人教A版2024年高考数学难点专题必修二难点 向量1（含解析）

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必修二难点 向量1
一、单选题
1．在长方体中，与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
2．在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．如图所示，平面四边形中，，，，，，则的面积为（ ）
A．39 B．36
C．42 D．48
4．下图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆.现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP（点O在柱楼底部）.现分别从地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且，AB=米，则OP=（ ）
A．40米 B．30米 C．米 D．米
5．已知的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．某船从A处向北偏东方向航行千米后到达B处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米
7．在中，，是线段上的点，，若的面积为，则取到最大值时，的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，，AC=4，BC=3，则（ ）
A． B． C．1 D．
9．在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，已知，是方程的两个根，且，则c＝（ ）
A．4 B． C． D．
11．已知平面向量满足，若，则向量的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
12．已知，，是空间单位向量，且满足，若向量.则在方向上的投影的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知正方形ABCD的边长为1，则（ ）
A．5 B． C．25 D．41
14．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
15．O是的外心，，，则（ ）
A． B． C． D．或
16．如图，△，△是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，，则（ ）
A． B． C． D．大小不能确
17．以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为9，当面积取最大时，腰长为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
18．在△ABC中，，F为△ABC的外心，则（ ）
A．-6 B．-8 C．-9 D．-12
19．已知外接圆的圆心为O，半径为1.设点O到边，，的距离分别为，，.若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
20．已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时, 的最大值为 (　　)
A． B． C．8 D．
二、多选题
21．若都是非零向量，且，则（ ）
A．方向相同 B．方向相反 C． D．
22．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的可能取值是（ ）
A．－2 B．2
C．4 D．8
23．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若是等边三角形，则
24．在中，设，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．
C．若，则
D．若，则
25．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（ ）
A．△ABC面积的最大值为 B．的最大值为
C． D．的取值范围为
三、填空题
26．已知向量，，，且、、三点共线，则
27．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则角 ．
28．已知向量，其中，函数，且的最小正周期为，则的解析式为 .
29．若圆O的半径为2，圆O的一条弦长为2，P是圆O上任意一点，点P满足，则的最大值为 .
30．如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且．①若，则的值是 ；②若向量，则的最小值为 ．
四、解答题
31．在中，已知，求B.
32．在，①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知的内角，，的对边分别为，，，______，，，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答.
33．如图，在中，点在边上，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积.
34．已知中，角，，的对应边分别为，，，其中，，且外接圆的半径为2．
(1)求，，的值；
(2)设，，，若，求的最大值．
35．在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)求的值；
(3)求的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】由向量相等的定义即可判断.
【详解】由相等向量的定义：方向相同且大小相等的两个向量是相等向量，
故在长方体中，与相等的向量是、、，
故选：C
2．C
【分析】由余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理可得，则为钝角，即是钝角三角形.
故选：C
3．A
【分析】题意题意，四边形的面积和面积之和，中，由正弦定理，，求得， ，再由，可得，结合面积公式即可得解.
【详解】在中，由正弦定理，，
解得，
，
由余弦定理，，
即，解得；
则的面积，
故选：A．
4．C
【分析】分别在直角三角形AOP和直角三角形BOP中，求得OA，OB，进而在△AOB中，由余弦定理求得旗杆的高度．
【详解】设旗杆的高度为h，由题意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°．
在Rt△AOP中，OA，
在Rt△BOP中，OB＝h．
在△ABO中，由余弦定理，
得，
代入数据计算得到.
∴旗杆的高度约为m．
故选：C.
【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力．在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
5．A
【分析】由题设，两边平方可得，明确向量间的夹角，即可得到结果.
【详解】由题设，两边平方可得，
所以，，构成直角三角形.
，夹角，，夹角，
.
故选：A
6．B
【分析】根据题设条件画出图形，结合图形利用余弦定理计算即得.
【详解】如图，在中，，
由余弦定理得：，
所以A处与C处之间的距离为千米.
故选：B
7．A
【分析】将的面积分成两个小三角形面积和，得到关于的方程，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为，
所以，即，
因为，
所以，
等号成立当且仅当时等号成立，此时.
故选：A.
8．B
【分析】利用余弦定理求出边AB，再利用正弦定理计算作答.
【详解】在中，，
而，由正弦定理得：，
所以.
故选：B
9．B
【分析】利用正弦定理化简，再利用两角和差的正弦公式及诱导公式变形，求出.
【详解】由已知及正弦定理得：
，
又，
所以，
化简可得，
即，
因为为三角形的内角，
所以.
故选：B.
10．B
【分析】首先根据韦达定理求出，，再根据余弦定理求.
【详解】，是方程的两个根，
，，
因为，
, 是锐角三角形，
根据余弦定理可知
即，
故选：B
【点睛】本题考查解三角形和二次方程韦达定理的综合应用，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础题型.
11．C
【解析】利用向量数量积公式知代入，化简可得，然后再代入，即可求出向量的夹角.
【详解】，
，故向量的夹角为．
故选：C.
【点睛】本题考查向量数量积的应用，以及向量夹角的计算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
12．D
【解析】根据投影的计算公式，将投影化为关于的函数，然后再求函数的最大值即可.
【详解】因为，
∴，
，
∴①，
因为要求最大值，故不妨取，
令，则，
代入①式得②，
令，
故②式小于等于.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平面向量的综合应用，以及投影的概念和计算方法.属于中档题.
13．B
【分析】可画出图形，然后可得出，，，然后进行数量积的运算即可求出的值，进而得出的值．
【详解】解：如图，，，，
，
．
故选：B．
14．B
【分析】根据给定条件，利用垂直的向量表示求出，再利用夹角公式计算作答.
【详解】因非零向量，满足，由得：，解得，
于是得，而，则，
所以与的夹角为.
故选：B
15．D
【分析】根据外心的性质，结合数量积运算求解，注意讨论是否在上.
【详解】当在上，则为的中点，满足，符合题意，
∴，则；
当不在上，取的中点，连接，则，
则，
同理可得：
∵，
，
联立可得，解得，
故选：D.
16．B
【分析】构建直角坐标系，根据题意设，，，，，，再应用向量数量积的坐标运算求m、n，即可比较大小.
【详解】构建如下图示的直角坐标系，令，，，，
所以，可设，，且，，
则，，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，设点坐标，应用向量数量积的坐标运算求m、n的值或范围，比较它们的大小.
17．C
【分析】设D为AC中点，在和分别运用余弦定理得，再表示的面积，运用二次函数的性质可得选项.
【详解】如下图所示，设D为AC中点，由余弦定理，，
在中，，
∴
，
当时，S有最大值，此时，即腰长，
故选：C．
【点睛】方法点睛：正余弦定理在边角转化与三角变换在解三角形的化简和计算中具有突出的作用，主要用到了两角和与差的正余弦公式，倍角公式和辅助角公式等，还要注意公式变形及其逆用，求参数范围，则通过三角变换，解三角形，向量运算等将参变分离，用求函数最值的方法求参数的取值范围，在三角变换过程中，要紧紧围绕目标展开，且体现“统一角，统一函数，统一形式”三个统一为指导．
18．A
【分析】设△ABC的外接圆半径为r，.由余弦定理得到，和.把整理为，整体代入即可.
【详解】设△ABC的外接圆半径为r，.
由余弦定理得：，即,所以
，即.所以.
所以
因为，，
所以.
故选：A
【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：
(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；
(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．
19．B
【分析】根据题意：，则有，进而移项进行两两组合，
，进一步可以化简为：，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.
【详解】∵外接圆半径为1，∴，∴，
∴，
∴，设边，，的中点分别为M,N,P，
∴,同理：，如图1：
若点O不与M,N,P任何一点重合，则，同时成立，显然不合题意；
如图2：
不妨设点O与点M重合，由，根据中位线定理有由AB⊥AC，则，
∴.
故选：B.
【点睛】类似这样的题目，往往需要对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍.
20．C
【分析】先固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，得知点B的坐标，利用OB=BC，得，然后利用平面向量的几何意义的最小值为，，然后求得答案即可.
【详解】
如图，固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中 易知点B的坐标
因为
所以OB=BC，即
整理可得 ，所以
而的最小值为，
即
将，当时取最大值，此时
故的最大值为8
故选C
【点睛】本题主要考查了平面向量与平面几何的综合知识，利用圆的性质，平面向量的几何意义，是一道综合性较强的题目，属于难题.
21．AC
【分析】根据相等向量的概念判断各选项即可.
【详解】由相等向量的概念可知，由都是非零向量，且，
则方向相同，长度相等，故AC正确，B错误；
而，故D错误.
故选：AC.
22．BC
【分析】建立如图平面直角坐标系，设()，利用平面向量数量积的坐标表示计算，即可求解.
【详解】如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
易知正六边形的每个内角为，所以，
则，．
设，则，且.
所以．
故选：BC.
23．ACD
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.
【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；
对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；
对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确.
故选：ACD.
24．BCD
【分析】对于A直接化简表达式即可，知三角形一个角为锐角，所以无法判断三角形形状；对于B通过逆推法化简不等式，得出一个恒成立的式子，可知原不等式一定成立；对于C运用余弦定理角化边即可得出不等式；对于D先化简所给条件，再通过三角形中线向量公式与其联系起来，在两个三角形中分别运用余弦定理即可.
【详解】对于A，因为，所以，所以，所以,为锐角，无法判断是钝角三角形，故A错误；
对于B，若，则，即，在中，由余弦定理得，代入上式化简得显然成立，以上过程均可逆，故成立，故B正确；
对于C，因为，所以，即，在中，由余弦定理得，代入化简得，故，故C正确；
对于D，如下图所示，取中点，中点，根据三角形中线向量公式得，因为，所以,即,所以.在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得,化简得，故，故D正确.
故选:BCD
25．AB
【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围.
【详解】由余弦定理得：，解得：，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
所以，故，A正确；
，
其中由正弦定理得：，
所以
，
因为，所以，
故最大值为，的最大值为，
B正确；
，
故C错误；
，
因为，所以，
所以，D错误.
故选：AB
【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.
26．
【分析】先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值.
【详解】由题得，
，
因为、、三点共线，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
27．/
【分析】由正弦定理与两角和的正弦公式化简
【详解】由题意得，而，
由正弦定理化简得，故，，得
故答案为：
28．
【分析】根据数量积定义，结合二倍角公式、降幂公式和辅助角化简，然后由周期公式可得.
【详解】因为
所以
因为的最小正周期为，所以，即
所以
故答案为：
29．10
【分析】法一、以中点C为原点建系，求出圆O的参数方程，从而设，，根据，求出点坐标，从而得即可求解；
法二、由已知根据向量的线性运算求出，从而得，利用投影的定义即可求解.
【详解】解：法一、如图以中点C为原点建系，则，，，
所以圆O方程为，所以设，
因为，，
，
所以，
所以，
因为，
所以的最大值为10.
法二、连接OA，OB过点O作，垂足为C，则，
∴，
因为，所以，
所以，
，当且仅当且同向时取等号，
所以的最大值为10，
故答案为：10.
【点睛】关键点点睛：法一、建立恰当直角坐标系，求出圆O的参数方程，从而设，，根据，求出点坐标；
法二、将用，，线性表示，根据数量积的运算律求出，再利用投影的定义即可求解.
30． /0.5 /0.5
【分析】①由题知是边长为1的等边三角形，进而根据向量数量积求解即可；
②考虑到该题为高一题目，不能使用导数，故提供了另一种解法，法二仅供参考.
法一：结合图像，作，连接PF，设，利用三点共线可得，又三点共线，故可得，因此只需要考虑值最大的情况即可得到的最小值.
法二：由题知点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在正方体内的圆弧部分，进而建立直角坐标系，设点,再利用向量坐标运算得，进而构造函数，利用导数研究函数最值即可得答案.
【详解】解：①因为，，
所以是边长为1的等边三角形，
所以.
②法一：如图，作，连接PF，设，
由于共线，不妨设，又
故，
又由于共线，所以，故，
结合图像可知，当两点重合时，交于处，此时值最大，
易知，故，故.
.
法二：因为，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在正方体内的圆弧部分，
所以以点为坐标原点，如图建立坐标系，
因为正方体的边长为，
所以设点，，
所以由得，
所以，解得，
所以，
令，
所以
因为，所以，
所以在区间恒成立，
所以函数在区间单调递增，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：；.
.
【点睛】本题考查向量坐标运算，数量积运算，导数求解函数最值，考查运算求解能力，是难题；本题第二空解题的关键在于灵活利用向量共线的性质与结论，将转化为，进而考虑特殊位置点即可；而法二，将利用了导数的知识，根据题意设点，进而利用坐标运算得，再结合函数性质求解最值即可.
31．
【分析】由余弦定理化简计算即可得出结果.
【详解】在中，已知，
，,
在中，,.
32．答案见解析.
【解析】若选①利用余弦定理，可得，再利用正弦定理可求得，进而可求得，再利用面积公式求解即可．
若选②利用正弦定理将边化角，可得，即可得到三角形为等边三角形．
若选③利用辅助角公式可得，再利用正弦定理可求得，进而可求得，再利用面积公式求解即可．
【详解】解：选①.
由余弦定理，因为，所以
由正弦定理得，，所以
因为，，所以，所以
所以.
选②，由正弦定理得，因为，
所以，所以，因为，所以，
因为，，所以，
所以
选③，则，所以，
因为，所以，所以，所以
由正弦定理得，，所以
因为，，所以，所以
所以
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
33．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）先由得出，再利用两角差的正弦公式将展开，代入求值即可；
（Ⅱ）由正弦定理得到的值，再利用三角形面积公式即可.
【详解】（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以.
所以.
（Ⅱ）在中，由，，
所以.
所以.
34．(1)，
(2)
【分析】（1）根据射影定理或者正选定理边角互换化简式子：，求出A角，再根据正选定理与三角形外接圆关系，和题中式子求出三边即可；
（2）将作为基底向量表示出，再根据向量与模的关系写出关于的表达式，最后通关换元法解出的最大值.
【详解】（1）由由射影定理得
∴又，故，由得
所以
即∴综上，
（2）
∵，，∴
∵，∴
∵∴令，，∴，
∴
，当时，
35．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理和面积公式进行求解；（2）由正弦定理和三角恒等变换求解；（3）解法一：设BC中点为D，推导出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函数单调性求出AD的取值范围，从而求出的取值范围；解法二：由余弦定理和数量积运算法则求出，换元后利用三角恒等变换得到，求出答案.
【详解】（1）由余弦定理
结合可知，△ABC的面积
（2）因为，，所以，
由正弦定理，
所以，①
由于，
带入①式可知：
（3）解法1：
设BC中点为D，则
所以
如下图所示，
设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故
设，则，由余弦定理：
由于函数在时单调递减，，
所以
解法2：
由余弦定理②
由定义
所以
设，
则
由正弦定理：
其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知
注意到，
所以
所以，②式变形为，故
从而，
此时函数单调递减，而，
所以
【点睛】向量相关的取值范围问题，考查面较广，可以和很多知识相结合，基本不等式，函数值域，解三角形，三角函数等，需要对知识熟练掌握且灵活运用，本题的第三问难度较大，需要用到极化恒等式，三角函数恒等变换等知识，属于难题.
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