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七年级·数学·沪科版·上册
第4章 直线与角
4.5 角的比较与补(余)角
1.会用度量法或者叠合法比较角的大小.
2.知道角平分线的概念，会进行相关角度的和与差的运算.
3.知道互余、互补的概念与性质，会判断两个角是否互余、互补.
◎重点:余角与补角的概念和性质.
◎难点:角的相关问题.
激趣导入
同学们，还记得上节课学过的直角与平角吗？直角为90°，平角为180°，我们分别为90°与180°取了名字，可见这两个角在生活中是非常重要的，也是应用非常广泛的角，本节课我们就来学习一下与之相关的知识.
激趣导入
比较角的大小
阅读教材“例1”及其前面的内容，填空:
【归纳总结】通常角的大小比较方法有两种:(1)是把两个角的顶点 重合 ，一条边 重合 ，则在重合边同旁的另一边在 外面 的角大于在 里面 的角，这称为叠合法；(2)是用量角器量出两个角的度数，这称为 度量法 .
重合
重合
外面
里面
度量法
角的平分线
阅读教材本课时的相关内容，填空:
揭示概念:在角的 内部 ，以 角的顶点 为端点的一条 射 线把这个角分成 两个相等 的角，这条射线叫做这个角的平分线.
内部
角的顶点
射
两个相等
·导学建议·
应让学生通过折叠与测量两个方面探究角的平分线，强调角的平分线为一条射线.
余角、补角的概念及其性质
1.如果两个角的和等于180°，那么我们就称这两个角互为 补角 ，简称 互补 .
补角
互补
2.如果两个角的和等于90°，那么我们就称这两个角互为 余角 ，简称 互余 .
【归纳总结】 同角 ( 等角 )的余角相等， 同角 ( 等角 )的补角相等.
【学法指导】互余和互补描述的都不是一个角，而是指具有特殊数量关系的两个角，只与两个角的大小有关，与它们的位置无关.
余角
互余
同角
等角
同角
等角
1.如图，∠AOB是平角，OC是射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，若∠COE＝28°，则∠AOD的度数为( B )
A.56° B.62° C.72° D.124°
B
2.下列说法正确的有( B )
①如果互余的两个角的度数之比为1∶3，那么这两个角分别为45°和135°；
②如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等；
③如果两个角的度数分别是73°42'和16°18'，那么这两个角互余；
B
④一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
余角、补角的认识
1.如图，AOB是一条直线，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°，图中互余的角有 4 对，互补的角有 7 对.
4
7
余角、补角的运算
2.一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是( B )
A.60° B.45° C.30° D.15°
B
与角平分线有关的计算
3.如图，ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线.
(1)如果∠AOC＝28°，∠BOC＝42°，那么∠MON是多少度？
(2)如果∠AOB的大小保持与上图相同，而射线OC在∠AOB的内部绕点O转动，那么射线OM、ON的位置是否发生变化？
(3)∠MON的大小是否发生变化？如果不变，请说出其度数，如果变化，请说出变化范围.
解:(1)∠MON＝∠MOC＋∠CON＝(∠AOC＋∠BOC)＝35°.
(2)发生变化.
(3)不发生变化，35°.
·导学建议·
角平分线是一个很重要的知识点，尤其是三角形的角平分线及其性质，尽管本课时明确的重点是余角与补角的概念与性质，在合作探究中仍然不能忽视对角平分线相关问题的探究.
1.用一副三角板不能画出的角是( C )
A.75° B.105° C.110° D.135°
2.一个锐角的补角比这个角的余角大( D )
A.30° B.45° C.60° D.90°
C
D
3.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BOD＝∠AOB＝90°.下列判断:①射线OF是∠BOE的角平分线；②∠DOE的补角是∠BOC；③∠AOC的余角只有∠COD；④∠DOE的余角有∠BOE和∠COD；⑤∠COD＝∠BOE.其中正确的有( B )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
B
4.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数.
解:分两种情况:
(1)OC在∠AOB的内部时，如图1，得∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝40°.
(2)OC在∠AOB的外部时，如图2，得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝80°.4.5 角的比较与补(余)角
素养目标
1.会用度量法或者叠合法比较角的大小.
2.知道角平分线的概念,会进行相关角度的和与差的运算.
3.知道互余、互补的概念与性质,会判断两个角是否互余、互补.
◎重点:余角与补角的概念和性质.
预习导学
知识点一 比较角的大小
阅读教材“例1”及其前面的内容,填空:
【归纳总结】通常角的大小比较方法有两种:(1)是把两个角的顶点 ,一条边 ,则在重合边同旁的另一边在 的角大于在 的角,这称为叠合法;(2)是用量角器量出两个角的度数,这称为 .
【答案】(1)重合 重合 外面 里面 (2)度量法
知识点二 角的平分线
阅读教材本课时的相关内容,填空:
揭示概念:在角的 ,以 为端点的一条 线把这个角分成 的角,这条射线叫做这个角的平分线.
【答案】内部 角的顶点 射 两个相等
知识点三 余角、补角的概念及其性质
1.如果两个角的和等于180°,那么我们就称这两个角互为 ,简称 .
2.如果两个角的和等于90°,那么我们就称这两个角互为 ,简称 .
【答案】1.补角 互补 2.余角 互余
【归纳总结】 ( )的余角相等, ( )的补角相等.
【答案】同角 等角 同角 等角
【学法指导】互余和互补描述的都不是一个角,而是指具有特殊数量关系的两个角,只与两个角的大小有关,与它们的位置无关.
对点自测
1.如图,∠AOB是平角,OC是射线,OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线,若∠COE=28°,则∠AOD的度数为 ( )
A.56° B.62° C.72° D.124°
2.下列说法正确的有 ( )
①如果互余的两个角的度数之比为1∶3,那么这两个角分别为45°和135°;
②如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角不一定相等;
③如果两个角的度数分别是73°42'和16°18',那么这两个角互余;
④一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】1.B 2.B
合作探究
任务驱动一 余角、补角的认识
1.如图,AOB是一条直线,∠AOC=90°,∠DOE=90°,图中互余的角有 对,互补的角有 对.
【答案】1.4 7
任务驱动二 余角、补角的运算
2.一个角的补角是它的余角的3倍,那么这个角的度数是 ( )
A.60° B.45° C.30° D.15°
【答案】2.B
任务驱动三 与角平分线有关的计算
3.如图,ON是∠BOC的平分线,OM是∠AOC的平分线.
(1)如果∠AOC=28°,∠BOC=42°,那么∠MON是多少度
(2)如果∠AOB的大小保持与下图相同,而射线OC在∠AOB的内部绕点O转动,那么射线OM、ON的位置是否发生变化
(3)∠MON的大小是否发生变化 如果不变,请说出其度数,如果变化,请说出变化范围.
【答案】3.解:(1)∠MON=∠MOC+∠CON=(∠AOC+∠BOC)=35°.
发生变化.
(3)不发生变化,35°.
素养小测
1.用一副三角板不能画出的角是 ( )
A.75° B.105° C.110° D.135°
2.一个锐角的补角比这个角的余角大 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BOD=∠AOB=90°.下列判断:①射线OF是∠BOE的平分线;②∠DOE的补角是∠BOC;③∠AOC的余角只有∠COD;④∠DOE的余角有∠BOE和∠COD;⑤∠COD=∠BOE.其中正确的有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4.已知一条射线OA,若从点O再引两条射线OB、OC,使∠AOB=60°,∠BOC=20°,求∠AOC的度数.
【答案】1.C 2.D 3.B
4.解:分两种情况:
(1)OC在∠AOB的内部时,如图1,得∠AOC=∠AOB-∠BOC=40°.
(2)OC在∠AOB的外部时,如图2,得∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°.
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