人教A版2024年高考数学难点专题必修二难点 平面向量2（答案 解析）

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必修二难点 平面向量2
一、单选题
1．下列命题中假命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于
D．共线的单位向量都相等
2．已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点O在的内部 B．点O在的边上
C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部
3．已知单位向量，满足，若向量，则（ ）．
A． B． C． D．
4．已知向量，满足，与的夹角为，且实数x、y满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ）

A． B．
C． D．
6．已知的三个顶点及平面内一点满足，下列结论中正确的是（ ）
A．在的内部 B．在的边上
C．在的边上 D．在的外部
7．在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，为边上的中线，，设，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
9．王凯旋观测远方等速率垂直上升的热气球，在上午10：00热气球的仰角为，到上午10：10仰角变成，请利用下表判断到上午10：30时，热气球的仰角最接近下列哪一个度数？（ ）
0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682
0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731
0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933
A． B． C． D．
10．在平面四边形ABCD中，，若，则（　　）
A． B．2 C． D．
11．如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知在中，，，，点为边上靠近的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．半径为的扇形的圆心角为，点在弧AB上，且，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
14．是钝角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则最大边c取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知， ，向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．在中，，为线段上的点，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
18．在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
20．如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
21．已知向量，，，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
22．下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．中，点M是边的中点，，则一定不是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
24．设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别是，，，则正确的是（ ）
A．为的外心
B．为的重心
C．为的垂心
D．为的内心
25．在中，P，Q分别为边AC，BC上一点，BP，AQ交于点D，且满足，，，，则下列结论正确的为（ ）
A．若且时，则，
B．若且时，则，
C．若时，则
D．
三、填空题
26．已知向量，，且与共线，则 ．
27．在中，M是BC的中点，，点P在AM上，且满足，则 ．
28．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是 ．
29．已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
30．已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，，则的最大值是 .
四、解答题
31．在平面直角坐标系xOy中已知四边形ABCD是平行四边形，，.
(1)则等于多少？
(2)求的模？
32．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小:
(2)若点为的中点，且,求的值的值
33．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，作，连接围成梯形中，，，求四边形的面积.
34．如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
(1)若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图①，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
(2)若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得为正三角形，或者如图③，使得平行，且垂直，则两种方案的的面积分别设为，，则和哪一个更小？
35．如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B），记的面积为．
(1)记，求的表达式；
(2)若
①求的取值范围；
②设，记，求的最小值．
参考答案：
1．D
【分析】利用相反向量的概念可判断A选项的正误；利用相等向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量的定义可判断C选项的正误；利用共线向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，与互为相反向量，这两个向量的长度相等，A选项正确；
对于B选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B选项正确；
对于C选项，只有零向量的模等于，C选项正确；
对于D选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D选项错误.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题.
2．D
【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.
【详解】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．
故选：D
3．A
【分析】计算出及，利用向量余弦夹角公式计算，再利用平方关系求出.
【详解】因为，是单位向量，
所以，
又因为，，
所以，
，
所以，
因为，
所以.
故选：A.
4．B
【分析】根据题意结合数量积的定义和数量积的运算律整理可得，再利用不等式运算求解.
【详解】由题意可得：，
∵，则，即，
∴，
又∵，当且仅当时等号成立，
即，整理得：，则，
∴当时，的最大值为2．
故选：B．
5．D
【分析】过作，得到，在中，由正弦定理得到，进而求得的长.
【详解】过作，交于点，
因为在点处测得点的仰角为，可得为等腰直角三角形，所以，
因为，所以，
在中，由正弦定理得，
又由，
所以，
则.
故选：D

6．C
【分析】将化简，可得，即可选出答案.
【详解】因为
所以
即，
所以点为中点.
故选：C.
7．C
【分析】利用同角三角函数基本关系式可得，进而可得，再利用正弦定理即可得出．
【详解】解：，．
，
．
．
由正弦定理可得：，
．
故选：．
【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．C
【分析】求出，，利用向量平行的性质可得结果.
【详解】因为,
所以，
因为，则，有：
，
由可知，解得．故A，B，D错误.
故选：．
【点睛】本题主要考查平面向量的运算，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
9．B
【分析】假设10:10分，气球在处，此时距离地面垂直距离为，仰角为，即，到上午10：10仰角变成，此时气球又上升了距离到达处，，到上午10：30时，气球又上升了距离到达处且，此时即为所求，进而根据三角关系求解即可得答案.
【详解】解：如图，假设10:10分，气球在处，此时距离地面垂直距离为，仰角为，即，
到上午10：10仰角变成，此时气球又上升了距离到达处，，
到上午10：30时，气球又上升了距离到达处，此时即为所求.
因为热气球是等速率垂直上升的，所以，
所以，，
所以，
，
所以根据表中数据得
所以上午10：30时，热气球的仰角最接近.
故选：B
10．A
【分析】建立坐标系，利用平面向量的坐标法求解.
【详解】以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系（点D在x轴上方），
设，则，
，
因为，所以
所以，解得，所以.
故选：A.
11．D
【分析】利用相等向量的定义判断选项AB，利用平面向量的三角形法则判断CD．
【详解】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；
对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；
对于C，利用三角形法则知，故C错误；
对于D，利用三角形法则知，故D正确；
故选：D
12．D
【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：
，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选：D.
13．B
【分析】以为坐标原点, ,所在直线分别为建立直角坐标系，分别写出的坐标，再根据向量坐标的加法运算即可得出答案.
【详解】解：以为坐标原点, ,所在直线分别为建立直角坐标系，
则，
，
，
，
.
故选：B.
14．B
【分析】由与的值，利用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出的取值范围，然后再由三角形为钝角三角形，得到小于0，利用余弦定理表示出，把与的值代入，根据小于0列出关于的不等式，求出不等式的解集，取范围的公共部分，即可得到最大边的取值范围．
【详解】解：，，
，即，
又为钝角三角形，最大边为边，
所以角为最大角，故，
根据余弦定理得，
即，即，
解得：，
，
则最大边的取值范围是，．
故选：B．
15．B
【分析】由题意可得，故建立坐标系，确定向量的坐标，根据结合几何意义确定动点的轨迹方程，利用圆的相关知识解决问题.
【详解】由题意，得：，即有，
如图示，设，
故不妨设，则，则 ，
设，则 ，因为，故可得，
所以C点在以AB为直径的圆上运动，
在中， ,AB的中点为 ，
则以AB为直径的圆的方程为 ，
故的最大值为，最小值为，
即的取值范围是，
故选：B
【点睛】本题考查了向量的数量积的运算以及向量的模的应用，综合性较强，解答时要能根据条件灵活转化，建立坐标系，结合几何意义解决问题，本题的关键就在于将问题转化为圆上的点到原点的距离的最值问题.
16．B
【分析】转化，结合余弦定理，即可求解x,得到.
【详解】不妨设
由余弦定理：
联立得到：
故选：B
【点睛】本题考查了解三角形和向量综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
17．A
【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
18．C
【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题.
【详解】，
，
∴，即，为锐角，
∴，又，
由正弦定理可得，
所以
，其中，，
因为为锐角三角形，
所以，则，
即：，
所以，又，
∴，即，
故的周长的取值范围是.
故选：C.
19．C
【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】如图，因为，
所以，同理，，
所以为的垂心。
因为四边形的对角互补，所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又
．
由奔驰定理得.
故选C．
【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
20．C
【分析】线段上取点E使得，结合已知可得，进而有，设，，再结合相关三角形面积、线段的数量关系得，进而得，即可求最大值.
【详解】线段上取点E使得，又，
则，故，
所以，则，
设，则.
由上易知，且，而，
所以，则，
结合及，且，
由三角形内角性质，所以，
综上，.
故选：C

【点睛】关键点点睛：线段上取点E使得，利用向量加减、数乘整理题设条件为，进而得到相关三角形面积、线段的数量关系，结合及三角形面积公式求最值.
21．AD
【分析】根据平面向量基底的性质，结合共线向量的性质进行判断即可.
【详解】A：假设，则有，显然不成立，故向量，不是共线向量，所以符合题意；
B：，因为，所以，是共线向量，因此不符合题意；
C：，因为，所以，是共线向量，因此不符合题意；
D：，，假设是共线向量，则有显然不成立，故向量，不是共线向量，所以符合题意，
故选：AD
22．AB
【分析】根据向量数乘的含义可判断A；根据数量积的运算律可判断B，C，D.
【详解】根据向量的数乘的含义可知向量的数乘的结果仍是向量，故，A正确；
根据向量的数量积的运算律可知，B正确；
根据数量积的含义可知是一个实数，故是与共线的向量，
同理是与共线的向量，但是不一定共线，
故不一定成立，C错误；
当为非零向量且方向相反时，，而，
即，D错误，
故选：AB
23．ABC
【分析】根据向量的加法、减法运算及数量积的运算求解即可.
【详解】因为点M是边的中点，
所以,
故由可得,
所以,
即,
故选：ABC
24．BCD
【分析】由三角形四心的定义，利用向量共线定理、向量垂直的几何意义和平面几何的知识，即可得出结果.
【详解】对于A：当为三角形的外心，取的中点，，则，，即，
反之，若，取的中点，则，即，
即，只能得到在的垂直平分线上，不能得到为三角形的外心，故A错误；
对于B：当为三角形的重心，为中线的交点，延长交于点，
可得，所以，.
反之，取的中点，若，则，
则可得，，三点共线且，即为三角形的重心，故B正确；
对于C：当为三角形的垂心，，
同理可证，即，反之也成立，故C正确；
对于D：当为三角形的内心，为三角形的角平分线，则，，
如图过A作CF的平行线交BE的延长线于点N，过A作BE的平行线交CF于点M，
则四边形为平行四边形，
，
所以，反之也成立，故D正确；
故选：BCD
25．AD
【分析】根据向量共线定理的推论，得到，，代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB选项，对上式变形得到，假设成立，推导出，得到矛盾，故C错误，根据向量共线定理的推论得到，，变形得到.
【详解】由题意得：，，，
，即
即，
所以，
因为三点共线，
所以，
当且时，，
解得：，
，，
，所以，
即，
即，
所以，
因为三点共线，
所以，
当且时，，
解得：，
故A正确；
若且时，，，
解得：，B错误；
，变形为：，①
若时，则，代入①式得：
假设成立，则，解得：，
此时，显然无解，故假设不成立，故C错误；
同理可得：，，
所以，，
所以
D正确.
故选：AD
【点睛】利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中进行适当变形，然后找到等量关系
26．
【分析】利用共线解出值，根据数量积坐标公式解出结果.
【详解】向量，且与共线，
得，，所以．
故答案为：.
27．
【分析】根据题意，由题设条件可得，即可得，再由线段的长度即可得到结果.
【详解】因为M是BC的中点，，，
则
故答案为：.
28．
【分析】根据平面向量运算法则得到，利用数量积公式得到，设，从而得到，结合求出取值范围.
【详解】因为是的中线，所以，
故，
因为，设，则，
所以，
故当时，取得最小值，最小值为，
当或3时，.
故答案为：.
29．/0.75
【分析】先由条件化得，得到三点共线且，再由集合A判断得为的角平分线，即，建立直角坐标系，利用两点距离公式得到的轨迹为圆，从而将不等式转化为，进而求得的最小值.
【详解】由得，，即，
故三点共线且，
由，可得，
即，则为的角平分线，
由角平分线的性质定理可得，
以为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图，
不妨设，则，则，，，
由得，，整理得，配方得，
故点是以为圆心，为半径的圆，则，
所以要使得不等式对恒成立，只需恒成立，
得对恒成立，
易知在上单调递减，所以.
故答案为：.
30．
【分析】由已知，结合向量数量积的运算律可得，作，，，则，即的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，由，得且，记，则，当与圆相切时，最小，即可求的最大值.
【详解】将两边平方，得，
如图，作，，，则，
∴的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，再以为圆心作单位圆，
由，得且，
∴当在圆上运动时，在圆上的轨迹是、，
要使最大，记，则，当与圆相切时最小，
此时，即，
∴的最大值是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据向量的几何性质，作，，，的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，再以为圆心作单位圆，在圆上运动时，的在圆上轨迹是、，记，则，当与圆相切时最小，即此时的最大.
31．(1)5；
(2).
【分析】（1）根据向量加法法则得出，结合向量的数量积的坐标表示即可求解；
（2）根据向量减法法则得出，结合平面向量模的坐标表示即可求解.
【详解】（1）因为四边形是平行四边形，
所以，
则，
（2）因为，
所以，
即的模为.
32．（1）；（2）
【详解】分析：第一问利用正弦定理将题中的条件 转化为 ，从而求得，结合三角形内角的取值范围，求得，第二问利用余弦定理，得到 ，将代入上式，整理得到，结合正弦定理求得.
详解：（1）在中，
由正弦定理得 ，
，，则，，
（2）在中，由余弦定理得 ，
在中，由余弦定理得 ，
， ，整理得，，
由正弦定理得
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意对正弦定理和余弦定理的正确使用，建立关于边或角所满足的关系，在求角的过程中，得到，在求角的时候，必须将角的范围写上.
33．答案见解析
【分析】选①：由正弦定理的边化角公式得出，选②：由正弦定理的角化边公式以及余弦定理得出，选③：由面积公式以及数量积公式得出，由余弦定理得出，，由等面积法得出，最后由三角形面积公式得出四边形的面积.
【详解】选①：由正弦定理可知，.
即.
因为，所以.
因为，所以.
由余弦定理可知，，即
因为，
所以
又，即，所以
四边形的面积为
选②：由正弦定理可知，，化简得
由余弦定理可知，
因为，所以.
由余弦定理可知，，即
因为，
所以
又，即，所以
四边形的面积为
选③：由数量积公式以及面积公式可得，
即，因为，所以.
由余弦定理可知，，即
因为，
所以
又，即，所以
四边形的面积为
34．(1)百米
(2)答案见解析.
【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出即可求得连廊的长；
（2）分别表示出方案②和方案③的面积，利用三角函数求最值以及二次函数求最值即可.
【详解】（1）解：点是等腰三角形的顶点，且，
且由余弦定理可得：
解得：
又
在中，，
在中，由余弦定理得
解得，
连廊的长为百米.
（2）解：设图②中的正三角形的边长为，，（）
则，，
设，可得
在中，由正弦定理得：
，即
即化简得：
（其中，为锐角，且）
图③中，设，
平行，且垂直
，，
，
，
当时，取得最大值，无最小值，
即
即方案②面积的最小值小于方案③面积的最大值，即大小不确定.
【点睛】思路点睛：在实际应用中求面积最值，我们一般将面积表示为函数形式，转化为求函数的最值，然后利用三角函数求最值、二次函数求最值、基本不等式求最值以及导数求最值.
35．(1)（）
(2)① ；②
【分析】（1）利用三角形面积公式和数量积的定义，写出的表达式；
（2）由，将数量积转化为三角函数，求函数值域即可；
利用向量共线将用t表示，求函数的最值.
【详解】（1）因为，，
所以（）．
（2）①设，，则，
，
所以，，
又，所以，则．
②设，则，因为，
所以，
所以，
因为，所以，即，
化简得，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
【点睛】因为，M，C三点共线，所以表示向量和的数乘关系，设，借助，可得.
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