形1：图形中出现两个及以上的中点时，考虑连接两个中点构造中位线．
3. 如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为________．
第3题图
满分技法
情形2：图形中出现中点时，考虑过中点作另一边的平行线构造中位线．
4. 如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，求PG的长．
第4题图
O
H
解：如图，延长GE交AB于点O，过点P作PH⊥OE于点H，
则PH∥AB.
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH＝ OA＝ (3－1)＝1.
满分技法
∵在Rt△AOE中，∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，
同理在△PHE中，HE＝PH＝1.
∴HG＝HE＋EG＝1＋1＝2，
∴在Rt△PHG中，PG＝ ＝ ＝ .
第4题图
O
H
情形3：图中出现中点时，考虑过顶点作过中点线段的平行线构造中位线．
5. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝ CD，F是AD的中点，若BF＝2，则AC的长为________．
第5题图
4
方法解读
方法1：倍长中线
在△ABC中，AD是BC边上的中线．
【结论】△ACD △EBD；△ABD △ECD；四边形ABEC是平行四边形．
≌
≌
方法三 遇到中点，考虑构造倍长中线
方法2：倍长类中线
在△ABC中，D是边BC的中点，点E是AB上一点，连接DE.
辅助线作法一：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF.
辅助线作法二：过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
【结论】△BDE △CDF.
【用途】构造全等三角形，得到线段间的数量关系
≌
方法应用
6. 已知，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，且AF＝EF，求证：AC＝BE.
第6题图
证法一：
证明：证法一：如图，延长AD至点G，使AD＝DG，连接BG，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
在△ACD和△GBD中，
∴△ACD≌△GBD(SAS)，
∴BG＝AC，∠CAD＝∠BGD.
G
第6题图
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠BEG＝∠BGD，
∴BE＝BG，
∴AC＝BE；
G
第6题图
证法二：
证法二：如图，延长ED至点H，使得DH＝DE，连接CH，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDH中，
∴△BDE≌△CDH(SAS)，
∴BE＝CH，∠BED＝∠H.
H
第6题图
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠EAF＝∠H，
∴AC＝CH，即AC＝BE.
H
第6题图
7. 在△ABC中，已知D为BC的中点，∠BAD＝∠CAD.求证：AB＝AC .
第7题图
证明：如图，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC＝EB，∠CAD＝∠BED，
E
又∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠BED，
∴AB＝EB，
∴AB＝AC.
第7题图
E(共16张PPT)
微专题 反比例函数中的面积问题
类型一 边与坐标轴平行或重合
情形1 一个k
方法解读
图形示例 面积计算
S△APC＝ |xA|·|yA|＝ |xAyA|＝ |k|
图形示例 面积计算
S△ABC＝ |xA－xB|·|yA|＝ ×2|xA|·|yA|＝|xAyA|＝|k|
S△APP′＝ |xP－xP′|·|yP－yP′|＝ ×2|xP|×2|yP|＝2|k|
方法应用
1. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，过点A作y轴的垂线交y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是( )
A.
B. 1
C.
D. 2
第1题图
D
2. 如图，正比例函数y＝－x与反比例函数y＝ 的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，当四边形ABCD的面积为6时，则k的值为( )
A. －6
B. 6
C. －3
D. 3
第2题图
C
方法解读
图形示例 面积计算
S阴影＝S△AOB－S△AOD＝ |k1|－ |k2|
过点D作DF⊥x轴于点F，则S阴影＝S矩形OABC－S矩形OFDC－S四边形AEDF
情形2 两个k且k的符号相同
方法应用
3. 如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A在反比例函数y＝
(x＞0)的图象上，顶点B在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，点C在x轴的正半轴上，若S OABC＝4，则k＝________．
第3题图
5
4. 如图，点A是反比例函数y＝ (x>0)的图象上一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，线段AB交反比例函数y＝ (x>0)的图象于点C，点P是y轴上一点，若△ACP的面积为2，则k的值为____．
第4题图
4
5. 如图，设点P在反比例函数y＝ (x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝ 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝ 的图象于点B，则四边形PAOB的面积为________．
第5题图
4
方法解读
图形示例 面积计算
S阴影＝
情形3 两个k且k的符号不同
方法应用
6. 如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝ (x＞0)，y＝－ (x＞0)的图象交于A点和B点，若C为y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为________.
第6题图
7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC⊥y轴于点D，点B在双曲线y＝ (x＜0)上，点C在双曲线y＝ (x＞0)上，若△ABC的面积为9，OD＝2AO，则k＝________.
第7题图
－4
满分技法
类型二 边不与坐标轴平行或重合
方法解读
图形示例 面积计算
S△ABC＝S△ACD＋S△ABD＝ AD·|yC|＋ AD·|yB|
＝ AD·|yC－yB|
S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝ CD·|xB|＋ CD·|xA|
＝ CD·|xB－xA|
方法一：直接和差法
1. S△AOB＝S△AOC＋S△BOC
2. S△AOB＝S△AOD＋S△BOD
方法二：间接和差法
S△AOB＝S△ABN－S△AOE－S△BOF－S矩形OENF
方法一：构造一边与坐标轴重合的三角形
1. S△AOB＝S△BOE－S△AOE
2. S△AOB＝S△AOF－S△BOF
方法二：构造一边与坐标轴平行的三角形
1. S△AOB＝S△ABC＋S△BOC
2. S△AOB＝S△ABD＋S△AOD
方法应用
8. 如图，已知直线y＝－x＋2与反比例函数y＝ 的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，若△AOB的面积为4，则k的值为( )
A. －3
B. －2
C. －1
D. 3
第8题图
A
9. 如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点，与坐标轴分别交于M，N两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为( )
A. 3
B. 6
C. 8
D. 12
第9题图
C
10. 如图， 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(3，0)，以AB为斜边向外侧作等腰直角三角形ABC，点C恰好在反比例函数y＝ (k>0)的图象上，则k的值为________．
第10题图
4(共21张PPT)
微专题 几何图形中的折叠问题
与折叠有关的计算常用性质：
(1)折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形;
①线段相等:ED'= ,EG= ,FD'= ;
②角度相等:∠D'= ,∠D'EG= ,∠D'FG= ;
③全等关系:四边形FD'EG≌ ;
方法解读
AD
AG
FD
∠D
∠DAG
∠DFG
四边形FDAG
(2)折痕可看做垂直平分线:GF⊥ (折痕垂直平分连接两个对应点的连线);
(3)折痕可看做角平分线:∠EGF= (对称线段所在的直线与折痕的夹角相等); 以矩形折叠为例,常见的折叠方式有以下几种:
AE
∠AGF
模型分析
基本折法:如图,点P是矩形ABCD边AD上一点,当点P与点D重合时,将 △ABP沿BP折叠得到△EBP,BE交CD于点H .
特殊结论:△BCH≌△DEH,PH=BH,DE2+EH2=DH2.
类型一 折痕过对角线
模型应用
1.如图,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18,将矩形沿对角线AC折叠,则
(1)BE的长为 ;
(2)△CD'E的面积为 .
第1题图
5
30
模型分析
基本折法:如图①,点P是矩形ABCD边AD上一点,将△ABP沿BP折叠得到 △EBP,点E恰好在CD边上.
特殊结论:图①:一线三垂直,△PDE∽△ECB,(AD-PD)2+BE2=BP2;
图①
类型二 折痕过一顶点
拓展折法:
特殊结论:图②:△PDE∽△DBC,△PDE∽△BDA;图③:△PDF∽△GEF ∽△GCB
图②
图③
模型应用
2. 已知矩形ABCD,AB=6,AD=8,点E是BC上一点,P是CD上一点.
(1)如图①,将△DCE沿DE折叠得到△DC'E,若点C'恰好落在对角线BD上,求CE的长;
第2题图①
解法一:勾股定理
解：设CE＝x，则C′E＝x，BE＝8－x
BD＝ ＝10，BC′＝DB－DC′＝10－6＝4，
在Rt△BEC′中，由勾股定理得，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，
则CE的长为3；
第2题图①
解法二:相似
解：在△EC′B与△DCB中，
∠EC′B＝∠DCB，∠DBC＝∠EBC′，
∴△EC′B∽△DCB，
设EC＝x，
∴ ，即 ，解得x＝3，
则CE的长为3；
第1题图①
解法三:等面积法
解：设CE＝x，则EC′＝x，BE＝8－x，BD＝ ＝10
S△DEB＝ ×BD×EC′＝ ×BE×DC，
即 ×10×x＝ (8－x)×6，解得x＝3，
则CE的长为3.
第2题图①
(2)如图②,将△DCE沿DE折叠得到△DC'E,连接BC',CC'交DE于点G,若 点E为BC的中点,则BC'的长为 ;
第2题图②
第2题图③
(3)如图③,将△DCE沿DE折叠得到△DC'E,若A、C'、E三点共线,则CE 的长为 ;
(4)如图④,将△PBC沿PB折叠得到△PBC',若点C落在AD上的点C'处, 连接CC',则CC'的长为 ;
第2题图④
(5)如图⑤,F为线段AB上一点,将矩形ABCD沿DF翻折,点B、C的对应点 分别为点B'、C'.若B'C'恰好经过点A,连接C'F,则线段BF的长为 ;
第2题图⑤
(6)如图⑥,将△CBP沿BP翻折至△C'BP,BC'交AD于点M,PC'交AD于点N,若NC'=ND,则CP的长为 .
第2题图⑥
模型分析
基本折法:如图④,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,沿EF将四边形ABFE折叠得到四边形A'B'FE,点B'恰好落在AD边上.
图④
类型三 折痕过两边
图⑤
拓展折法:如图⑤,当点B'恰好在CD边上时,设A'B'交AD于点P.
特殊结论:图④,连接 BE,△ABE≌△A'B'E;过点E作EG⊥BC,连接BB', 则△EFG∽△BB'C;四边形BEB'F为菱形;图⑤,过点E作EG⊥BC,则△EFG∽△BB'C;△A'EP∽△DB'P∽△CFB'.
模型应用
3.在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点E、P分别在线段BC、AD上,将矩形AB-CD沿直线PE折叠.
(1)如图①,若B'E与AD交于点G,且∠CEG=62°,则∠BEP= ;
第3题图①
59°
(2)如图②,若顶点B恰好落在顶点D处,则折痕PE的长为 ;
第3题图②
(3)如图③,若点B恰好落在CD边中点B'处,则折痕PE的长为 ;
第3题图③
(4)如图④,若AP= PD,点B恰好落在AD边上的点B'处,则cos∠PB'E的值为 .
第3题图④