14.7 等边三角形（教学课件）-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课堂（沪教版）
文档属性
| 名称 | 14.7 等边三角形（教学课件）-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课堂（沪教版） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-20 11:07:58 | ||
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(共43张PPT)
14.7 等边三角形
2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件
学习目标
1、掌握等边三角形三个内角相等且等于等于60°的性质；
2、经历等边三角形判定方法的讨论、发现、归纳、说理过程，体会分类讨论的思想；掌握等边三角形的判定方法.
名称 图 形 概念 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
A
B
C
有两边相等的三角形是等腰三角形
（等边对等角）
三线合一
（等角对等边）
两边相等
两腰相等
两底角相等
两角相等
轴对称图形
等边三角形是特殊的等腰三角形,它的三边都相等
思考1
等边三角形的三个内角分别是多少度
利用等腰三角形的性质，可知等边三角形的三个内角相等.
根据三角形内角和等于180°,可以算出每个角等于60°
等边三角形有这样的性质:
等边三角形的每个内角等于60°
思考2
如何判定一个三角形是等边三角形呢
根据等腰三角形的判定方法,我们可以得到下面判定等边三角形的方法:
三个内角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的性质:
1.具备等腰三角形的所有性质.
2.特有的性质 ：
(1)三条边相等 ；
(2)三个角相等，都为60°；
符号语言：
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
(等边三角形的三条边相等)
(3)是轴对称图形，有三条对称轴.
由“等边对等角”知三内角相等
由“三角形内角和等于180°”知每个角为60°
符号语言：
∵△ABC是等边三角∴∠A=∠B=∠C=60°
(等边三角形的每个内角都为60°)
讨论
两边相等的三角形，满足怎样的条件就能成为等边三角形 我们可以从它的边与角两类元素应满足的条件来考虑
(1) 底边与腰相等.
满足底边与腰相等的条件,可以直接得到这个三角形是等边三角形.于是得到
腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形
(2)一个内角为60°
要满足有一个内角等于60°的条件,其中包括两种情况:
（1）底角为60°角
如图14-47,已知ABC 中,AB=AC,且∠ B=60°
因为AB=AC， ∠ B=60°(已知)
所以∠B=∠C=60°(等边对等角)
又由 ∠A + ∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),
得 ∠A=180°- ∠ B- ∠ C=180°-60°-60°=60°
所以 ∠A= ∠ B= ∠ C.
所以 △ABC 是等边三角形 (三个内角都相等的三角形是等边三角形).
（2）顶角为60°角
如图14-48,已知△ ABC 中,AB=AC,且∠A=60°我们可以类似（1）那样说明△ ABC 是等边三角形由（1）（2）得到
有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
思考：等腰三角形再添加什么条件能变为等边三角形？
(1)底边与腰相等；
从“边”、“角”元素
(2)顶角和底角相等；
三条边相等的三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
思考：等腰三角形再添加什么条件能变为等边三角形？
(3)底角为60°；
(4)顶角为60°.
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
等边三角形每个角均为60°，反过来有一个为60°的等腰三角形是等边三角形吗？
60°
60°
60°
60°
60°
60°
等边三角形的判定：
(1)三条边相等的三角形是等边三角形；
(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形；
符号语言：
在△ABC中，
∵ AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形
（三条边相等的三角形是等边三角形） .
(3)有一个内角等于60°的等腰三角形
是等边三角形.
符号语言：
在△ABC中，
∵ ∠A= ∠B=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形
（三个内角都相等三角形是等边三角形） .
符号语言：
在△ABC中，
∵ AB=AC， ∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°），
∴△ABC是等边三角形
（有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形） .
1.三边都相等的三角形叫做____三角形.
2.等边三角形的每个内角都等于____度.
3.等边三角形有____条对称轴.
4.等边三角形绕中心至少旋转___度.才能和原来的三角形重合.
等边
60
3
120
例题 如图14-49,在等边三角形ABC的边BC 上任取一点D,以 CD 为边向外作等边三角形 CDE,联结AD、BE,试说明BE=AD的理由。
解 因为△ABC 是等边三角形(已知)
所以AC=BC，∠ACD=60°(等边三角形的性质)因为 △CDE 是等边三角形(已知)
所以CD=CE，∠BCE=60°
所以 ∠ACD=∠BCE(等量代换)
在△ACD与△BCE 中，
AC=BC，
∠ACD=∠BCE，
CD=CE，
所以△ACD≌△BCE(S.A.S)
得 BE=AD(全等三角形的对应边相等).
补充例题1：如图,等边三角形ABC是,三条内角平分线AD,BE,CF相交于点O.
（1）△AOB,△BOC和△AOC有什么关系 请说明理由.
（2）求∠AOB, ∠BOC, ∠AOC的度数。
补充例题1：如图,等边三角形ABC是,三条内角平分线AD,BE,CF相交于点O.
（3）△ABC绕O旋转,问要旋转多少度,就能和原来的三角形重合？
(只要求说出一个旋转度数)
将△ABC绕O旋转旋转120°,就能和原来的三角形重合。
（4）点O到各边的距离相等吗？
OF=OE=OD
补充例题2： 如图，已知B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE、BD，试说明△ACE与△BCD全等的理由.
解：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴AC=BC, ∠1=60°(等边三角形性质).
同理，CD=CE, ∠2=60°.
∴∠1=∠2 (等量代换)，
∴∠1+∠3=∠2+∠3（等式性质），
即∠BCD=∠ACE.
在△ACD与△BCE中
AC=BC （已证）
∠ACE=∠BCD（已证）
CD=CE（已证）
∴△ACD≌△BCE(S.A.S)
1
2
3
变式
补充例题2： 如图，已知B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE、BD，试说明△ACE与△BCD全等的理由.
拓展1：由△ACD≌△BCE
还可以得到什么结论呢？
BD=AE, ∠4=∠5, ∠6=∠7
1
2
3
5
6
7
4
拓展2：若AC与BD交于点G，AE与CD交于点F，图中还有全等三角形吗？
△ECF≌△DCG
△BCG≌△ACF
1
2
3
5
6
7
4
6
7
1
3
2
3
5
4
F
G
G
拓展3：若联结GF ，则△CGF是何三角形？
等边三角形
△ECF≌△DCG
△BCG≌△ACF
1
2
3
5
6
7
4
6
7
1
3
2
3
5
4
F
G
G
1.下列关于等边三角形的描述错误的是( ____ )
A.三边相等的三角形是等边三角形
B.三个角相等的三角形是等边三角形
C.有一个角是60°的三角形是等边三角形
D.有两个角是60°的三角形是等边三角形
【解析】解：A、等边三角形中，各边都相等，此选项正确；
B、三个角相等的三角形是等边三角形，此选项正确；
C、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项错误；
D、有两个角是60°的三角形是等边三角形，此选项正确；
故选：C．
C
2.如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D为BC的中点，DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有( ____ )
A.3条
B.4条
C.5条
D.6条
【解析】解：∵等边三角形ABC中，AB=2，点D为BC的中点，DE∥AB，
∴图中长度为1的线段有BD，DC，DE，AE，EC，CF，
D
3.如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于( ____ )
A.90°
B.120°
C.150°
D.180°
【解析】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，
∴∠GMN=∠MGN=∠DEF=60°，
∵∠1+∠GMN+∠GME=180°，∠2+∠MGN+∠EGM=180°，∠3+∠DEF+∠
D
MEG=180°，
∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG=3×180°，
∵∠GME+∠EGM+∠MEG=180°，
∴∠1+∠2+∠3=3×180°-180°-3×60°=180°；
故选：D．
4.如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为 ______ ．
【解析】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°．
故答案为：120°．
120°
5.小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、n上测得∠AEG=20°，那么∠ADF的度数是 _____ ．
【解析】解：过A点作AP∥m,如图，
∵m∥n,
∴n∥AP，
∴∠PAE=∠AEG=20°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAP=∠BAC-∠PAE=60°-20°=40°，
40°
∵PA∥m,
∴∠ADF=∠BAP=40°．
故答案为40°．
6.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= ____ 度．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠A=60°，
∵CG=CD，
∴∠GDC=30°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为：15．
15
7.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，且DF=EF，∠1=60°，试说明BD=CE的理由．
解：因为∠1=60°，DF=EF(已知)，
所以△DEF是等边三角形( ____________________ )，
所以DF=DE(等边三角形的性质)．
又因为△ABC是等边三角形(已知)，
所以∠B=∠ ____ =60°(等边三角形的每个内角等于60°)．
所以∠B=∠1(等量代换)．
因为∠ _____ =∠B+∠3(
等边三角形的判定
C
FDC
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
即∠1+∠2=∠B十∠3，
所以∠2=∠3(等式性质)．
在△BDF和△CED中， ，
所以△BDF≌△CED( _____ )．
所以BD=CE( ____________________________ )．
【解析】解：因为∠1=60°，DF=EF(已知)，
所以△DEF是等边三角形(等边三角形的判定)，
AAS
全等三角形的对应边相等
所以DF=DE(等边三角形的性质)．
又因为△ABC是等边三角形(已知)，
所以∠B=∠C=60°(等边三角形的每个内角等于60°)．
所以∠B=∠1(等量代换)．
因为∠FDC=∠B+∠3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
即∠1+∠2=∠B十∠3，
所以∠2=∠3(等式性质)．
在△BDF和△CED中，
，
所以△BDF≌△CED(AAS)．
所以BD=CE(全等三角形的对应边相等 )，
故答案为：等边三角形的判定，C，FDC，AAS，全等三角形的对应边相等．
8.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别是BA、BC延长线上的点，且DE∥AC，那么△DBE是等边三角形吗？为什么？
【解析】解：△DBE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠BCA=60°．
∵DE∥AC，
∴∠D=∠BAC=60°，∠E=∠BCA=60°．
∴∠B=∠D=∠E=60°．
∴△DBE是等边三角形．
9.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E、F是AB、BC、CA上的点，且AD=BE=CF，则△DEF是等边三角形吗？试说明理由．
【解析】解：结论：△DEF是等边三角形．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF，
在△ADF和△BED中
，
∴△ADF≌△BED(ASA)，
∴DF=DE，
同理DE=EF，
∴DE=DF=EF，
∴△DEF是等边三角形．
10.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE．
(1)说明△ABE≌△BCD的理由；
(2)求∠AFD的度数．
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，(等边三角形三边都相等)，
∠C=∠ABE=60°，(等边三角形每个内角是60°)．
在△ABE和△BCD中，
∴△ABE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ABE≌△BCD(已证)
∴∠BAE=∠CBD，(全等三角形的对应角相等)，
∵∠AFD=∠ABF+∠BAE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)
∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°．
11.如图，轮船由A港以每小时24海里的速度向正北方向航行，此时测得灯塔P在北偏东30°的方向(即∠NAP=30°)，半小时后，轮船到达B处，测得灯塔P在北偏东60°的方向(即∠NBP=60°)．
(1)此时轮船与灯塔P之间的距离是多少？
(2)轮船继续向正北航行，又经半小时后到达C处．此时轮船与灯塔P的距离又是多少？灯塔P在轮船的什么方向上？
【解析】解：(1)∵∠PBC=60°，∠A=30°，
∴∠BPA=∠PBC-∠A=30°，
∴∠A=∠APB，
∴PB=AB=24×0.5=12(海里)，
答：此时轮船与灯塔P之间的距离是12海里；
(2)根据题意得，BC=24×0.5=12(海里)，
∴BC=BP，
∵∠PBC=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴PC=BC=12海里；∠PCB=60°，
答：此时轮船与灯塔P的距离是12海里，灯塔P在轮船的南偏东60°方向上．
12.如图，已知△ABC与△ADE都是等边三角形，且B、C、D三点在一直线上．
(1)试说明△ABD与△ACE全等的理由；
(2)猜想线段AC、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
【解析】解：(1)∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)∵AC=BC，CE=BD，
∴AC+CD=BC+CD=BD=CE，
∴AC+CD=CE．
一、等边三角形的性质.
二、 等边三角形的判定:
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边
三角形.
1.等边三角形的三边相等。
2.等边三角形的内角都相等,且等于60 °
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的
平分线都三线合一.
课堂小结
谢谢
14.7 等边三角形
2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件
学习目标
1、掌握等边三角形三个内角相等且等于等于60°的性质；
2、经历等边三角形判定方法的讨论、发现、归纳、说理过程，体会分类讨论的思想；掌握等边三角形的判定方法.
名称 图 形 概念 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
A
B
C
有两边相等的三角形是等腰三角形
（等边对等角）
三线合一
（等角对等边）
两边相等
两腰相等
两底角相等
两角相等
轴对称图形
等边三角形是特殊的等腰三角形,它的三边都相等
思考1
等边三角形的三个内角分别是多少度
利用等腰三角形的性质，可知等边三角形的三个内角相等.
根据三角形内角和等于180°,可以算出每个角等于60°
等边三角形有这样的性质:
等边三角形的每个内角等于60°
思考2
如何判定一个三角形是等边三角形呢
根据等腰三角形的判定方法,我们可以得到下面判定等边三角形的方法:
三个内角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的性质:
1.具备等腰三角形的所有性质.
2.特有的性质 ：
(1)三条边相等 ；
(2)三个角相等，都为60°；
符号语言：
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
(等边三角形的三条边相等)
(3)是轴对称图形，有三条对称轴.
由“等边对等角”知三内角相等
由“三角形内角和等于180°”知每个角为60°
符号语言：
∵△ABC是等边三角∴∠A=∠B=∠C=60°
(等边三角形的每个内角都为60°)
讨论
两边相等的三角形，满足怎样的条件就能成为等边三角形 我们可以从它的边与角两类元素应满足的条件来考虑
(1) 底边与腰相等.
满足底边与腰相等的条件,可以直接得到这个三角形是等边三角形.于是得到
腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形
(2)一个内角为60°
要满足有一个内角等于60°的条件,其中包括两种情况:
（1）底角为60°角
如图14-47,已知ABC 中,AB=AC,且∠ B=60°
因为AB=AC， ∠ B=60°(已知)
所以∠B=∠C=60°(等边对等角)
又由 ∠A + ∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),
得 ∠A=180°- ∠ B- ∠ C=180°-60°-60°=60°
所以 ∠A= ∠ B= ∠ C.
所以 △ABC 是等边三角形 (三个内角都相等的三角形是等边三角形).
（2）顶角为60°角
如图14-48,已知△ ABC 中,AB=AC,且∠A=60°我们可以类似（1）那样说明△ ABC 是等边三角形由（1）（2）得到
有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
思考：等腰三角形再添加什么条件能变为等边三角形？
(1)底边与腰相等；
从“边”、“角”元素
(2)顶角和底角相等；
三条边相等的三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
思考：等腰三角形再添加什么条件能变为等边三角形？
(3)底角为60°；
(4)顶角为60°.
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
等边三角形每个角均为60°，反过来有一个为60°的等腰三角形是等边三角形吗？
60°
60°
60°
60°
60°
60°
等边三角形的判定：
(1)三条边相等的三角形是等边三角形；
(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形；
符号语言：
在△ABC中，
∵ AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形
（三条边相等的三角形是等边三角形） .
(3)有一个内角等于60°的等腰三角形
是等边三角形.
符号语言：
在△ABC中，
∵ ∠A= ∠B=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形
（三个内角都相等三角形是等边三角形） .
符号语言：
在△ABC中，
∵ AB=AC， ∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°），
∴△ABC是等边三角形
（有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形） .
1.三边都相等的三角形叫做____三角形.
2.等边三角形的每个内角都等于____度.
3.等边三角形有____条对称轴.
4.等边三角形绕中心至少旋转___度.才能和原来的三角形重合.
等边
60
3
120
例题 如图14-49,在等边三角形ABC的边BC 上任取一点D,以 CD 为边向外作等边三角形 CDE,联结AD、BE,试说明BE=AD的理由。
解 因为△ABC 是等边三角形(已知)
所以AC=BC，∠ACD=60°(等边三角形的性质)因为 △CDE 是等边三角形(已知)
所以CD=CE，∠BCE=60°
所以 ∠ACD=∠BCE(等量代换)
在△ACD与△BCE 中，
AC=BC，
∠ACD=∠BCE，
CD=CE，
所以△ACD≌△BCE(S.A.S)
得 BE=AD(全等三角形的对应边相等).
补充例题1：如图,等边三角形ABC是,三条内角平分线AD,BE,CF相交于点O.
（1）△AOB,△BOC和△AOC有什么关系 请说明理由.
（2）求∠AOB, ∠BOC, ∠AOC的度数。
补充例题1：如图,等边三角形ABC是,三条内角平分线AD,BE,CF相交于点O.
（3）△ABC绕O旋转,问要旋转多少度,就能和原来的三角形重合？
(只要求说出一个旋转度数)
将△ABC绕O旋转旋转120°,就能和原来的三角形重合。
（4）点O到各边的距离相等吗？
OF=OE=OD
补充例题2： 如图，已知B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE、BD，试说明△ACE与△BCD全等的理由.
解：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴AC=BC, ∠1=60°(等边三角形性质).
同理，CD=CE, ∠2=60°.
∴∠1=∠2 (等量代换)，
∴∠1+∠3=∠2+∠3（等式性质），
即∠BCD=∠ACE.
在△ACD与△BCE中
AC=BC （已证）
∠ACE=∠BCD（已证）
CD=CE（已证）
∴△ACD≌△BCE(S.A.S)
1
2
3
变式
补充例题2： 如图，已知B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE、BD，试说明△ACE与△BCD全等的理由.
拓展1：由△ACD≌△BCE
还可以得到什么结论呢？
BD=AE, ∠4=∠5, ∠6=∠7
1
2
3
5
6
7
4
拓展2：若AC与BD交于点G，AE与CD交于点F，图中还有全等三角形吗？
△ECF≌△DCG
△BCG≌△ACF
1
2
3
5
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7
4
6
7
1
3
2
3
5
4
F
G
G
拓展3：若联结GF ，则△CGF是何三角形？
等边三角形
△ECF≌△DCG
△BCG≌△ACF
1
2
3
5
6
7
4
6
7
1
3
2
3
5
4
F
G
G
1.下列关于等边三角形的描述错误的是( ____ )
A.三边相等的三角形是等边三角形
B.三个角相等的三角形是等边三角形
C.有一个角是60°的三角形是等边三角形
D.有两个角是60°的三角形是等边三角形
【解析】解：A、等边三角形中，各边都相等，此选项正确；
B、三个角相等的三角形是等边三角形，此选项正确；
C、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项错误；
D、有两个角是60°的三角形是等边三角形，此选项正确；
故选：C．
C
2.如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D为BC的中点，DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有( ____ )
A.3条
B.4条
C.5条
D.6条
【解析】解：∵等边三角形ABC中，AB=2，点D为BC的中点，DE∥AB，
∴图中长度为1的线段有BD，DC，DE，AE，EC，CF，
D
3.如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于( ____ )
A.90°
B.120°
C.150°
D.180°
【解析】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，
∴∠GMN=∠MGN=∠DEF=60°，
∵∠1+∠GMN+∠GME=180°，∠2+∠MGN+∠EGM=180°，∠3+∠DEF+∠
D
MEG=180°，
∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG=3×180°，
∵∠GME+∠EGM+∠MEG=180°，
∴∠1+∠2+∠3=3×180°-180°-3×60°=180°；
故选：D．
4.如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为 ______ ．
【解析】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°．
故答案为：120°．
120°
5.小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、n上测得∠AEG=20°，那么∠ADF的度数是 _____ ．
【解析】解：过A点作AP∥m,如图，
∵m∥n,
∴n∥AP，
∴∠PAE=∠AEG=20°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAP=∠BAC-∠PAE=60°-20°=40°，
40°
∵PA∥m,
∴∠ADF=∠BAP=40°．
故答案为40°．
6.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= ____ 度．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠A=60°，
∵CG=CD，
∴∠GDC=30°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为：15．
15
7.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，且DF=EF，∠1=60°，试说明BD=CE的理由．
解：因为∠1=60°，DF=EF(已知)，
所以△DEF是等边三角形( ____________________ )，
所以DF=DE(等边三角形的性质)．
又因为△ABC是等边三角形(已知)，
所以∠B=∠ ____ =60°(等边三角形的每个内角等于60°)．
所以∠B=∠1(等量代换)．
因为∠ _____ =∠B+∠3(
等边三角形的判定
C
FDC
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
即∠1+∠2=∠B十∠3，
所以∠2=∠3(等式性质)．
在△BDF和△CED中， ，
所以△BDF≌△CED( _____ )．
所以BD=CE( ____________________________ )．
【解析】解：因为∠1=60°，DF=EF(已知)，
所以△DEF是等边三角形(等边三角形的判定)，
AAS
全等三角形的对应边相等
所以DF=DE(等边三角形的性质)．
又因为△ABC是等边三角形(已知)，
所以∠B=∠C=60°(等边三角形的每个内角等于60°)．
所以∠B=∠1(等量代换)．
因为∠FDC=∠B+∠3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
即∠1+∠2=∠B十∠3，
所以∠2=∠3(等式性质)．
在△BDF和△CED中，
，
所以△BDF≌△CED(AAS)．
所以BD=CE(全等三角形的对应边相等 )，
故答案为：等边三角形的判定，C，FDC，AAS，全等三角形的对应边相等．
8.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别是BA、BC延长线上的点，且DE∥AC，那么△DBE是等边三角形吗？为什么？
【解析】解：△DBE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠BCA=60°．
∵DE∥AC，
∴∠D=∠BAC=60°，∠E=∠BCA=60°．
∴∠B=∠D=∠E=60°．
∴△DBE是等边三角形．
9.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E、F是AB、BC、CA上的点，且AD=BE=CF，则△DEF是等边三角形吗？试说明理由．
【解析】解：结论：△DEF是等边三角形．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF，
在△ADF和△BED中
，
∴△ADF≌△BED(ASA)，
∴DF=DE，
同理DE=EF，
∴DE=DF=EF，
∴△DEF是等边三角形．
10.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE．
(1)说明△ABE≌△BCD的理由；
(2)求∠AFD的度数．
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，(等边三角形三边都相等)，
∠C=∠ABE=60°，(等边三角形每个内角是60°)．
在△ABE和△BCD中，
∴△ABE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ABE≌△BCD(已证)
∴∠BAE=∠CBD，(全等三角形的对应角相等)，
∵∠AFD=∠ABF+∠BAE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)
∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°．
11.如图，轮船由A港以每小时24海里的速度向正北方向航行，此时测得灯塔P在北偏东30°的方向(即∠NAP=30°)，半小时后，轮船到达B处，测得灯塔P在北偏东60°的方向(即∠NBP=60°)．
(1)此时轮船与灯塔P之间的距离是多少？
(2)轮船继续向正北航行，又经半小时后到达C处．此时轮船与灯塔P的距离又是多少？灯塔P在轮船的什么方向上？
【解析】解：(1)∵∠PBC=60°，∠A=30°，
∴∠BPA=∠PBC-∠A=30°，
∴∠A=∠APB，
∴PB=AB=24×0.5=12(海里)，
答：此时轮船与灯塔P之间的距离是12海里；
(2)根据题意得，BC=24×0.5=12(海里)，
∴BC=BP，
∵∠PBC=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴PC=BC=12海里；∠PCB=60°，
答：此时轮船与灯塔P的距离是12海里，灯塔P在轮船的南偏东60°方向上．
12.如图，已知△ABC与△ADE都是等边三角形，且B、C、D三点在一直线上．
(1)试说明△ABD与△ACE全等的理由；
(2)猜想线段AC、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
【解析】解：(1)∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)∵AC=BC，CE=BD，
∴AC+CD=BC+CD=BD=CE，
∴AC+CD=CE．
一、等边三角形的性质.
二、 等边三角形的判定:
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边
三角形.
1.等边三角形的三边相等。
2.等边三角形的内角都相等,且等于60 °
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的
平分线都三线合一.
课堂小结
谢谢