贵州省黔东南苗族侗族自治州凯里市第三中学2023-2024学年度七年级下册数学第九章（不等式与不等式组）单元测试卷（含解析）

人教版七年级下册数学单元测试卷
第九章 不等式与不等式组
（本试卷三个大题，25个小题。满分150分，考试时间120分钟。）
姓名 班级 学号 成绩
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；每个小题只有一项符合题意。）
1．若m＞n，则下列不等式成立的是（ ）
A．m﹣7＜n﹣7 B．3m＜3n C．﹣5m＞﹣5n D．
2．不等式的负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3．已知，则化简代数式的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．实数在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
5．已知a＜b，则下列结论不一定正确的是(　 　)
A．< B．< C．若c＞0，则> D．>
6．如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（　 　）
A．x≥1 B．x＞﹣2 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2＜x≤1
7．若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是（ ）
A．58．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1
9．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．解不等式组： （ ）
A．或且 B．或且
C．且 D．且
11．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若，则．如，，下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是；④当，m为非负整数时，有；其中正确的个数有____个．
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
12．油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中．汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油．某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：
油电混动汽车 普通汽车
购买价格 17.48 15.98
每百公里燃油成本（元） 31 46
某人计划购入一辆上述品牌的汽车．他估算了未来10年的用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本．则他在估算时，预计平均每年行驶的公里数至少为（　 　）
A．5000 B．10000 C．15000 D．20000
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．已知实数a，b，c，若，则 ．（填“”“”或“”）
14．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
15．已知不等式组：，若要使不等式组一定有整数解，则的取值范围是 ．
16．已知不等式组的解集为，则的值为
三、解答题（本题共9个小题，共98分。）
17．（10分）解不等式组
(1) (2)
18．（8分）某商场花82000元购进了一批衣服，每件零售价为160元时，卖出了250件，但发现销售量不大，营业部决定每件降价20元销售，则商场至少要再出售多少件后才能收回成本？
19．（10分）已知关于、的方程组
（1）若是方程组的解时，求的值； （5分）
（2）当时，若方程组的解满足为非正数，为负数，化简：． （5分）
20．（10分）小聪用元钱去购买笔记本和钢笔．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元．
(1)若小聪已经购买了支钢笔，问最多还能买几本笔记本？（5分）
(2)若小聪想购买笔记本和钢笔共件，问最多能买几支钢笔？ （5分）
21．（12分）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：．
（1）当时，请写出此时m，n的关系，并说明理由； （6分）
（2）若的值小于1，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． （6分）
22．（12分） （1）解不等式： （6分）
（2）如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，DF∥AC，求证：∠C=∠D． （6分）

23．（12分）某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元.，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利120元．
（1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）
（6分）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？（6分）
24．（12分）关于的二元一次方程组（是常数），．
（1）当时，求c的值． （4分）
（2）当时，求满足的方程的整数解．（4分）
（3）若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解．（4分）
25．（12分）为了降低海岛生态旅游区的空气污染，区公交公司决定将148路公交车部分更换节能环保的电动公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)A型和B型两种公交车的单价分别是多少万元辆？（6分）
(2)如果每辆A型和B型公交车的年载客量分别为60万人次/年，100万人/次年，该公司购买的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年载客总和不少于680万人次．请求出所有可能购车方案．（6分）试卷第1页，共3页
七年级下册 数学单元测试卷 第 7 页，共 7 页
参考答案：
1．D
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】A. ∵m＞n，∴m-7>n-7，故不符合题意；
B. ∵m＞n，∴3m>3n，故不符合题意；
C. ∵m＞n，∴-5m<-5n，故不符合题意；
D. ∵m＞n，∴，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2．A
【详解】试题分析：∵
去分母得：x-7+2＜3x-2
解得：x＞-1.5
∴不等式的负整数解为：-1.
故选A.
考点：不等式的整数解.
3．A
【分析】由于﹣1≤x≤2，根据不等式性质可得：x﹣3＜0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．
【详解】解：∵﹣1≤x≤2，
∴x﹣3＜0，x+1≥0，
∴=（3﹣x）﹣2（x+1）＝﹣3x+1；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值定义和性质，整数加减运算等，熟练掌握并运用绝对值性质化简是解题关键．
4．D
【分析】先判断，再根据不等式的基本性质可得答案．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，，，故A，B，C不符合题意；
∵，，
∴，故D不一定正确，符合题意，
故选D
【点睛】本题考查了不等式的性质，利用数轴比较有理数的大小，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
5．A
【详解】分析：本题考查不等式的基本性质.
解析：A选项＜0，得 ＞0 ，当＜0时不成立， 故A错误；B选项根据不等式的基本性质1得出，故B正确；C选项根据不等式的基本性质2得出， < ，故C正确；D选项，根据不等式的基本性质3得出，>，故D正确.
故选A.
6．A
【分析】根据数轴表示的不等式解集得出答案即可．
【详解】解：从数轴可知：这个不等式组的解集是x≥1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握用数轴表示不等式的解集的相关知识.
7．B
【分析】表示出不等式组的解集，由整数解有2个，确定出m的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得：，即2＜x＜m，
所以不等式组的整数解有2个整数解为3，4，
则m的范围为4＜m≤5．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
8．C
【详解】解：根据不等式解集的表示方法即可判断．该不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．
故选：C
9．B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了结合不等式组无解可得答案．
【详解】解：解不等式，得：，
不等式组无解，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
10．C
【分析】分别解不等式，再求不等式的公共部分即可．
【详解】，
解①得，，
解②得，，
解③得，且，
∴不等式组的解集为且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解不等式组，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题的关键．
11．C
【分析】对于①可直接判断，②可用举反例法判断，③、④根据题意所述利用不等式判断．
【详解】解：①，故①符合题意；
②，例如当时，，，故②不符合题意；
③若，则，解得：，故③符合题意；
④为非负整数，故，故④符合题意；
综上可得：正确的有3个．
故选C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．
12．B
【详解】分析：
设预计平均每年行驶x公里，根据已知条件分别列出两种汽车10年的用车成本，再根据“选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本”列出不等式进行解答即可.
详解：
设平均每年行驶的公里数至少为x公里，根据题意得：
174800+x×10≤159800+x×10，
解得：x≥10000，即预计平均每年行驶的公里数至少为10000公里．
故选B.
点睛：本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语句，弄清各数量间的关系，列出不等式；同时注意每百公里燃油成本是31元，不是一公里是31元．
13．
【分析】本题考查了不等式的性质：在不等号两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不改变不等号的方向，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
14．
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，在解不等式时要根据不等式的基本性质．首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式共有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组解得m的范围．
【详解】解：解不等式得：，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
15．k≤1
【分析】由x＞-1，x＜1可得在-1＜x＜1时有整数解0，根据不等式解集大小小大中间找可得1-k≥0，解关于k的不等式即可得答案．
【详解】∵x＞-1，x＜1，
∴在-1＜x＜1时，有整数解0，
∵不等式组一定有整数解，
∴1-k≥0，
解得：k≤1，
故答案为：k≤1
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是熟练掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
16．1
【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，，即可求出a，b的值，最后再代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集为，
，，
，，
，
故答案为：1．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）解：，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为：；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
18．商场至少要再出售300件后才能收回成本.
【详解】试题分析：设商场至少要再出售x件后才可收回成本，根据题意可知：前250件售价+再售出售价≥82000，列出不等式求出x的值即可．
试题解析：设商场要再出售x 件才能收回成本，
根据题意得，，
解得.
答：商场至少要再出售300件后才能收回成本.
点睛：本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找到关键语句，找到题中的不等量关系列出不等式.
19．（1）1；（2）
【分析】（1）把代入即可求解；
（2）先求出方程组的解，根据题意得出关于m的不等式组，求出m的取值范围，再去掉绝对值符号，即可求出答案．
【详解】解：（1）把代入得3m + n =2-1=1；
（2）把n＝ 2代入方程组得：，
解方程组得： ，
∵方程组的解满足x为非正数，y为负数，
∴，
解得： 1＜m≤，
∴|m 3| |m＋2|
＝3 m （m＋2）
＝3 m m 2
＝1 2m．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，绝对值，解一元一次不等式组，二元一次方程组的解等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
20．(1)小聪最多还能买本笔记本
(2)最多能买支钢笔
【分析】（1）本题考查不等式应用，根据题意利用费用不超元列不等式求解即可得到答案；
（2）本题考查不等式应用，根据题意利用费用不超元列不等式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设小聪还能买x本笔记本，由题意得，
，
解得：，
∴小聪最多还能买本笔记本，
答：小聪最多还能买本笔记本；
（2）解：设小聪想购买钢笔m支，则购买笔记本本，
由题意得：，
解得：，
答：最多能买支钢笔．
21．（1），理由见解析；（2），图见解析
【分析】（1）直接利用有求出即可；
（2）直接利用有列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）．理由如下：
∵由题意知，
，
．
（2）由题意知，
解得．
在数轴上表示如下：
【点睛】本题考查了解一元一次方程与一元一次不等式，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键．
22．（1）x≥2；（2）证明见解析．
【分析】（1）先去分母，根据不等式的性质解不等式即可；
（2）根据已知得到∠3=∠4，证得BD∥CE，根据平行线的性质得到∠DBA=∠C，再证∠D=∠DBA，即可得到结论.
【详解】（1）解：不等式两边同时乘以12得：4（2x-1）≤3（3x+2）-1×12，
去括号得：8x-4≤9x+6-12，
移项得：8x-9x≤6-12+4，
合并同类项得：-x≤-2，
系数化为1得：x≥2，
即不等式的解集为：x≥2，
（2）证明：∵∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
∴BD∥CE，
∴∠DBA=∠C，
∵DF∥AC，
∴∠D=∠DBA，
∴∠C=∠D．
【点睛】此题考查解不等式，平行线的判定及性质，对顶角的性质，利用对顶角相等证得BD∥CE是解题的关键.
23．（1）A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元；（2）最少需要购进A型号计算器30台．
【分析】（1）首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可．
【详解】解：（1）设A型号计算器售价为元，B型号计算器售价为元
由题意可得:
解得:
答：A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元．
（2）设购进A型号计算器台，则B型号计算器（70-a）台
由题意可得： 30a+40（70-a）≤2500
解得：a≥30
答：最少需要购进A型号计算器30台．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解答此题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程；还考查了不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
24．（1）；（2），；（3）证明见解析．
【分析】（1）由题意，得，解得代入已知式可得，代入即可求得；
（2）当时，方程为，即x+3y=5，根据方程和解的范围即可求得；
（3）由题意，得，x、y均为正整数，则，a是正整数，则y-2是负整数，从而求得y=1，把y=1代入①得，ax=1，即可求得a=1，此时方程的正整数解是x=1，y=1．
【详解】解：（1），
，
，
将代入上式得，
解得，
．
（2）当时，，
原方程为，
即，
∴，
又∵，
，，．
（3），
，
整理得，
两边同时除以a得，
整理得，
是正整数，
，
，
，
即，
是正整数，
，
代入方程得，
则，
是正整数，a是正整数，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．
25．(1)购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元
(2)有三种购车方案：①购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆
【分析】（1）根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元” 列出方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元” 和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
【详解】（1）设A型和B型两种公交车的单价分别是x万元和y万元， 由题意得：
，
解这个方程组得：，
答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元；
（2）设购买A型公交车a辆，购买B型公交车辆， 由题意得：
，
解得：，
有三种购车方案：①购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
②购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；
③购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆．
【点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
答案第1页，共2页
答案 第 1 页，共 2 页