人教A版2024年高考数学难点专题必修二难点 平面向量3（含解析）

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必修二难点 平面向量3
一、单选题
1．设的内角所对的边分别为，若，则角（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，网格纸中小正方形的边长均为1，A，B，C，D，E，F，G这7个点都是小正方形的顶点，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
5．已知平面向量，，且，则（ ）
A．4 B． C． D．5
6．在平面四边形中，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知的重心为，若向量，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，点满足.若存在点，使得，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．在中，时，角A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．在中，角的对边分别是，已知，.若，则的面积为（ ）
A． B．或 C． D．1或2
13．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）．若，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．若，，均为单位向量，且，，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．1
15．设是所在平面内的一点,若且.则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
16．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．已知是三角形内部一点，满足，则（ ）
A． B．5
C．2 D．
18．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为　　
A． B． C． D．
19．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
20．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
21．下列说法中正确的是（ ）
A．两个非零向量，，若，则
B．若，则有且只有一个实数，使得
C．若，为单位向量，则
D．
22．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
23．下列说法正确的是（ ）
A．已知，，若与的夹角为钝角，则．
B．在中，若，则为等边三角形．
C．在中，若，则为等腰三角形．
D．已知的外接圆的圆心为O，，，M为BC上一点，且有，则．
24．已知在中，角所对的三边分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则
C．若，则的面积有最大值
D．若的面积为，则的最小值是
25．已知为直角三角形，且，.点P是以C为圆心，3为半径的圆上的动点，则的可能取值为（ ）
A．-3 B． C．20 D．15
三、填空题
26．已知向量，，若，则实数 ．
27．在锐角中，若，则的范围 ．
28．在中，，，面积，则 ．
29．已知的面积等于1，，则当的三边之积取得最小值时， .
30．如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为
四、解答题
31．已知，，且与的夹角为60°，求．
32．已知的对角线相交于点O，若，，试用，分别表示，，，．
33．已知向量，，.
(1)求与的坐标；
(2)求的面积.
34．在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
35．如图，已知是边长为1的正的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点．

(1)当时，求的值；
(2)当时．
①求的值（用含，的式子表示）；
②若，分别求集合中最大元素与最小元素的值．
参考答案：
1．C
【分析】由已知条件，根据余弦定理求出，进而求出角的大小即可得答案.
【详解】解：由，得，
所以，又，
所以，
所以，
故选：C.
2．C
【分析】直接利用三角形面积公式进行计算.
【详解】的面积为.
故选：C
【点睛】本题考查三角形面积公式，属于基础题.
3．D
【分析】直接由图中各线的位置关系判断各个选项即可.
【详解】由图可知且，所以四边形为平行四边形，
所以，又，所以，
所以，则，
则，所以D正确；
而与显然不平行，所以与不平行，
又四边形为矩形，所以与不垂直，
故选：D.
4．D
【分析】根据余弦定理求出，再根据勾股定理可判断三角形为直角三角形.
【详解】由余弦定理得，
满足，
为直角三角形.
故选：D.
【点睛】本题考查余弦定理解三角形判断形状，属于基础题.
5．D
【分析】先将化简，进而求出m，得到的坐标，最后求出答案.
【详解】由，得，所以，则，，所以.
故选：D.
6．A
【分析】由平面向量的线性运算结合图形的几何性质计算即可.
【详解】
由是的中点，且可得，即四边形为平行四边形，
由，
故，
故选：A
7．A
【分析】由三角形法则和平行四边形法则求解即可.
【详解】由三角形法则和平行四边形法则可得
，则.
故选：A
8．D
【详解】分析： 由，可得，
求得，解得，从而可得结果.
详解：，
∴，
，
可得，
∵
∴.
故选：D.
点睛：本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理的应用，属于难题．向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
9．A
【分析】解法一：根据内心恒等式，利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值，进而得解.
解法二：将向量化为单位向量，根据向量的和的平行四边形法则及菱形的性质可以得到存在实数使得，进而得解；
解法三：设直线交于,由三角形内角平分线的性质,进而求得，根据共线，可得所求.
【详解】解法一：O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a
则，
所以，
所以，
所以.
又，
所以，
所以.
解法二：如图，设，，设，
则内心在射线上，所以，
∴；

解法三：设直线交于,则,,,
∴，又∵内心O在射线AD上，所以存在常数>0,使得，∴.

【点睛】本题考查平面向量的几何应用，可以有多种方法解决，其中第一种方法应用了三角形内心的一个向量恒等式.
三角形内心恒等式：；
重心恒等式：；
垂心恒等式：；
外心恒等式：,
是很有意思的几个个恒等式．
这几个恒等式又都是面积恒等式：的特例，可以注意理解与掌握.
10．C
【分析】由向量的数量积运算求得，，再利用夹角公式可求得答案.
【详解】解：因为，，，所以，
，
因此，．
故选：C．
11．B
【分析】根据正弦定理得，再利用余弦定理结合正弦函数图象与性质即可得到角A的范围.
【详解】∵中，，
∴由正弦定理化简得：，即，
∴，
∵A为三角形的内角，∴，
则A的范围为.
故选：B.
12．B
【分析】根据正弦定理角化边可得或，分两种情况解三角形可得结果.
【详解】由及正弦定理得，
得或，
若，因为，，所以，，
若，则三角形为直角三角形，，
因为，，所以，，.
综上所述：的面积或.
故选：B
13．C
【分析】设，由得，再结合求得，即可得出答案.
【详解】
设，因为，点O在线段CD上（与点C，D不重合），所以，
所以
因为，所以，所以.
故选：C．
14．A
【解析】由题意可知，设，，得，由方程有解，知，由此能求出的最大值
【详解】解：，，均为单位向量，
且，，
，
设，，得：，
，
方程有解，
，
，
的最大值为2．
故选：A．
【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意平面向量的数量积和换元法的灵活运用．
15．A
【详解】由，得，
即，
所以，
设D为AB的中点，则，故；
因为，
所以，
所以，
设BC的中点为E，同上可知，
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点．
所以P是的外心．选A．
【点睛】三角形“四心”的向量表示
①在中，若或，则点是的外心；
②在中，若，则点是的重心；
③在中，若，则直线过的重心；
④在中，若，则点是的垂心；
⑤在中，若，则直线通过的内心．
16．A
【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】由题知，
即
由正弦定理化简得
即
故选：.
【点睛】方法点睛：边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；
（2）角化边：
①利用正弦定理：，，
②利用余弦定理：
17．C
【分析】令，，则，由向量加法的平行四边形法则可知为平行四边形，由，可得答案.
【详解】令，，则，
由向量加法的平行四边形法则可知为平行四边形，
所以，因为，，
所以，
．
故选：C．
18．B
【分析】可根据条件画出图形，根据图形设，且，则又可用表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以，最大值为1，所以的最大值为．
【详解】如图，设，，
则：；
又；
；
；
的最大值为．
故选B．
【点睛】考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，以及平面向量基本定理．
19．C
【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】如图，因为，
所以，同理，，
所以为的垂心。
因为四边形的对角互补，所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又
．
由奔驰定理得.
故选C．
【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
20．C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【详解】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
21．AD
【分析】A中将等式两边平方整理有；B中若时实数取值任意或不存在；C中单位向量模相等，但不一定为相等向量；D中有相反向量的性质有，进而可知各项的正误.
【详解】A：由已知得：，整理可得，故. 正确；
B：由，则，而当时，可为任意实数或不存在. 错误；
C：由，为单位向量，即，而，不一定相等. 错误；
D：根据相反向量，知. 正确.
故选：AD
22．CD
【分析】求出与即可判断A，B，C正误，根据向量共线的坐标表示即可判断D的对错.
【详解】解：，，所以，
因为，所以.
故选：CD.
23．BCD
【分析】根据数量积的运算律及数量积的坐标表示一一计算可得；
【详解】解：对于A：若与的夹角为钝角，则，解得，
又，即时，与共线反向，故，综上可得且，故A错误；
对于B：若，即，即，
所以，即，同理可得，即，所以为等边三角形，故B正确；
对于C：是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，
所以在的角平分线上，又，
所以，即的角平分线与对边垂直，所以为等腰三角形，故C正确；
对于D：因为，所以，
所以，
同理可得，
所以，故D正确；
故选：BCD
24．ABD
【分析】对于A，利用正弦定理即可得解；
对于B，利用余弦定理的推论即可得解；
对于C，先由余弦定理得到，从而由三角形面积公式得到，构造函数，利用导数求得的最大值，由此得解；
对于D，先由三角形面积公式得到，从而由余弦定理得到，构造函数，利用导数求得的最小值，由此得解.
【详解】对于A，由正弦定理得，即，则，
因为，所以，故是直角三角形，故A正确；
对于B，因为，，所以，
因为，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，则，
所以，
令，则，
令，得，不妨设，则；
令，得，则；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则，故C错误；
对于D，由选项C知，，故，
所以，
令，则，
令，得，则；令，得，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则，即，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题选项CD的解题关键在于利用余弦定理与三角形面积公式得到关于的关系式，跨章节构造函数利用导数求最值解决问题.
25．BD
【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，设，得到，式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，作出辅助线，得到到点距离最值，求出的取值范围，选出正确答案.
【详解】以为坐标原点，所在方向为轴正方向，所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系，
所以，，圆C的方程为，
设，
则，
式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，
连接直线，交圆C于两点，
当位于点时，到点距离最大，最大距离为，
此时最大，最大为，
当位于点时，到点距离最小，最小距离为，
此时最小，最小为，
所以的取值范围是，
其中，.
故选：BD.
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
26．
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.
【详解】因为，所以，解得．
故答案为：.
27．
【分析】根据正弦定理，边化角，然后利用锐角三角形角的范围即可求解.
【详解】由正弦定理可知,而在锐角中，, ,所以,从而有,
故答案为:.
28．/
【分析】利用三角形的面积公式求出，然后利用余弦定理求出，然后求出即可.
【详解】中，，的面积为，
所以，得：，
根据余弦定理得：解得：
所以此三角形为直角三角形，
故答案为： 或
29．
【解析】由,可得，由，可得，利用余弦定理，结合基本不等式和三角函数的性质可得，从而，进而可得答案.
【详解】设的三个内角，，对应的边分别为，，，
因为,所以
由，
可得，
，
当且仅当上式取得等号，
可得，
则，
可得，
，
在上递增，
所以．
，
所以当的三边之积取得最小值时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查了基本不等式以及三角函数的恒等变形，考查化简变形能力和推理能力，属于难题．
30．
【分析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）,求出端点G,H对应的即可求解.
【详解】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：
则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）
当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题.
31．1.
【分析】由，代入已知条件即可求出.
【详解】解：，解得.
32．见解析
【分析】由向量的减法运算以及相反向量的定义求解即可.
【详解】因为，，所以，，，.
33．(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量减法的定义即可直接求出答案；
（2）利用数量积证明，从而得到为直角三角形，然后利用即可求出的面积.
【详解】（1），
；
（2）由（1）知：，，
所以，，，
所以，即，
所以.
34．(1)
(2)
【分析】（1）根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设,,根据得到,在中,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.
35．(1)；
(2)①；②最大值为，最小值为.
【分析】
（1）根据共线，将用表示，求和后再求模长；
（2）（i）根据数量积定义计算；
（ii）将用表示，依次视为的函数讨论单调求最值.
【详解】（1）
当时，，，……，，
又为等边三角形，且边长为，为外接圆的圆心，
，且，
，
则，
；
（2）
①为等边三角形，为外接圆的圆心，，
则，，
又，分别为的等分点，又，
；
②，
；
同理可得：；；
；
令
1）当时，时，
，
，时取最大值，
则；
时，，
，时取最小值，则，
则当时，；
2）当时，
时，，
，时取最大值，则；
时，，
，时取最小值，则，
则当时，；
综上所述：的最大值为，最小值为．
【点睛】关键点点睛：求的最值利用函数的单调性求最值，先整理为的形式，视为关于的一次函数， 讨论的正负确定单调性，确定在或时取得最值，类似的，下一步再视为关于的一次函数求最值，最后再视为关于的一次函数求最值.
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