14.6 等腰三角形的判定（第2课时）（教学课件）-七年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

(共38张PPT)
14.6 等腰三角形的判定（第2课时）
2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件
学习目标
1.会综合运用等腰三角形性质和判定方法，知道等腰三角形中常添加的辅助线；
2．在灵活运用等腰三角形判定方法解决问题过程中，
体会从一般到特殊的研究问题方法，感受图形的化归
与组合的数学思想.
复习回顾：
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，那么这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）
我们上节课学过等腰三角形的判定方法，那这个判定方法是什么呢？
例题2 如图14-45,在ABC 中,已知点DE分别在AB、AC上,且BE=CD,∠1=∠2,试说明 △ABC 是等腰三角形的理由
分析 要说明△ABC 是等腰三角形，就是要说明AB =AC这可以通过说明 ∠ABC=∠ACB 得到。而 ∠ABC=∠ACB可由 △DBC≌△ECB 得到
解在△ECB和△DBC 中
BE=CD(已知)
∠1=∠2(已知)
BC=CB(公共边)，
所以 △ECB≌△DBC(S.A.S)
得 ∠ECB=∠DBC(全等三角形的对应角相等)
可知AB=AC(等角对等边)
所以△ABC 是等腰三角形
例题2 如图14-45,在ABC 中,已知点DE分别在AB、AC上,且BE=CD,∠1=∠2,试说明 △ABC 是等腰三角形的理由
例题3：
如图，点D在△ABC边AC上，已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，找出图中的等腰三角形并证明。
分析 图中各线段可分别看作是三角形的边,已知条件中指明了几个角的大小,由此考虑利用在一个三角形中“等角对等边”来寻找和判断图中的相等线段
解：图中等腰三角形有2对，分别为△ABD与△BDC
∵∠A=100°（已知），∠ABD=40°（已知）
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°（三角形的内角和为180°）
∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=40°
∴∠ADB=∠ABD（等量代换）
∴AB=AD（等角对等边）
∴△ABD为等腰三角形
∵∠ABC=60°（已知），∠ABD=40°（已知）
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=20°（等式性质）
例题3：如图，点D在△ABC边AC上，已知∠A=100°∠ABC=60°，∠ABD=40°，找出图中的等腰三角形并证明。
∵∠A+∠ABC+∠C=180°（三角形的内角和为180°）
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=20°
∴∠C=∠DBC（等量代换）
∴DB=DC（等角对等边）
∴△BDC为等腰三角形
例题3：如图，点D在△ABC边AC上，已知∠A=100°∠ABC=60°，∠ABD=40°，找出图中的等腰三角形并证明。
思考：例题2与例题3都是要证明等腰三角形，那它们有什么共同点和区别？
共同点：例1与例2都是通过等角对等边的判定方法来证明某一个三角形是等腰三角形。
区别：例1是通过找出两个全等的三角形，通过全等三角形的对应角相等找到了角相等，再通过等角对等边的判定定理证明了等腰三角形。例2是通过把每个角的度数求出来从而得到了相等的角，再通过等角对等边的判定定理证明了等腰三角形。
如图，在等腰△ABC中AB=AC，两底角的平分线BE、CD相交于点O，那么△OBC是什么三角形？ 为什么？
A
B
C
E
D
O
基本应用
问:(1)若BE和CD是两腰的中线呢？
(2)若BE和CD是两腰的高呢？
A
C
B
P
Q
O
A
C
B
M
N
O
练习1
A
C
B
D
●
●
E
●●
●●
A
C
B
M
N
A
C
B
P
Q
等腰三角形两底角的平分线相等.
等腰三角形两腰上的中线相等.
等腰三角形两腰上的高相等.
结论
练习２．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
A
B
C
E
D
C
答：
重合部分是一个等腰三角形。
∵由折叠可知∠CED=∠AEB，∠C=∠A ，CD=AB，
∴⊿EAB≌⊿ECD（AAS）
∴EB=ED
基本应用
练习３．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，说明OC=OD的理由。
解：
∵ OA=OB
∴∠OAB=∠0BA
又∵ AB∥DC
∴∠OCD=∠OAB，∠0DC =∠0BA
∴∠OCD=∠ODC
∴OC=OD
基本应用
思考1.请把这个三角形纸片分割成两个等腰三角形！并作必要的标注。
A
C
B
60°
100°
20°
1、对∠A进行讨论
分类讨论
分析：角Ａ为顶角或底角
２、对∠C进行讨论
分类讨论
分析：角Ｃ为顶角
勤动脑
你还能找到类似的三角形，
可以被一条直线分成两个
等腰三角形吗？
1.具备下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是( ____ )
A.顶角、一腰对应相等
B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等
D.底角、底边对应相等
【解析】解：A、顶角与一腰，对应相等，另一腰也相等，两边加一角，符合SAS定理，可证全等，不符合题意；
B、底边一腰对应相等，即三边对应相等，符合SSS，可以判断其全等，不符合题意；
C、两腰相等，但角的关系不确定，故不能确定其是否全等，
C
符合题意；
D、底边，底角固定，符合ASA定理，可证明全等，不符合题意．
故选：C．
2.如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，BE与AD相交于点F，则下列结论不一定成立的是( ____ )
A.△BFD是等腰三角形
B.△ABF≌△EDF
C.BE平分∠ABD
D.折叠后的图形是轴对称图形
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠A=90°，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADB=∠CBD，
C
由折叠的性质得：∠E=∠C=90°，DE=DC，∠CBD=∠EBD，BE=BC，
∴ED=AB，∠ADB=∠EBD，
∴BF=DF，△BFD是等腰三角形，选项A成立；
在Rt△ABF和Rt△EDF中， ，
∴Rt△ABF≌Rt△EDF(HL)，选项B成立；
若BE平分∠ABD，则∠ABE=∠EBD=∠CBD= ∠ABC=30°，因此选项C不一定成立；
∵BF=DF，
∴AF=EF，
则折叠后的图形是轴对称图形，BD的垂直平分线是对称轴，选项D成立；
故选：C．
3.在等腰△ABC中，AB=3cm,AC=4cm,则BC= ______ cm.
【解析】解：当BC=AB时，BC=3cm,3+3＞4，符合三角形的三边关系，
当BC=AC时，BC=4cm,4+3＞4，符合三角形的三边关系，
∴BC的长为3cm或4cm,
故答案为：3或4．
3或4
4.一个等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角的度数是 ____________ ．
【解析】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°-100°=80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°-100°=80°，所以顶角的度数为180°-2×80°=20°；
故顶角的度数为80°或20°．
故答案为：80°或20°．
80°或20°
5.CD是△ABC的一条中线，若CD= AB，则∠ACB= ____ °．
【解析】解：∵CD是△ABC的边AB上的中线，
∴AD=BD．
又∵CD= AB，
∴AD=CD=BD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
∴∠ACB=180°× =90°，
故答案为：90．
90
6.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B、C两地相距 _____ m.
【解析】解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向，
∴∠BAC=90°-60°=30°，
∵C在B地的北偏东30°方向，
∴∠ABC=90°+30°=120°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-120°=30°，
200
∴∠BAC=∠C，
∴BC=AB=200m.
故答案为：200．
7.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的一点，∠ACD=35°，若△ACD为等腰三角形，那么∠B的度数为 _______________ ．
【解析】解：如图1，当DA=DC时，
∵∠ACD=35°，
∴∠A=35°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=55°；
如图2，当CA=CD时，
∵∠ACD=35°，
∴∠A=(180°-35°)÷2=72.5°，
55°或17.5°
∵∠ACB=90°，
∴∠B=17.5°．
综上所述，∠B的度数为55°或17.5°．
故答案为：55°或17.5°．
8.如图，已知AC、DB交于点O，AO=DO，∠ACB=∠DBC，那么AB与DC是否相等，为什么？
【解析】解：AB=DC．
理由如下：∵∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∵AO=DO，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC(SAS)，
∴AB=CD．
9.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，BD=CE，试说明DF=EF的理由．(提示：过点D作DG∥AC交BC于点G)
【解析】解：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图，
___
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB，∠GDF=∠E，
∴∠B=∠DGB，
∴BD=DG，
∵BD=CE，
∴DG=CE，
在△DGF和△ECF中，
，
∴△DGF≌△ECF(AAS)，
∴DF=EF．
10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．求证：△AEF是等腰三角形．
【解析】证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE，
∵∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
即△AEF为等腰三角形．
名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定
等 腰 三 角 形
A
B
C
有两边相等的三角形是等腰三角形。
2.等边对等角,
3. 三线合一。
4.是轴对称图形.
2.等角对等边。
1.两边相等。
1.两腰相等.
课堂小结
谢谢