人教A版2024年高考数学难点专题必修一三角函数测试题3（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
必修一难点 三角函数3
一、单选题
1．若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．某扇形的圆心角为30°，半径为2，则该扇形的弧长为
A．60 B．30
C． D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，a，β的终边关于y轴对称，a的终边过点（3，4），则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知函数在区间上恰有2个最大值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的相邻对称中心之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则（ ）.
A． B． C． D．
8．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ）

A． B． C．1s D．
9．如图是函数的部分图像，则（ ）．
A． B．
C． D．
10．已知，为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知是函数的图像的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.设，若，则的图像对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则
A． B． C． D．
13．已知函数f（x），则的值为（　　 ）
A． B． C． D．
14．函数在区间内有三个零点，则的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．已知函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值是
A． B． C．或 D．无法确定
17．如图，点和点分别是函数(，，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
18．设函数有个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知的图象与直线在区间上存在两个交点，则当最大时，曲线的对称轴为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
20．已知函数，、、，且都有，满足的实数有且只有个，给出下述四个结论：
①满足题目条件的实数有且只有个；②满足题目条件的实数有且只有个；
③在上单调递增；④的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
二、多选题
21．若，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
22．(多选)下列式子结果为的是（ ）
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C． D．
23．下列四个函数中，以为周期的函数有（　　）
A． B．
C． D．
24．已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C． D．在上是增函数
25．设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．设函数的值域为，则的子集个数为
D．
三、填空题
26．已知，则 .
27．中，则 (用反三角形式表示).
28．如图，在某开发区内新建两栋高楼（为水平地面），是的中点，在点处测得两楼顶的张角米，则楼的高度为米 .（测量仪器的高度不计）
29．在角、、、…、的终边上分别有一点、、、…、，如果点的坐标为，，，则 ．
30．设函数，其中、为已知实常数，.
下列所有正确命题的序号是 ．　
①若，则对任意实数恒成立；
②若，则函数为奇函数；
③若，则函数为偶函数；
④当时，若，则.
四、解答题
31．利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值.
32．已知向量，且
（1）求的值
（2）若，求的值
33．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
34．王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC，将点A翻折后恰好落在边BC上的点F处，折痕为DE，设，．
（1）求x、y满足的关系式；
（2）求x的取值范围．
35．已知函数满足当时，已知函数
(1)求实数m的值；
(2)当时，求的解析式；
(3)设，若求实数的值.
参考答案：
1．D
【分析】根据题意写出平移后解析式，再利用偶函数求得结果.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度所得函数为：
，
则关于y轴对称，
即，则，
因为，所以当时，的最小值为，
故选：D.
2．D
【解析】把角度数化为弧度，然后由弧长公式计算．
【详解】30°=，∴弧长为．
故选：D.
【点睛】本题考查弧长公式，注意在弧长公式中，是弧度数，不是角度．
3．D
【分析】将函数表示为，结合三角函数的变换规律可得出正确选项.
【详解】，因此，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，故选D.
【点睛】本题考查三角函数的平移变换，解决三角函数平移变换需要注意以下两个问题：
（1）变换前后两个函数名称要保持一致；（2）平移变换指的是在自变量上变化了多少.
4．B
【分析】根据终边关于轴对称得到的终边过点，由三角函数的定义和诱导公式计算即可.
【详解】，的终边关于轴对称，且的终边过点，则的终边过点；
由三角函数的定义可得，，则，
故选：B.
5．A
【分析】根据两角和的正弦化简得到，代入，即可求解.
【详解】由题意，函数，
则.
故选：A.
6．A
【分析】先把解析式化简，再由在上恰有2个最大值点，建立不等式，求出的取值范围
【详解】，
，
在上恰有2个最大值点，
∴在上恰有两个最大值点，
∵当时，y可以取最大值，
，解得．
故选：A.
【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
7．B
【解析】先计算出的值,然后结合图象的平移得到平移后的函数图象表达式
【详解】由题目中相邻对称中心之间的距离为得,即,,
所以函数,将函数图象向左平移得
,
故选:
【点睛】本题考查了三角函数图象的变换,结合题意计算出函数的表达式,然后根据平移计算出结果,需要注意平移时的变换法则,较为基础.
8．C
【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.
【详解】因为，，，所以，又，所以，
则，由可得，
所以，，
所以，，故，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.
故选：C.
9．B
【分析】根据图像求函数的周期，然后代入图像上的点求即可.
【详解】有图可知：；
，
且，附近函数是递减的；
当时，
当时，为减函数，
，附近函数是递减的；
；
；
故选：B.
10．A
【分析】根据同角三角函数基本关系求出的值，再利用两角和的余弦公式计算的值即可求解.
【详解】因为为第二象限角，所以，
又因为，所以，
所以，
所以
，
故选：A.
11．D
【分析】根据点坐标及，求得的坐标，由，的中点都是的对称中心，且周期为6，得到答案.
【详解】如图所示:
取的中点，连接，则，，在中，由，
得.所以，，，的中点都是的对称中心，
且周期，即对称中心为，，当时，对称中心为
故选：D.
【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.
12．B
【分析】结合诱导公式，直接利用两角和与差的正弦函数公式以及同角三角函数基本关系式求解，即可得答案．
【详解】解：，，
．故选B．
【点睛】本题考查了诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，属中档题．
13．C
【分析】根据函数的定义，在时，函数呈现周期性质，这样可以变形为，再计算即得．
【详解】由题意，
∴．
故选：C.
【点睛】本题考查分段函数求函数值，考查函数的周期性，考查诱导公式及两角和的正统公式．解题关键是函数周期性的应用
14．B
【分析】由辅助角公式可得.由，可得.根据在区间内有三个零点，可得，求出的取值范围，即得答案.
【详解】.
，
函数在区间内有三个零点，
.
故选：.
【点睛】本题考查辅助角公式和函数的零点，属于基础题.
15．D
【分析】首先求出，根据题意结合图象，则有，解出即可.
【详解】因为，则，
所以由题意得：，解得.
故选：D.
16．C
【分析】根据为偶函数及可得，再由对称中心可得，结合函数的单调性可得的值.
【详解】由是偶函数，得，即，
所以对任意都成立，且，所以得．
依题设，所以解得，故.
因为的图象关于点对称，，.
所以.
又在区间上是单调函数，所以，故.
故或.
故选：C．
【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心（也就是整体法），对于含参数的此类函数的单调性问题，我们可借助图象特征把参数的范围归结为周期的范围问题，必要时需结合函数单调区间的一般形式来讨论（基本方法）.
17．C
【分析】首先利用二倍角公式将化简为，再由，分别为的图像上的最低点和最高点得到，再由，两点之间距离为得，从而求得的值，进而求得的值，由题可知的最小正周期为，由此得到的值，再由经过点及的范围求得的值，得到函数的解析式，进而判断函数在区间的单调性.
【详解】
如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设两垂线的交点为，
连接，可知为直角三角形，，，
则，易知，解得，，
∴，，得，，
∴，故，
由函数的图像经过点可得，
则，，又，则，∴，
∴的单调递增区间为，得()，
的单调递减区间为，得()，
∴当时在区间上单调递减，故选C.
【点睛】已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
18．A
【分析】分段函数分段处理，显然有1个零点，所以有4个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证之间有4个零点即可.
【详解】由题，当时，，显然单调递增，且，，所有此时有且只有一个零点，
所有当时，有4个零点，令，即，解得，
由题可得区间内的4个零点分别是，所以即在之间，
即，解得
故选：A
19．D
【分析】先根据条件求出的取值范围，再求出对称轴.
【详解】当时，
要使得的图象与直线存在两个交点，
则，解得，
又因为，所以，所以，
此时曲线的对称轴为，，
解得，，
故选：D
20．D
【分析】设，由，得出，由题意得出为函数的最小值，为函数的最大值，作出函数的图象，结合图象得出，进而对各结论进行验证.
【详解】，当时，.
设进行替换，作出函数的图象如下图所示：
由于函数在上满足的实数有且只有个，
即函数在上有且只有个零点，
由图象可知，解得，结论④正确；
由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；
当时，，
由知，所以在上递增，
则函数在上单调递增，结论③正确．综上，正确的有①③④.故选D．
【点睛】本题考查余弦型函数的零点、最值点以及单调性有关命题的判断，解题时要充分计算出对象角的取值范围，并作出图象进行验证，考查推理能力，属于难题.
21．AC
【解析】根据角的象限，结合正弦和余弦的符号，分类讨论，即可求解.
【详解】当角为第一象限角时，此时，可得，符合题意；
当角为第二象限角时，此时，可得，不符合题意；
当角为第三象限角时，此时，可得，符合题意；
当角为第四象限角时，此时，可得，不符合题意.
故选：AC.
22．ABC
【分析】由正切的和角公式变形可判断A；将转化为，结合正弦和角公式可判断；
将转化为结合正切和角、差角公式可判断C、D.
【详解】对于选项A，，
变形得，故A正确；
对于选项B，原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°·sin 25°)＝2sin 60°＝，故B正确；
对于选项C，原式＝＝tan 60°＝，故C正确；
对于选项D，原式＝＝，故D错误.
故选：ABC.
23．AC
【分析】对于A、B：利用周期公式直接求周期；
对于C：利用周期函数的定义进行验证；
对于D：利用函数的图像判断出不是周期函数.
【详解】对于A：的最小正周期为，故A正确；
对于B：的最小正周期为，故B正确；
对于C：对于，因为，所以为函数的周期，故C正确；
对于D：由的图像为：
得到的图像为：
所以不是周期函数，故D错误.
故选：AC
24．AB
【分析】利用赋值法以及特殊函数即可得出答案.
【详解】解：对A，由
令，得 ，
，
为奇函数，故A正确；
对B，令，得
是周期函数，故B正确；
对C，当时，符合题意，但是，故C错误；
对D，当时，符合题意，但是在上是减函数，故D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点睛：对于抽象函数，常用赋值法求解函数相关性质.
25．BD
【分析】结合特例，可判定A错误；结合，可判定B正确；结合正弦、余弦函数的值域，得到的值域为，可判定C正确；设，得到的周期为，证得恒为，可判定D正确.
【详解】对于A中，例如，则，，
可得，所以A错误；
对于B中，由，，
所以，所以，所以B正确；
对于C中，因为，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
若，则且，
所以且，即且，
所以，不符合题意，即，
同理，
若，则与其中一个为，另一个为，或其中一个为，另一个为，
不妨令，则，
此时，，
则，，所以，，
又，显然不符合题意；
再令，则，
此时，，
则，，所以，，
又，不妨令，，此时满足；
即函数的值域为，
所以集合的子集个数为，所以C错误；
对于D中，设，
若，可得，所以，，
则，
所以的周期为，
又当时，可得，此时；
，此时；
，此时；
，此时，
所以，结合周期为，即恒为，
即，
所以，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：
1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；
2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解.
26．
【分析】利用诱导公式直接求解即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
27．或
【分析】根据题中条件求出角的正余弦值，然后利用反三角函数表示即可.
【详解】由题知，两边同时平方，
有，
整理得，
有，
因为角为三角形内角，
解得，，
所以角的值为或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查了三角函数的求解，利用反三角函数表示角，属于基础题.
28．
【分析】在中，已知两直角边，可求出的正切值，由，根据两角差的正切公式可以计算的正切值，在可解得楼的高度.
【详解】由题意得，在中，，，
故，因为，
所以，
所以.
故答案为：.
29．
【解析】利用诱导公式将点的坐标变为，然后根据三角函数定义可得，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.
【详解】，即
由三角函数定义知
=
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.
30．①②③④.
【分析】对于①，由，证明函数既是奇函数又是偶函数即可得出；
对于②，根据奇函数的定义可得出结论；
对于③，根据偶函数的定义进行判断即可得出结论；
对于④，根据得
，于此得出结论.
【详解】对于命题①，若，则，
则

，
函数为奇函数，
若，则
，

，
函数为偶函数，
若，则函数既是奇函数，又是偶函数，即，命题①正确；
对于命题②，由①的证明过程可知，当时，函数为奇函数，命题①正确；
对于命题③，由①的证明过程可知，当时，函数为偶函数，命题②正确；
对于命题④，当时，
，
令，
，则，
由辅助角公式得，
其中，，
，则、是函数的两个对称中心点，
函数的最小正周期为，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半，
因此，，命题④正确.
故答案为①②③④.
【点睛】本题的考点是三角形与数列的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义与三角函数性质的判断，解题的关键就是利用三角函数基本性质的定义来进行计算，从而判断结论的正误，运算量较大，综合性较强，属于难题.
31．；；.；；不存在；
；；.；；不存在.
【解析】分别找出角0，，，与单位圆的交点即可
【详解】因为0的终边与单位圆的交点是
所以；；
因为的终边与单位圆的交点是
所以；；不存在；
因为的终边与单位圆的交点是
所以；；.
因为的终边与单位圆的交点是
所以；；不存在.
【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.
32．（1）
（2）
【分析】（1）由向量共线的坐标运算可得，由两角和的正切公式运算可得解；
（2）由三角函数的商数关系及平方关系可得，，再代入运算即可得解.
【详解】解：（1）由向量，且，
所以，
所以，
故；
（2）因为，，结合，
解得，，
故.
【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算，重点考查了两角和的正切公式及三角函数的商数关系，属基础题.
33．(1)
(2)1
【分析】（1）根据，分式同除可得.
（2）根据先将转化为，再将分式同除可得.
【详解】（1）
（2）
34．（1）；（2）
【分析】（1）连接，由翻折的特点可得垂直平分，则，在中，运用余弦定理可得，的关系式；
（2）由（1）的关系式，解得关于的式子，换元后，运用基本不等式可得所求范围，注意等号成立的条件．
【详解】解：（1）如图连接，由点翻折后恰好落在边上的点处，
折痕为，可得垂直平分，则，
由等边三角形的边长为1，且，
可得，，
在中，，
由余弦定理可得：
即，
化简可得：，
即x、y满足的关系式为：；
（2）由（1）可得，
解得：，
设，由，可得：，
则，
，
当且仅当，即，等号成立，
则x的取值范围是：．
【点睛】本题考查平面几何的翻折问题，考查解三角形的余弦定理，以及变量的取值范围的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力．
35．(1)-12；
(2)；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）赋值法得到，由求出；
（2）当时，，故，从而根据求出解析式；
（3）求出定义域为，且在单调递减，构造，结合零点存在性定理得到使得，只需，先由定义域得到，分与两种情况，两种情况下求出最小值，分析得到均不合题意，设这样的实数不存在.
【详解】（1）当时，，故，因为当时，
所以，故，
因为，所以，
（2）当时，，故，
又，
故；
（3）显然中由，故，
当时，，故，
当时，，故，不合要求，
所以定义域为，
故在要恒成立，
必有当时，，当时，，则，即，
，
因为，所以，
当时，在单调递增，
故
当时，在上先增后减，
在或处取得最小值，且，，
其中为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，
又，故，
综上：，
故只需考虑在的情况即可，因为在单调递减，
根据复合函数的单调性得到在单调递减，
又时，对称轴为，开口向上，
故在上单调递增，
当时，令，其单调递增，
其中，，
由零点存在性定理可知：使得，
又故需要满足，所以只需满足，
当时，，不合要求，
当时，令，解得：，
由于，故无解，
综上：不存在.
【点睛】思路点睛：数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)