人教A版2024年高考数学难点专题必修一三角函数测试题1（含解析）

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必修一难点 三角函数1
一、单选题
1．式子的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到图象，则函数（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
3．已知，则　　
A． B． C． D．
4．关于函数有下述四个结论正确的是（ ）
A．是周期函数 B．在区间单调递减
C．在有4个零点 D．的值域为
5．
A． B．
C． D．
6．已知函数为奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若的最小正周期为，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．若，，且，均为钝角，则的值为
A． B． C． D．
8．，函数在上单调递增，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的部分图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则下列结论中正确的是
A．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象
B．函数图象关于点中心对称
C．函数的图象关于对称
D．函数在区间内单调递增
12．已知函数的最小正周期为，其图象过点，则其对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函数的图象既关于点中心对称，又关于直线对称，且函数在上的零点不超过2个，现有如下三个数据：①；②；③，则其中符合条件的数据个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．已知函数在区间上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；④在区间上单调递增.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．如图，AB为定圆O的直径，点P为半圆AB上的动点．过点P作AB的垂线，垂足为Q，过Q作OP的垂线，垂足为M．记弧AP的长为x，线段QM的长为y，则函数y=f(x)的大致图像是（　　 　）
A． B．
C． D．
18．已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法：
①是的一个对称轴；②是的一个对称中心；
③在上单调递增；④若，则，．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为（）
C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2）
D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则
20．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
21．下列两数在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
22．下列命题正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若是第二象限角，则是第一或第三象限角
C．扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为
D．若是第四象限角，则点在第四象限
23．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增.
C．当时，函数最小值为.
D．当9时，
24．设函数，给出的下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，为偶函数
B．当，时，在区间上是单调函数
C．当，时，在区间上恰有个零点
D．当，时，设在区间上的最大值为，最小值为，则的最大值为
25．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上，方程的根有3个，方程的根有2个
C．在上单调递增
D．的取值范围是
三、填空题
26．函数的定义域为 .
27．将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 .
28．已知为坐标原点，若角的终边上一点的坐标为，且，线段绕点逆时针转动后，则此时点的坐标为 .
29．已知函数，对都有，且是的一个零点.若在上有且只有一个零点，则的最大值为 .
30．设是正实数，若函数在上至少存在两个极大值点，则的取值范围是 .
四、解答题
31．将下列各角化为2kπ＋α(0≤α<2π， k∈Z)的形式，并判断其所在象限．
（1） ；（2） －1485°．
32．已知,且,求的值
33．已知为锐角，且求的值.
34．已知函数.
（1）求的最小正周期和上的单调增区间：
（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围.
35．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，求的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】利用两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：根据题意，．
故选：D．
【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．
2．C
【解析】先求出函数的解析式，再根据正弦型函数的对称性求解即可．
【详解】解：由题意可得，，
由得，故C对、D错；
由得，故A、B错；
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，考查三角函数的对称性，属于基础题．
3．A
【分析】利用两角和的余弦公式展开可得，再将两边平方，最后利用二倍角公式计算可得.
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：A．
4．B
【分析】对于A，画出函数的图像，由图像判断即可；对于B，当时，对函数化简再判断；对于C，对函数化简后，求零点即可判断；结合A，C求出函数的值域即可
【详解】解：对于A，函数的图像如图所示，由图可知函数不是周期函数，所以A错误；
对于B，当时，，则在区间单调递减，所以B正确；
对于C，，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得或，所以在有3个零点，所以C错误；
对于D，当时，，当时，，当时，，结合函数的图像可得的值域为，所以D错误，
故选：B
5．A
【分析】由二倍角公式化简，判断符号后去根号后计算
【详解】
故选：A
6．A
【分析】根据函数为奇函数求出，再根据三角函数的变换规则求出，根据的周期性，求出，即可得到的解析式，再代入计算即可；
【详解】解：因为函数为奇函数，所以，，因为，所以，所以，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所以
因为函数的最小正周期为，所以，解得
所以，所以
故选：A
7．B
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得cosA 和cosB的值，可得cos（A+B）＝cosAcosB﹣sinAsinB 的值，再根据A+B的范围，求得A+B的值．
【详解】，均为钝角且，，，，
①，又，，②，由①②，知.
故选B
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，正确判断角的范围是关键，属于基础题．
8．B
【分析】根据诱导公式和二倍角的正弦公式可得，再求出的增区间，，，根据列式可解得结果.
【详解】由题得，
由，，
得，，
所以的单调递增区间为，，
因为函数在上单调递增，
所以，
所以，又＞0，所以.
故选：B.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，诱导公式，考查了正弦函数的单调区间，属于中档题.
9．B
【分析】根据的奇偶性排除A；计算的值可排除C、D，进而可得正确选项.
【详解】函数的定义域为，
，
所以 是奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，
当时，且，
故排除选项C和D，
故选：B.
10．B
【解析】先对已知函数进行化简，然后结合余弦函数与二次函数的单调性及复合函数的单调性的性质，结合选项即可判断．
【详解】∵，
，
令，则，
则，开口向下，对称轴，
当，不单调，不符合题意，
当时，单调递减且，即，
根据二次函数的性质可知，当，函数单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增．
故选：
【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，二次函数的性质的应用是求解问题的关键．
11．D
【详解】对于，将函数的图象向左平移个单位后得到函数，故 错；对于，函数图象是轴对称图形，不是中心对称图形，故 错；对于 , 函数 ,时，函数不取最值，所以 错；
， 单调递增，成立故选.
【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的图象变换以及函数的对称性与单调性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
12．A
【分析】由正切函数的最小正周期公式求出，将点代入求出，得出的解析式，根据正切函数的对称中心和利用整体代入法得出，即可求出对称中心.
【详解】解：已知函数的最小正周期为，
，即函数，
其图象过点，
，而，，
则函数，
令，求得，，
则该函数的对称中心为，，.
故选：A.
【点睛】本题考查正切函数的图象和性质，以及利用整体代入法求正切型函数的对称中心，考查分析和运算能力.
13．D
【分析】根据题意可确定为函数的最小正周期，结合求出，再根据在区间有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.
【详解】由题意知为函数的最小正周期，故，
由得，即，
由于，故，
在区间有且只有三个零点，故，
且由于在上使得的x的值依次为，
故，解得，即，
故选：D
14．B
【分析】利用最小正周期排除A；利用对称性排除D；利用单调性排除C；分析B对应函数的性质作答.
【详解】函数的最小正周期为，A不是；
函数中，当时，，则图象关于直线不对称，D不是；
函数中，当时，，则在上单调递减，C不是；
函数的最小正周期为，当时，，则图象关于直线对称，
当时，，函数在上单调递增，B是.
故选：B
15．B
【解析】根据对称中心和对称轴可求出 的集合，再根据的范围和零点的个数，可确定满足条件的的值，最后选择符合条件的的个数.
【详解】由题意得，，，两式相加得，
又因为，代入中，
得.当时，记，
令，得，
则，至多有2个实数根，
，解得，
结合，
观察可知，符合条件.
故选：B.
【点睛】三角函数的对称中心为，则.
三角函数的对称轴为，则.
16．C
【分析】令，，则,，结合条件可得有4个整数符合题意，可求出的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.
【详解】由函数，
令，可得，，
因为在区间上有且仅有4个极值点，即可得有且仅有4个整数符合题意，
解得，即，可得，
即，解得，即③正确；
对于①，当时，，即可得，
显然当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；即①错误；
对于②，的最小正周期为，易知，
所以的最小正周期可能是，即②正确；
对于④，当时，；
由可知，
由三角函数图象性质可知在区间上单调递增，即④正确；
即可得②③④正确.
故选：C
【点睛】方法点睛：求解三角函数中的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，特别注意端点处的取值能否取到等号即可.
17．A
【分析】设半径为，计算得到，，找出对应图像得到答案.
【详解】设半径为，则，
，故，
故选：
【点睛】本题考查了函数图像的识别，计算出函数表达式是解题的关键.
18．B
【分析】利用三角函数性质可得，代入验证检验可得①正确；②错误；根据正弦函数单调性利用整体代换法可得③错误；由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，即任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，可得④正确.
【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为可得，即，得；
将的图象向右平移个单位长度后可得，
其图象关于y轴对称，所以为偶函数，则，，
解得，，由可知当时，符合题意；
由可得；
因此；
对于①，当时，，取得最大值，
所以是的一个对称轴，即①正确；
对于②，当时，，
所以不是的一个对称中心，即②错误；
对于③，当时，可得，又在上不单调，
所以在上不是单调递增的，所以③错误；
对于④，若，由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，
所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，
由的周期为可得，，即④正确；
所以正确的个数只有①和④共2个.
故选：B
【点睛】方法点睛：求解三角函数图象性质问题时，要充分利用已知条件并结合图象特征求出解析式，再由检验法或整体代换法判断结论是否正确.
19．B
【分析】
A选项，平方后利用辅助角公式化简得到，得到为函数的周期，A错误；
利用整体法求解函数的对称轴方程，B正确；
首先求出，，画出上的的函数图象，问题等价于有两个解，
数形结合得到，无解，C错误；
D选项，的根转化为与交点横坐标，画出图象，结合对称性求解.
【详解】，.
，.
对于A，，
为的周期，A错误；
对于B，的对称轴方程为.
（）.即（）.B正确.
对于C，对，有，
∵在上单调递增，
，
（，2），等价于有两个解，
当时，，显然无解，
不妨设，画出在的的图象，如图所示：
.
或.无解.故C错误；
对于D，的根为与交点横坐标.
有奇数个交点，
，
且，，，，，
，，，，
D错误.
故选：B.
【点睛】较为复杂的函数零点问题，通常转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解.
20．D
【解析】求出的值，取，然后对函数在区间上是否单调进行分类讨论，利用绝对值三角不等式结合辅助角公式可求得的最小值.
【详解】由于函数的最小正周期为，则，.
不妨取，则.
若函数在区间上单调，则，
若函数在区间上先增后减，
则；
若函数在区间上先减后增，同理可知的最小值为.
，综上可知，的最小值为.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦型函数在区间上最值的求解，涉及绝对值三角不等式的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题.
21．CD
【分析】A.分析即可知单调性；
B.由向右平移两个单位得到，可知其单调情况；
C.由三角函数的性质可作结论；
D.由复合函数的单调性分析作答；
【详解】A.在上，越大，越小，越小，为减函数；
B. 向右平移两个单位得到，在上为减函数，故在上为减函数；
C. 对于，当时，由于在上为增函数，故在上为增函数；
D. 对于，当，越大，越小，越大，故在上为增函数.
故选：CD
22．ABD
【分析】对于A，根据同角三角函数的平方式以及角的大小，利用同角三角函数的商式关系，可得答案；
对于B，根据象限角的取值范围，可得答案；
对于C，根据扇形的周长公式以及面积公式，可得答案；
对于D，根据象限角的三角函数取值范围，可得答案.
【详解】对于A，由，则，
所以，故A正确；
对于B，由是第二象限角，则，
所以，即是第一或第三象限角，故B正确；
对于C，由题意设扇形的周长为C，圆心角为，所在圆半径为，
则，则，解得，
扇形的面积，故C错误；
对于D，由是第四象限角，则，即，
所以点在第四象限，故D正确.
故选：ABD.
23．BD
【分析】根据三角函数模型中各参数的意义求函数的解析式，再分别代入选项，判断函数的单调性，以及函数值.
【详解】由题，，，，故，
又当时，，且，，
所以，故A错误：
当时，，所以函数在是单调递增的，故B正确：
当时，，所以函数在是单减的，故最小值为，故C错误：
当时，，的横坐标为，又，此时点，为水车直径，故，故D正确．
故选：BD
【点睛】本题主要考查了的实际运用，需要理解各参数的实际意义，结合题意求出解析式，再求解有关性质，属于中档题
24．ACD
【分析】利用余弦型函数的奇偶性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；在时解方程，可判断C选项；对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当，时，为偶函数，A对；
对于B选项，当，时，，
当时，，此时函数在区间上不单调，B错；
对于C选项，当，时，，
当时，，
由可得，解得，
此时在区间上恰有个零点，C对；
对于D选项，当，时，，
因为，则，
①若，即当时，
函数在区间上单调递增，
则
；
②若时，即当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，，
因为，
则，，
所以，；
③若，即当时，
函数在区间上单调递减，
则
；
④若时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，
因为，
则，，
所以，.
综上所述，，D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数基本性质的综合，难点在于判断D选项，要注意对实数的取值进行分类讨论确定函数在区间上的单调性，求得、的值或表达式，结合三角函数的有界性来求解.
25．CD
【分析】根据函数的零点的个数，求出参数的范围，再判断函数的单调性、对称性和方程根的个数.
【详解】由题意，，
由题意，不一定是函数的对称轴，所以A错误；
当时，得，故；
，所以D正确.
因为，则的根分别可由或或求出，共有3个根；
当时，的根分别可由或求出，共2个根；
当时，的根分别可由或或求出，共3个根；所以B错误；
当时，得，
由，得，所以，此时在上单调递增，所以C正确.
故选：CD.
【点睛】本题重点考查三角函数的图象与性质，难度较大，做题时注意利用整体法判断：即通过将作为整体，借助的图象和性质来进行判断.
26．,
【解析】解不等式即可得定义域.
【详解】要使函数有意义,需,即.
结合正弦曲线可知,.
故定义域为,.
故答案为：,.
【点睛】本题考查含的函数定义域，是基础题.
27．
【详解】试题分析：由.图像向左平移个单位可得.所得图像对应的函数为偶函数.所以.所以的最小值是.
考点：1.行列式的运算.2.三角函数的图像的变化.3.三角函数的性质.
28．
【分析】根据任意角三角函数的定义可得，设角绕点逆时针转动后得到角，则，结合诱导公式求，进而可求点的坐标.
【详解】若角的终边上一点的坐标为，且，
可得角为第三象限角，且，解得或（舍去），
即点的坐标为，可得，
设角绕点逆时针转动后得到角，则，
可得，
且，
所以此时点的坐标为.
故答案为：.
29．
【分析】根据余弦型函数的基本性质可得出关于、的方程组，解出、的表达式，再结合函数与方程的关系，将问题转化为存在唯一的，使得函数取到最大值，且，结合三角函数的基本性质，求出的范围，由大到小进项检验，即可求得的最大值.
【详解】因为函数，
对都有，且是的一个零点，
则，解得,
因为函数在上有且只有一个零点，
则方程在上有且只有一个根，
因为，所以，存在唯一的，使得函数取到最大值，且，
则，解得，
令，则，且，
所以，、的奇偶性相同，
由可得，解得，即，
当时，，为奇数，则，所以，，
由可得，
此时，当或时，函数取最大值，不合乎题意；
当时，，为偶数，，即，
由可得，
此时，当时，函数取最大值，合乎题意.
综上所述，的最大值为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
30．
【分析】考虑在上无极大值点和有且只有一个极大值点的取值范围，取其补集后可得所求的取值范围.
【详解】令，解得，.
若在上无极大值点，
则存在实数，使得，
整理得到，解得，
因为且存在，故，或，
故或.
若在上有且只有一个极大值点，
则存在实数，
使得，
或，
解得①或者②，
对于①，因为且存在，故且，
故整数满足，
当时，，当时，，
当时，，
故
对于②，同理可得
综上，在上无极大值点和有且只有一个极大值点时，
.
故函数在上至少存在两个极大值点，.
故答案为：.
【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的极值点的个数，此类问题应该转化为不等式组的整数解的存在性的讨论，注意利用所得范围的端点的大小结合变量的整数性来确定变量的有限的整数解，本题属于难题.
31．（1），它是第一象限角；（2） －5×2π＋，它是第四象限角．
【分析】（1） 由可得答案．
（2）由－1485°＝－5×360°＋315°可得答案.
【详解】解：（1） ，它是第一象限角．
（2）－1485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角.
32．
【解析】确定，故，化简得到答案.
【详解】
【点睛】本题考查了三角函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
33．
【分析】将分式利用二倍角公式变形为，再将分式进行约简变形得出，然后由同角三角函数的基本关系求出的值，代入可得出答案．
【详解】原式，
因为所以，原式.
因为为锐角，由，得，所以，原式
【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系进行求值，解题的关键就是利用二倍角公式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．
34．(1) T=π，单调增区间为， (2)
【分析】（1）化简函数得到，再计算周期和单调区间.
（2）分情况的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案.
【详解】解：（1）函数
故的最小正周期．
由题意可知：，
解得：，
因为，所以的单调增区间为，
（2）由（1）得
∵∴，
∴，
若对任意的和恒成立，
则的最小值大于零．
当为偶数时，，所以，
当为奇数时，，所以，
综上所述，的范围为.
【点睛】本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
35．（1）；（2）.
【分析】（1）本题可根据正弦函数的单调性得出，然后通过计算即可得出结果；
（2）首先可通过解得或，然后绘出函数在区间上的图像，再然后将“有三个不同的实数根”转化为有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解，最后分为或、、、四种情况进行讨论，即可得出结果.
【详解】（1）令，
解得，
故的单调递增区间为，
（2）等价于，
解得或，
因为，所以，，
如图，绘出函数的图像，
方程有三个不同的实数根等价于有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解，
①当或时，无解，不符合题意；
②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；
③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；
④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意，
综上，m的取值范围为．
【点睛】本题考查三角函数单调区间的求解以及三角函数图像的综合应用，可借助正弦函数、余弦函数以及正切函数的单调性来求解三角函数的单调区间，考查数形结合思想以及分类讨论思想，考查推理能力，是难题.
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