人教A版2024年高考数学难点专题必修四难点 数列1（含解析）

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必修四难点 数列1
一、单选题
1．设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A．7 B．12 C．15 D．31
2．数列3，8，15，24，35，…的一个通项公式等于（ ）
A． B． C． D．
3．设是数列的前项和，已知且，则（ ）
A．101 B．81 C．32 D．16
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4=0，a5=10，则（ ）
A． B．an=2n﹣5 C．an=3n﹣10 D．
5．已知等比数列的各项均为负数，若，则（ ）
A．-2 B．-4 C．-8 D．-16
6．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多-斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列为“斐波那契数列”且满足：，则（ ）
A．12 B．16 C．24 D．39
7．已知数列若，，则该数列的前六项和为（ ）
A． B． C． D．
8．定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）.配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为（ ）
A． B． C． D．
10．数列为等比数列，若，，则为
A．-24 B．12 C．18 D．24
11．已知数列满足，，则数列的前40项和　　
A． B． C． D．
12．已知数列满足且，则的前10项的和等于（ ）．
A． B． C． D．
13．在等差数列中，，，，则使的前n项和的最大自然数n是（ ）
A．4040 B．4041 C．4042 D．4043
14．我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德粒米，这是一个天文数字.年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算个格子一共能得到（ ）粒米.
A． B． C． D．
15．设等差数列的前n项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．数列满足，，，则下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．对任意，数列单调递增 D．对任意，数列单调递减
18．对于数列，若存在常数，使对任意，都有成立，则称数列是有界的.若有数列满足，则下列条件中，能使有界的是（ ）
A． B．
C． D．
19．数列中，若，则下列命题中真命题个数是（ ）
（1）若数列为常数数列，则；
（2）若，数列都是单调递增数列；
（3）若，任取中的项构成数列的子数（），则都是单调数列.
A．个 B． 个 C．个 D．个
20．数列前n项和为，且满足：，，，，下列说法错误的是（ ）
A．
B．数列有最大值，无最小值
C．，使得
D．，使得
二、多选题
21．（多选）等比数列中，，，则与的等比中项可能是（ ）
A． B．4 C． D．
22．已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
23．已知数列的前n项和为，，则下列选项正确的是（ ）
A．数列的奇数项构成的数列是等差数列 B．数列的偶数项构成的数列是等比数列
C． D．
24．已知数列的首项，且满足，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有恒成立
B．当时，有恒成立
C．当时，有恒成立
D．当时，有恒成立
25．如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
26．已知数列，，，…，，…，则是该数列的第 项．
27．在数列{an}中，已知a1＝3，且对任意正整数n都有2an＋1－an＝0，则an＝ .
28．已知等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，则使数列的前项和取最大值的正整数的值是 ．
29．定义“二元函数”如下：；例如：，对于奇数m，若任意，存在为正整数，且（彼此不同），满足，则最小的正整数m的值为 .
30．设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1，2，3…，若，，，，则的最大值是 .
四、解答题
31．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，求数列与数列的通项公式；
32．已知正项数列的前项和为，且，(且).
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
33．已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式以及；
(2)求使不等式成立的最小值n．
34．已知数列满足，（是自然对数的底数），且，令（）.
（1）证明：；
（2）证明：是等比数列，且的通项公式是；
（3）是否存在常数，对任意自然数均有成立？若存在，求的取值范围，否则，说明理由.
35．设数集S满足：①任意，有﹔②对任意x，（x，y可以取相同值），有或，则称数集S具有性质P．
(1)判断数集和是否具有性质P，并说明理由；
(2)若数集且具有性质P．
（i）当时，判断是否一定构成等差数列，说明理由；
（ⅱ）若，数集B中的每个元素均为自然数且，求数集B中所有元素的和的所有可能值．
参考答案：
1．C
【分析】设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.
【详解】设公比为，因为，，成等差数列，所以，
则，解得：或0（舍去）.
因为，所以，故.
故选：C
2．C
【分析】用排除法对选项逐一分析即可.
【详解】本题为选择题，可用排除法，对选项逐一分析，
对于A答案，展开可得数列为3,6,11……，不符合题意，故A错误，
对于B答案，展开可得数列为3,5,9……，不符合题意，故B错误，
对于D答案，展开可得数列为3,10,21……，不符合题意，故D错误，
对于C答案，展开可得数列为3,8,15,24……，符合题意，故C正确，
故选：C
3．B
【分析】分类讨论和，构造，化简得到通项公式即可求解.
【详解】时，，
时，①
②
由得：，且n=1时也满足，
故是首项为1，公比为3的等比数列，，
故选：B.
4．A
【分析】利用等差数列通项公式及前项和公式，把和用表示出来，建立方程组，解出，即可求出，选出正确答案.
【详解】设公差为d，由题意得，所以，所以an=4n﹣10，.
故选：A．
5．B
【分析】由等比数列的性质知，进而得，再结合题意即可得答案.
【详解】解：由等比数列性质知，
所以，
由于等比数列的各项均为负数，
所以.
故选:B．
6．C
【分析】由题写出数列的前8项，即可得答案.
【详解】由斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，知.
故选：C
7．B
【分析】根据已知条件,分别求出前六项,计算求和即可.
【详解】因为
可得
又因为,,所以
所以数列的前六项和为.
故选:
8．C
【分析】根据等差比数列的定义可求得的通项公式，将变为，利用通项公式即可求得答案.
【详解】因为为等差比数列，，，，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，
所以．
故选:C．
9．D
【分析】根据题意存储费每日为等差数列，根据等差数列求和得到存储费总和，列出每天平均的总费用关系时，利用基本不等式求最值即可.
【详解】由题意，第一天的存储费为，
第二天的存储费为，
第天的存储费为，
故存储费为，
设每个生产周期内每天平均的总费用为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故选：D
10．A
【详解】分析：由题意首先求得公比，然后求解的值即可.
详解：由题意可知：等比数列的公比，
则：.
本题选择A选项.
点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用．
11．A
【分析】数列满足，，可得，又可得，通过分组求和及其利用等比数列的求和公式即可得出．
【详解】解：数列满足，，
，
，
，
．
．
则数列的前40项和．
故选：A．
12．B
【分析】根据题意，得到数列表示首项为，公比为的等比数列，结合求和公式，即可求解.
【详解】由题意，数列满足，即，
又由，即，解得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，
所以，即的前10项的和为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项公式，以及等比数列的前项和的应用，其中解答中熟记等比数列的求和公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
13．B
【分析】由条件证明数列为递增数列，由已知可得，结合前项和公式判断的正负即可.
【详解】设等差数列的公差为，若则与已知矛盾，
所以，故等差数列为递增数列，
因为，所以，
所以当时，，当时，，
所以，
因为，
所以，
所以当时，，
所以使的前n项和的最大自然数n是4041.
故选：B.
14．D
【分析】按照小明的方案，设第个格子放的米粒数为，其中，分析可知数列满足：，，，求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得结果.
【详解】按照小明的方案，设第个格子放的米粒数为，其中，
则数列满足：，，，
所以，当时，，
故数列是从第项开始成以为公比的等比数列，且，
所以，，则，
所以，数列的前项和为
.
故选：D.
15．D
【分析】根据题意，再根据
立方和公式可得进而求得，再根据等差数列的
前n项和性质结合一正一负判断即可.
【详解】 ，，
，
设，则，
化为，
，
，
，
又说明 一正一负 ，而 ， ，
说明 ，
故选：D.
16．C
【分析】根据与的关系结合等比数列的概念可得，进而可得，然后结合条件可得，然后分类讨论即得.
【详解】因为，
当时，，解得，
当时，，则，
即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，又，
所以为首项为2，公差为1的等差数列，
则，则，
所以，又，
则，又，
所以，
当n为奇数时，，而，则，解得；
当n为偶数时，，而，则；
综上所述，实数的取值范围为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据递推关系构造数列求数列的通项公式，然后通过讨论结合数列不等式恒成立问题即得.
17．A
【分析】证明出，利用放缩法得出，结合不等式的性质可判断A选项的正误；根据递推公式计算得出，结合A选项可判断B选项的正误；取，比较与的大小，可判断C选项的正误；利用A选项可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，令，其中，.
当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
所以，，即.
当时，，，，
以此类推，对任意的，，从而，则，
此时，数列单调递增，则，
所以，
上述不等式两边取自然对数得，
，
，
，则，A选项正确；
对于B选项，当时，，，，
由A选项可知，数列为单调递增数列，当且时，，
此时，
，
，
，B选项错误；
对于C选项，取，即，则，，
此时，数列不是单调递增数列，C选项错误；
对于D选项，取，由A选项可知，数列为单调递增数列，D选项错误.
故选：A.
【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查数列单调性以及放缩法的应用，考查推理论证能力，属于难题.
18．D
【分析】利用放缩法及数列性质进行验证选项得解
【详解】对于A选项，假设有界，即存在常数，对任意，都有，
则.由于左边递增到无穷大，而右边为常数，从而A项错误；
同理，C项，错误；
对于B项， ，累加可得，，，显然不是有界的；
对于D选项，， ，
累乘可得 ，
，从而,D正确.
故选:D
【点睛】本题主要考查数列的性质应用、及转化与化归的数学思想以及运算求解能力.
19．C
【分析】对（1），由数列为常数数列，则，解方程可得的值；
对（2），由函数，，求得导数和极值，可判断单调性；
对（3），由，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论．
【详解】数列中，若，，，
（1）若数列为常数数列，则，
解得或，故（1）不正确；
（2）若，，
，
由函数，，
，
由，可得极值点唯一且为，
极值为，
由，可得，
则，即有.
由于，，
由正弦函数的单调性，可得，
则数列都是单调递增数列，故（2）正确；
（3）若，任取中的9项，，，，，
构成数列的子数列，，2，，9，是单调递增数列；
由，可得，为奇函数；
当时，，时，；
当时，；时，，
运用正弦函数的单调性可得或时，数列单调递增；
或时，数列单调递减．
所以数列都是单调数列，故（3）正确；
故选C.
【点睛】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题．
20．D
【分析】A选项，令求出，再令，求出；B选项，先得到，再求出，单调递减，故B正确；C选项，当时，，时，，证明出C正确；D选项，作差，并结合C选项中结论计算出，故D错误.
【详解】A选项，中，令得，
因为，解得，解得，
中，令得，
即，解得，负值舍去，A正确；
B选项，当时，，故，
，
故，
因为，故，，
故，则单调递减，
数列有最大值，无最小值，B正确；
C选项，当时，，此时等号成立，
当时，由于，
所以，
综上，，使得，C正确；
D选项，
，
由C选项可知，，，
故，
所以恒成立，
故不存在，使得，D错误.
故选：D
【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.
21．AB
【分析】利用等比中项的定义求解即可
【详解】设与的等比中项是．由等比数列的性质可得，则．
故选:AB．
22．ABD
【分析】
根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前项和公式为计算即可.
【详解】设的公差为，的公比为，
则，
所以是常数，故A正确；
易知是常数，故B正确；
由不是常数，故C错误；
是常数，故D正确.
故选：ABD
23．BC
【分析】根据，，进行递推得到数列的规律逐项判断.
【详解】因为，，
所以,，
，,
，,
，，
，，
，，
可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，
奇数项不是等差数列，
，
，
，
，
，
故选：BC.
24．AC
【分析】题设中的递推关系等价为，根据首项可找到的局部周期性，从而可得正确的选项.
【详解】因为，故，
对于A，当即时，，，，故为周期数列且，故A正确；
对于B，当即时，，同理，，，，，故，故B错误；
对于C，当时，数列的前109项依次为：
27，82，41，124，62，31，94，47，142，71，214，107，322，161，484，242，121，364，182，91，274，137，412，206，103，310，155，466，233，700，350，175，526，263，790，395，1186，593，1780，890，445，1336，668，334，167，502，251，754，377，1132，566，283，850，425，1276，638，319，958，479，1438，719，2158，1079，3238，1619，4858，2429，7288，3644，1822，911，2734，1367，4102，2051，6154，3077，9232，4616，2308，1154，577，1732，866，433，1300，650，325，976，488，244，122，61，184，92，46，23，70，35，106，53，160，80，40，20，10，5，16，8，
故，，，，，
所以对任意总成立，故C正确；
对于D，当即时，根据等比数列的通项公式可有，
，，，，故D错误．
（备注：因为本题为多选题，因此根据A正确，BD错误可判断出C必定正确，可无需罗列出前109项）
故选：AC．
【点睛】方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项．
25．ABD
【分析】由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时，所在点的坐标为，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，，…，，即可求解判断D选项.
【详解】由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即 ，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，
设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；
，故B正确；
所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；
，对应点的坐标为，，…，，所以
，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.
26．
【分析】令即可解得结果.
【详解】令，解得：，是该数列的第项.
故答案为：.
27．
【分析】利用递推关系式可得等比数列的公比，进而可得等比数列的通项公式．
【详解】∵2an＋1－an＝0，
∴
∴{an}是等比数列，且公比q＝.
∴an＝a1·qn－1＝
故答案为：
28．5
【分析】关于的不等式的解集为，可得，将通项公式用表示，求出的所有项，即可求解.
【详解】关于的不等式的解集为，
可得两根分别为，
的通项公式为，
，的最大值为，
即前项和取最大值的正整数的值是.
故答案为:.
【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查等差数列的通项公式，以及利用数列项的正负，求前和的最值，属于中档题.
29．81
【分析】计算得到，故m至少有4个不同的正的奇约数，且4个奇约数中，至少有一个为的形式，找到3为最小的大于1的正奇数，且，从而求出m的值.
【详解】，
由题意可知：存在4组不同的正整数，使得奇数，
故m至少有4个不同的正的奇约数，且4个奇约数中，至少有一个为的形式，
因为3为最小的大于1的正奇数，且，故m的最小值为.
故答案为：81
30．/60°
【分析】根据题干条件得到，进而利用余弦定理及基本不等式求出，从而求出的最大值是.
【详解】由，得：，
又，所以，，所以，所以
，当且仅当时等号成立，此时三角形为等边三角形，所以的最大值是.
故答案为：
【点睛】数列和解三角形相结合的题目，难度较大，需要先通过题干条件研究数列性质，即三角形的边长之间的关系，再用余弦定理和基本不等式求解.
31．，
【分析】根据，求出的值，再根据通项公式求解.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为,
因为，所以，即，
所以,
所以，
32．(1)
(2)
【分析】（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案；
（2）利用裂项相消法即可求出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
又，
∴，
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，∴，
当时，，
当时，，满足上式，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，，
，
∴当时，．
33．(1)，；
(2)5
【分析】（1）由已知条件求等差数列的基本量，进而写出等差数列通项公式及前n项和公式.
（2）应用裂项相消法求，根据不等式求n的范围，即可知n的最小值.
【详解】（1）在等差数列中，，
∴，又，
∴，易知：，
∴，
∴.
（2），
∴整理有，解得或，又n为正整数，
∴，则n的最小值为5．
34．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，
【解析】（1）由已知可得：．利用基本不等式的性质可得：，可得，代入化简即可得出．
（2）设，由，．可得．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．
（3）假设存在常数，对任意自然数均有成立．由（2）可得：．时，，解得．时，，利用单调性即可得出．
【详解】解：（1）依题意得，要证明，即证明，
又因为，所以，
要证明，即证明，
要证明，即证明，
又因为，即得证.
（2）设，因为，且，
则.
所以：是公比为的等比数列，则，
．
的通项公式是；
（3）假设存在常数，对任意自然数均有成立，
由（2）知，，
当时，；
当时，，
而，
则当时，，故存在这样的，
【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
35．(1)数集不具有性质；数集具有性质.
(2)（i）不一定，理由见解析；（ii）数集中所胡元素的和的所有可能值为
【分析】（1）验证两个条件，判断是否具有性质；
（2）（i）举例说明不一定为等差数列；（ii）证明结论“时，必为等差数列”，利用结论由等差数列前项和公式求解.
【详解】（1）对于数集，任意，有；且，所以数集不具有性质，
对于数集，任意，有；因为，
且，
则对任意，所以数集具有性质.
（2）（i）不一定是等差数列，例如时，，
且
数集具有性质，但数集中的元素不构成等差数列；
（ii）若数集具有性质，，
我们给出一般结论，时，必为等差数列.
证明：因为，
所以，，
因为，
所以①，
所以
因为
所以
因为，
由，分两种情况：
第一种情况：；
第二种情况：，
先考虑第二种情况，，与题意矛盾；
，与题意矛盾；
所以只能为第一种情况，得②
由①-②得，
即，
即当时，是公差为的等差数列.
故一般结论：“当时，为等差数列”成立.
设公差为，则
因为，且.，
所以可以等于，即.
故或
或
.
综上，数集中所胡元素的和的所有可能值为
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