14.4 全等三角形的判定的综合（第6课时）（教学课件）-七年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

(共28张PPT)
14.4 全等三角形的判定的综合（3）
2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件
主讲典例解题方法：
模型介绍：倍长中线法
模型介绍：手拉手模型
模型介绍：夹角模型
例题11 如图，根据六年级第二学期学过的用直尺圆规作角的
平分线的方法，画出了∠AOB的平分线,请说明这种方法正确
的理由.
A
0
B
解： 联结 CD、CE.
在△OCD和△OCE中
OD=OE(所作)
DC=EC(画弧时所取的半径相等)
OC=OC(公共边).
所以△OCD≌△OCE(S.S.S)
得∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等)
即OC是∠AOB的平分线
A
0
B
C
D
例题12 已知AD⊥AB，AE⊥AC，AD⊥AC，AD=AB，AE=AC，
那么DC与BE相等吗 为什么
解: 因为AD⊥AB,AE⊥AC(已知)，
所以 ∠DAB=∠EAC=90°(垂直的意义),
得∠DAB-∠BAC=∠EAC-∠BAC(等式性质)
即∠DAC=∠BAE.
在△ADC与△ABE 中，
AD=AB(已知)
∠DAC=∠BAE，
AC=AE(已知)
所以 △ADC≌△ABE(S.A.S)
因此 DC=BE(全等三角形的对应边相等)
A
B
C
D
E
模型介绍：夹角模型
模型介绍：倍长中线模型
例题13 如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB=4，AC=3，求AD的取值范围．
解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．
因为AD是BC边上的中线(已知)，
所以BD=CD ．
(三角形中线的定义)
在△ABD和△ECD中，
AD=DE(作图)
∠ADB=∠EDC
BD=CD
所以△ABD≌△ECD (SAS)，
所以AB=EC (全等三角形的对应边相等)．
B
C
D
A
E
模型介绍：倍长中线模型
例题13 如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB=4，AC=3，求AD的取值范围．
因为AB=4(已知)，
所以CE=4(等量代换)．
在△ACE中，EC-AC＜AE＜AC+CE (三角形三边关系)，
而AC=3(已知)，
所以1＜AE＜7．
因为AE=AD+DE，且AD=DE，
B
C
D
A
E
所以 ＜AD＜ .
模型介绍：手拉手模型
例题14 如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)求证：AE=CD；
(2)求证：AE⊥CD；
B
E
D
C
A
证明：∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
AB=CB
∠ABE=∠CBD
BE=BD
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD．
模型介绍：手拉手模型
例题14 如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(2)求证：AE⊥CD；
B
E
D
C
A
证明：∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠NMC=180°-∠BCD-∠CNM，∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB，
又∠CNM=∠ANB，
∵∠ABC=90°，
∴∠NMC=90°，
∴AE⊥CD．
1.如图，已知∠1=∠2，∠BAD=∠BCD，则下列结论：①AB∥CD，②AD∥BC，③∠B=∠D，④∠D=∠ACB，正确的有( ____ )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∴①正确；
C
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠2，
即∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC，
∴②正确；
∴∠D+∠DAB=∠B+∠DAB=180°，
∴∠B=∠D，
∴③正确；
只有当AB=AC时才会有∠B=∠ACB=∠D，
∴④不正确；
综上可知正确的有三个，
故选：C．
2.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有( ____ )
A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
【解析】解：由平行四边形的性质可知：
△ABD≌△CDB，△ABO≌△CDO，△ADE≌△CBF，△AOE≌△COF，
△AOD≌△COB，△ABC≌△CDA，△ABE和△CDF
C
故选：C．
3.下列说法中：
①如果两个三角形可以依据“ASA”来判定全等，那么一定也可以依据“AAS”来判定它们全等；
②如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形也一定全等；
③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对角对应相等．
正确的是( ____ )
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.①②③
A
【解析】解：①如果两个三角形可以依据“ASA”来判定全等，那么一定也可以依据“AAS”来判定它们全等，
根据三角形内角和定理可知，本小题说法正确；
②如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形也一定全等，
根据全等三角形是能够完全重合的三角形可知，本小题说法正确；
③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等，本小题说法错误；
故选：A．
4.如图，A、C、D、B四点共线，AC=BD，∠A=∠B，∠E=∠F，图中全等三角形有( ____ )
对．
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】解：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC，
又∵∠A=∠B，∠E=∠F，
B
∴△ADE≌△BDF(AAS)①
∴∠ADE=∠BCF，∠PCA=∠QBD
∴△APC≌△BQD(ASA)②
∴AP=BQ
∵∠A=∠B
∴AM=BM
∴PM=QM
可证△ADE≌△BCF(AAS)③．
故有三对全等三角形，
故选：B．
5.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=4，AC=6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．
(1)求证：△ADC≌△EDB．
证明：∵延长AD到点E，使DE=AD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED(已作)，
∠ADC=∠EDB( _____________ )，
CD=BD(中点定义)，
∴△ADC≌△EDB( _____ )．
(2)探究得出AD的取值范围是 _________ ．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
(3)如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=4，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=8，且∠ADE=90°，求AE的长．
对顶角相等
SAS
1＜AD＜5
【解析】(1)证明：延长AD到点E，使DE=AD，则AE=2AD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
故答案为：对顶角相等，SAS；
(2)解：∵△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，
在△ABE中，BE-AB＜AE＜BE+AB，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
(3)解：如图2，延长AD交EC的延长线于F，
___
∵∠B=90°，EF⊥BC，
∴∠ABD=∠FCD=90°，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD(ASA)，
∴CF=AB=4，AD=DF，
∵∠ADE=90°，
∴DE⊥AF，
∴AE=EF，
∵EF=CE+CF=8+4=12，
∴AE=12．
6.如图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．
(1)求证：AB∥CD；
(2)直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，试判断OE与OF是否相等，并说明理由．
【解析】(1)证明：在△OAB与△OCD中，
，
∴△OAB≌△OCD(SAS)，
∴∠A=∠C，
∴AB∥CD；
(2)解：OE=OF，理由如下：
由(1)知，△OAB≌△OCD，
∴∠B=∠D，OB=OD，
在△EOB与△FOD中
，
∴△EOB≌△FOD(ASA)，
∴OE=OF．
7.如图，已知△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，试说明AD=A'D′的理由．_______
【解析】证明：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B′C′，
∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴BD= BC，B′D′= B′C′，
∵BC=B′C′，
∴BD=B′D′，
在△ABD和△A'D'B'中，
，
∴△ABD≌△A'D'B'(SAS)，
∴AD=A'D'．
8.已知AB=AC，P，Q分别是AB，AC上各点，且BP=CQ，AM⊥CP交CP延长线于M，AN⊥BQ交BQ延长线于N，说明AM=AN．
【解析】证明：在△ABQ和△ACP中，
，
∴△ABQ≌△ACP，
∴∠B=∠C，
∵AM⊥CP，AN⊥BQ，
∴∠AMC=∠ANB=90°，
在△AMC和△ANB中，
，
∴△ANC≌△ANB，
∴AM=AN．
谢谢