14.5 等腰三角形的性质（教学课件）-七年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

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14.5 等腰三角形的性质
2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件
3、在你们的印象里，什么样的三角形叫做等腰三角形？
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
2、上面三个三角形按边分类是什么样的三角形
1、上面三个三角形按角分类是什么样的三角形
复习回顾：
如图：在△ABC中,AB=AC，则△ABC就是等腰三角形
它的各部分名称分别是什么？
A
B
C
(1)相等的两条边都叫做腰。
腰
腰
底边
(2)另一边叫底边。
顶角
底角
底角
(3)两腰的夹角∠A叫顶角。
(4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角。
等腰三角形再认识
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC,
说明∠B= C的理由.
猜想
A
B
C
D
问题
等腰三角形的两个底角具有怎样的大小关系
操作
在纸上画一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,再画出顶角的平分线AD,设AD与BC 相交于点 D(图14-37)
把 △ABC 纸片剪下,将△ABD 沿着直线AD翻折因为∠BAD= ∠ CAD，所以将 △ABC 沿着AD翻折后射线AB与射线AC 叠合由于 AB=AC,因此线段AB与线段AC 重合，于是点 B 与点 C 重合。又因为点 D 与点 D重合，所以线段BD与线段CD也重合(图14 -38)因此∠ B= ∠ C.
归纳结论
等腰三角形的两个底角相等。
性质1
(简称“等边对等角”)
用符号语言表示为：
A
B
C
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C( )
等边对等角
A
B
C
则有∠1＝ ∠2（角平分线的意义）
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明: 过点A作∠BAC的角平分
线AD，交BC于点D.
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SAS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
方法一
我们可以直接利用全等三角形对等腰三角形的性质进行说理。
A
B
C
则有 BD＝ CD（中线的意义）
D
在△ABD和△ACD中
证明:过点A作BC边上的中线AD，
交BC于点D.
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SSS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
方法二
想一想:
由△BAD≌△CAD除了能得到∠B＝∠C，你还能发现什么
相等的线段 相等的角
　
B
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠1 ＝ ∠2
A
D
∠ADB ＝∠ADC
1 2
＝ 90°
AD是 ；
AD是 ；
AD是 .
底边上的中线
顶角平分线
底边上的高
性质2:
三角形的 ， ，
互相重合.
顶角平分线
等腰
底边上的中线
底边上的高
(简称“等腰三角形的三线合一”)
1.∵AB=AC， ∠1=∠2 （已知）
∴ ， .（ ）
2.∵AB=AC， BD=CD （已知）
∴ , .（ ）
3.∵AB=AC， AD⊥BC （已知）
∴ , .（ ）
A
B
C
1
2
D
等腰三角形的 与 ，
互相重合.
顶角平分线
底边上的中线
底边上的高
(简称“等腰三角形的三线合一”)
等腰三角形的三线合一
性质2:
AD⊥BC
BD=CD
BD=CD
∠1=∠2
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的三线合一
∠1=∠2
AD⊥BC
等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是:
性质3:
所在的直线.
底边上的中线(或顶角平分线,底边上的高)
等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线 . ( )
判断题:
√
D
思考：等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，它的对称
轴是什么？
例题1、已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=70 ，求∠C和∠A的度数.
A
C
B
70
70
解(1) 因为 AB=AC(已知),
所以 ∠C= ∠ B(等边对等角)
由 ∠ B=70°(已知)，
得 ∠ C=70°.
(2)因为 ∠ B= ∠ C=70°
又∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°(三角形的内角和等于180°).
所以 ∠ A=180°-70°-70°=40°
例题2：已知，AB＝AC，∠BAC=110 ，
AD是△ABC的中线.
⑴求∠1的度数；
⑵求∠ADC的度数
解(1)∵AB=AC，AD是△ABC底边上的中线（已知）
∴∠1= ∠BAC (等腰三角形的三线合一)
∵∠BAC=110 （已知）
∴∠1= ×110 =55 （等式性质）
⑵∵ AB=AC，AD是△ABC底边上的中线（已知）
∴AD⊥BC（等腰三角形的三线合一）
∴∠ADC=90°（垂直的意义）
B
C
D
1
2
A
关于撑伞的数学问题
已知：如图，AB=AC，DB=DC
问： AD与BC有什么关系？
猜想：AD垂直平分BC
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD
∴AD垂直平分BC
在⊿ABD和⊿ACD中
证明:
A
B
C
D
1.下列判断错误的是( ____ )
A.等腰三角形是轴对称图形
B.有两条边相等的三角形是等腰三角形
C.等腰三角形的两个底角相等
D.等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
【解析】解：A、等腰三角形是轴对称图形，正确；
B、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，正确；
C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，正确；
D、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项错误；
D
2.等腰三角形的底角为35°，则一腰上的高与另一腰的夹角是( ____ )
A.55°
B.35°
C.20°
D.以上都不对
【解析】解：如图，BD⊥AC于点D，
____
∵∠C=35°，∠D=90°，
C
∴∠DBC=90°-35°=55°，
∵∠ABC=35°，
∴∠DBA=55°-35°=20°，
即一腰上的高与另一腰的夹角是20°，
故选：C．
3.下列说法错误的有( ____ )
①底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等
②含有100°内角且腰为3cm的两个等腰三角形全等
③腰长和底边长分别相等的两个等腰三角形全等
④含有80°内角且腰长是3cm的两个等腰三角形全等
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】解：①两个等腰三角形顶角相等，
A
∴两个等腰三角形底角相等，
∴根据ASA可证底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等，
故①不符合题意；
②等腰三角形100°内角为顶角，
∴根据SAS可证含有100°内角且腰为3cm的两个等腰三角形全等，
故②不符合题意；
③根据SSS可证腰长和底边长分别相等的两个等腰三角形全等，
故③不符合题意；
④等腰三角形80°内角不确定是顶角还是底角，
∴不能判定含有80°内角且腰长是3cm的两个等腰三角形全等，
故④符合题意，
4.在等腰三角形中，一个内角为40°，则另两个内角的大小分别是 _________________________ ．
【解析】解；当顶角为40°时，其底角为 =70°
当底角为40°时，则顶角为180°-40°×2=100°，
所以有两种情况：当顶角为40°时，它的另外两个内角分别是70°，70°；
当底角为40°时，它的另外两个内角分别是40°，100°．
故答案为70°，70°或40°，100°．
70°，70°或40°，100°
5.等腰三角形的一个内角等于110°，则另两个内角的度数分别是 ___________ ．
【解析】解：∵三角形内角和为180°，
∴110°不能为底角，
∴剩下两个角为底角，且他们之和为180°-110°=70°，
∵70°÷2=35°，
∴另两个内角的度数分别是35°，35°，
故答案为：35°，35°．
35°，35°
6.等腰三角形底角的度数是顶角度数的2倍，底角的度数是 _____ ．
【解析】解：设等腰三角形的顶角度数为x,
∵等腰三角形的底角是顶角的2倍，
∴底角度数为2x,
根据三角形内角和定理得：x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
则底角的度数为72°．
故答案为：72°．
72°
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，这个三角形三个内角的度数是 _____________________________________ ．
【解析】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
___
由已知可知，∠ABD=30°，
又∵BD⊥AC，
60°，60°，60°或30°，30°，120°
∴∠ADB=90°，
∴∠A=60°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=60°．
当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
_____
由已知可知，∠ACD=30°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DAC=60°，
∴∠B=∠ACB=30°，∠BAC=120°．
故答案为：60°，60°，60°或30°，30°，120°．
8.已知等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为7cm,则这个三角形的周长是 ______ ．
【解析】解：①当腰长为3cm时，等腰三角形三边长为3cm、3cm、7cm,3+3＜7，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；
②当腰长为7cm时，等腰三角形三边长为3cm、7cm、7cm,符合三角形三边关系，
则三角形的周长为：3+7+7=17cm.
因此这个三角形的周长为17cm.
故答案为：17cm.
17cm
9.已知等腰三角形的周长为20，一边长为6，另两边长分别是 ____________ ．
【解析】解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20-2×6=8，
∵6+6=12＞8，
∴三边能构成三角形．
当底为6时，腰为(20-6)÷2=7，
∵7+7＞6，
∴三边能构成三角形．
故答案为：6，8或7，7．
6，8或7，7
10.若等腰三角形的底边长为8，则它的腰长x的取值范围是 _____ ．
【解析】解：等腰三角形的底边长为8，腰长为x,
则2x＞8，
解得x＞4．
综上所述，该三角形的腰长x的取值范围是x＞4．
故答案为：x＞4．
x＞4
11.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，AE⊥BD，如果△ABC的面积是12，那么△ABE的面积是 ____ ．
【解析】解：∵AB=AD=AC，
∴D是△ABC的中线，
∴S△ABD= S△ABC= 12=6，
∵△ABD是等腰三角形，AE⊥BD，
∴点E是BD的中点，
∴S△ABE= S△ABD= 6=3．
故答案为：3．
3
12.已知，△ABC中，AB=AC，点M在AC上，且 MA=MB，∠C=65°，求∠BMC的度数．
解：因为△ABC中，AB=AC (已知)，
所以∠ _____ =∠ ____ ( _____________ )
因为∠C=65°( _____ )，
所以∠ABC= ____ °( __________ )
又因为∠A+∠C+∠ABC=180°( ________________________ )，
所以∠A=180°- ____ °- ____ °= ____ °．
又因为MA=MB (已知)，
所以∠ _____ =∠A= ____ °( _____________ )，
ABC
C
等边对等角
已知
65
等量关系
三角形内角和为180°
65
65
50
ABM
50
等边对等角
而∠BMC=∠ ____ +∠ _____ ( ____________________ )，
所以∠BMC= ____ °+ ____ °= _____ °．
【解析】解：因为△ABC中，AB=AC(已知)，
所以∠ABC=∠C(等边对等角)，
因为∠C=65°(已知)，
所以∠ABC=65°(等量关系)，
又因为∠A+∠C+∠ABC=180°(三角形内角和为180°)，
所以∠A=180°-65°-65°=50°．
又因为MA=MB(已知)，
所以∠ABM=∠A=50°(等边对等角)，
A
ABM
三角形外角的性质
50
50
100
而∠BMC=∠A+∠ABM(三角形外角的性质)，
所以∠BMC=50°+50°=100°．
故答案为：ABC，C，等边对等角，已知，等量关系，三角形内角和为180°，65，65，50，ABM，50，等边对等角，A，ABM，三角形外角的性质，50，50，100．
13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，试说明∠B=∠D的理由．(要求不用全等三角形说明)
【解析】解：如图，连接BD，
在△ABD中，∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
在△CBD中，∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，
即∠ABC=∠ADC．
14.如图，△ABC中，AB=AC，BE=CE，延长AE交BC于点D，试说明AD⊥BC的理由．
【解析】证明：∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∵BE=CE，
∴点E在BC的垂直平分线上，
∴A、E都在BC的垂直平分线上，
∵延长AE交BC边于点D，
∴AD⊥BC．
15.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E、F分别为边AB、AC上的点，且EB=FC，连接EF，交AD于点O，那么OE=OF，且AO⊥EF，为什么？
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE=CF，
∴AB-BE=AC-CF，即AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵∠EAO=∠FAO，
∴OE=OF，且AO⊥EF．
16.如图，已知：点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．请说明BD=CE的理由．
【解析】证明：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，BC=6，D为直线BC上一动点(不与点B、点C重合)，向AB的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
______
(1)当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
(2)在(1)的条件下，当AC⊥DE时，求BD的长；
(3)当CE∥AB时，若△ABD中有最小的内角为23°，试求∠AEC的度数．(直接写结果，无需写出求解过程)
【解析】(1)证明：①如图1，
___
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)；
(2)解：∵AE=AD，AC⊥DE，
∴∠DAC=∠EAC，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BAD=∠EAC，
∴∠DAC=∠BAD，
∵AB=AC，
∴BD=DC
∵BC=6，
∴BD= BC=3；
(3)如图2，当D在线段BC上时，
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠BAC，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC，
∴∠ABD=∠BAC，又∠ABC=∠ACB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠AEC=∠ADB=180°-60°-23°=97°；
如图3，当点D在CB的延长线上时，同理可得，∠ABC=60°，
∴∠AEC=37°，
即当△ABD中的最小角是∠DAB时，∠ADB=∠AEC=37°，
当点D在BC的延长线上时，只能∠ADB=23°，则∠AEC=23°．
∴∠AEC的度数为97°或37°或23°．
谢谢