第4章能力微专训——线段与角计算策略
专训导读
初一考试中的压轴题常涉及线段或角的计算,考查直线上的动点,线段长的计算,线段之间的关系;角度计算,角与角之间的关系,对初一的学生来说难度很大,需要掌握了有关计算方法策略,懂得如何入手,继而操作,发现规律,总结破解的方法.这样遇题不再会抗拒,而是信心满满的迎战.
题型突破
题型一 数形结合进行转化求解
例1 如图,B是线段AC上一点,且AB=18cm,BC=AB.
(1)试求出线段AC的长.
(2)如果O是线段AC的中点,请求线段OB的长.
【答案】解:(1)因为AB=18cm,BC=AB,
所以BC=6 cm.
所以AC=AB+BC=18+6=24cm.
(2)因为O是线段AC的中点,
所以OC=AC=12cm.
因为BC=6 cm,
所以OB=OC-BC=12-6=6cm.
[变式演练]如图,在线段AB上有C,D两点,CD的长度为1 cm,AB的长为整数,则以A,B,C,D为端点的所有线段长度和不可能为 ( )
A.16 cm B.21 cm
C.22 cm D.31 cm
【答案】B
例2 如图,O为直线AB上一点,∠DOE=90°.若∠AOC=130°,OD平分∠AOC.
(1)求∠BOD的度数.
(2)通过计算说明OE是否平分∠BOC.
【答案】解:(1)因为∠AOC=130°,OD平分∠AOC,
所以∠AOD=∠AOC=65°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=115°.
(2)根据(1)和∠DOE=90°,
所以∠EOB=180°-∠AOD-∠DOE=25°.
因为∠DOC=∠AOD=65°,
所以∠COE=90°-∠DOC=25°,
所以∠COE=∠EOB,
所以OE是平分∠BOC.
[变式演练]如图,点O在直线AE上,OC平分∠AOE,∠BOD是直角.若∠1=25°,那么∠BOE的度数是 ( )
A.90° B.145° C.155° D.165°
【答案】C
题型二 挖掘数量关系利用方程思想求解
例3 如图,线段AB上有两点C,D,使得AC∶CD∶DB=1∶2∶3,M是线段AC的中点,点N是线段AB上的点,且满足DN=DB,AB=24.求MN的长.
【答案】解:设AC=x,则CD=2x,DB=3x.
因为AB=24,
所以x+2x+3x=24,
解得x=4,
所以AC=4,CD=8,DB=12,CB=20.
因为点M是线段AC的中点,
所以MC=AC=2.
因为DB=12,DN=DB,
所以DN=×12=3,
分以下两种情况:
①当点N在线段CD上时,MN=MC+CD-DN=2+8-3=7;
②当点N在线段DB上时,MN=MC+CD+DN=2+8+3=13.
综上所述,线段MN的长度为7或13.
[变式演练]如图,线段AB∶BC∶CD=3∶2∶4,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=22,则线段BC的长为 ( )
A.8 B.9 C.11 D.12
【答案】A
例4 如图,将一个直角三角尺的直角顶点放置在直线MN上的点O处,并在∠AOB的内部画射线OC.
(1)若OA平分∠MOC,试说明OB平分∠NOC.
(2)若OC平分∠AON,且∠BON=2∠BOC,求∠AON的度数.
【答案】解:(1)证明:由图可得∠AOC+∠COB=90°,
所以∠MOA+∠BON=90°.
又因为OA平分∠MOC,
所以∠AOC=∠MOA,
所以∠COB=∠BON,
所以OB平分∠NOC.
(2)因为OC平分∠AON,
所以∠AOC=∠CON.
又因为∠BON=2∠BOC,
设∠BOC=x,
所以∠BON=2x,
所以∠CON=∠AOC=3x.
因为∠AOC+∠BOC=90°,
所以3x+x=90°,
解得x=22.5°,
所以∠AON=6x=135°.
[变式演练]如图,若∠AOM=α,∠BOC=4∠BON,OM平分∠CON,则∠MON的度数为 .(用含α的式子表示)
【答案】
题型三 利用分类思想求解
例5 在平面内有三点A,B,C.若A,B,C三点共线,且AB=20cm,BC=14cm,点E,F分别是线段AB,BC的中点,求线段EF的长.
【答案】解:有两种情况:
①当点C在线段AB的延长线上时,如图1:
因为E,F分别是AB,BC的中点,AB=20cm,BC=14cm,
所以AE=AB=×20=10cm,BF=BC=×14=7cm,
所以EF=EB+BF=10+7=17cm;
②当点C在线段AB上时,如图2:
根据题意,BE=AB=10cm,BF=BC=7cm,
所以EF=BE-BF=10-7=3cm.
综上可知,线段EF的长度为17cm或3cm.
[变式演练]把一根绳子对折成一条线段AB,在线段AB上取一点P,使AP=PB,从P处把绳子剪断,若剪断后的三段绳子中最长的一段为24 cm,则绳子的原长为 ( )
A.32 cm B.64 cm
C.32 cm或64 cm D.64 cm或128 cm
【答案】C
例6 已知∠AOB=70°,OC是∠AOB内部的一条射线.
(1)如图1,当OC是∠AOB的平分线,求∠AOC的度数.
(2)如图2,当∠BOC=30°时,∠AOD是∠AOB的余角,OE是∠COD的平分线,请补全图形,并求∠AOE的度数.
(3)若把“∠AOB=70°,∠BOC=30°”改为“∠AOB是锐角,且∠AOB=n°,∠BOC=n°”,(2)中的其余条件不变,请直接写出∠AOE的度数: .(用含n的式子表示)
【答案】解:(1)因为∠AOB=70°,OC是∠AOB的角平分线,
所以∠AOC=∠AOB=×70°=35°.
(2)因为∠AOB=70°,∠BOC=30°,
所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=40°.
因为∠AOB=70°,∠AOD是∠AOB的余角,
所以∠AOD=90°-∠AOB=20°.
如图1,当∠AOD在∠AOB外部时,
因为∠COD=∠AOC+∠AOD=60°,OE是∠COD的角平分线,
所以∠COE=∠COD=×60°=30°,
所以∠AOE=∠AOC-∠COE=10°;
如图2,当∠AOD在∠AOB内部时,
因为∠COD=∠AOC-∠AOD=20°,OE是∠COD的角平分线,
所以∠COE=∠COD=×20°=10°,
所以∠AOE=∠AOC-∠COE=30°.
所以∠AOE的度数为10°或30°.
(3)由(2)知,∠AOE的度数为45°-n°或45°-n°或n°-45°,
故答案为45°-n°或45°-n°或n°-45°.
[变式演练]∠AOB=60°,OC平分∠AOB,以OC为一边作∠COP=15°,则∠BOP的度数为 .
【答案】15°或45°
题型四 利用整体思想求解
例7 已知点C在直线AB上,点D,E分别是AC,BC的中点.
(1)当点C在线段AB上时,如图1,
①若AC=5,BC=3,则DE= ;
②若AC+BC=a,你能猜想出DE的长度吗 写出你的猜想并说明理由.
(2)当点C在线段BA的延长线上,且AC=m,BC=n时,你能猜想出DE的长度吗 请在图2上画出图形,并直接写出你的猜想结果.
【答案】解:(1)①因为D,E分别是AC,BC的中点,
所以DC=AC,CE=BC.
因为AC=5,BC=3,
所以DE=DC+CE=AC+BC=(AC+BC)=(5+3)=4,
故答案为4;
②因为D,E分别是AC,BC的中点,
所以DC=AC,CE=BC,
因为AC+CB=a,
所以DE=DC+CE=AC+BC=(AC+BC)=a.
(2)DE=(n-m).
如图,
因为D,E分别是AC,BC的中点,
所以DC=AC,CE=BC,
因为AC=m,BC=n,
所以DE=CE-CD=BC-AC=(n-m).
[变式演练]如图,C,D为线段AB上两点,AC+BD=a,若AD+BC=AB,用含a代数式表示CD的长为 ( )
A.a B.a C.a D.a
【答案】B
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七年级·数学·沪科版·上册
第4章 直线与角
能力微专训——线段与角计算策略
初一考试中的压轴题常涉及线段或角的计算，考查直线上的动点，线段长的计算，线段之间的关系；角度计算，角与角之间的关系，对初一的学生来说难度很大，需要掌握了有关计算方法策略，懂得如何入手，继而操作，发现规律，总结破解的方法.这样遇题不再会抗拒，而是信心满满的迎战.
题型突破
数形结合进行转化求解
题型突破
例1 如图，B是线段AC上一点，且AB＝18 cm，BC＝AB.
(1)试求出线段AC的长.
(2)如果O是线段AC的中点，请求线段OB的长.
解:(1)因为AB＝18 cm，BC＝AB，
所以BC＝6 cm.
所以AC＝AB＋BC＝18＋6＝24 cm.
(2)因为O是线段AC的中点，
所以OC＝AC＝12 cm.
因为BC＝6 cm，
所以OB＝OC－BC＝12－6＝6 cm.
[变式演练]如图，在线段AB上有C，D两点，CD的长度为1 cm，AB的长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为( B )
A.16 cm B.21 cm C.22 cm D.31 cm
B
例2 如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°.若∠AOC＝130°，OD平分∠AOC.
(1)求∠BOD的度数.
(2)通过计算说明OE是否平分∠BOC.
解:(1)因为∠AOC＝130°，OD平分∠AOC，
所以∠AOD＝∠AOC＝65°，
所以∠BOD＝180°－∠AOD＝115°.
(2)根据(1)和∠DOE＝90°，
所以∠EOB＝180°－∠AOD－∠DOE＝25°.
因为∠DOC＝∠AOD＝65°，
所以∠COE＝90°－∠DOC＝25°，
所以∠COE＝∠EOB，
所以OE是平分∠BOC.
[变式演练]如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠BOD是直角.若∠1＝25°，那么∠BOE的度数是( C )
A.90° B.145° C.155° D.165°
C
挖掘数量关系利用方程思想求解
例3 如图，线段AB上有两点C，D，使得AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN＝DB，AB＝24.求MN的长.
解:设AC＝x，则CD＝2x，DB＝3x.
因为AB＝24，
所以x＋2x＋3x＝24，
解得x＝4，
所以AC＝4，CD＝8，DB＝12，CB＝20.
因为点M是线段AC的中点，
所以MC＝AC＝2.
因为DB＝12，DN＝DB，
所以DN＝×12＝3，
①当点N在线段CD上时，MN＝MC＋CD－DN＝2＋8－3＝7；
②当点N在线段DB上时，MN＝MC＋CD＋DN＝2＋8＋3＝13.
综上所述，线段MN的长度为7或13.
分以下两种情况:
[变式演练]如图，线段AB∶BC∶CD＝3∶2∶4，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝22，则线段BC的长为( A )
A.8 B.9 C.11 D.12
A
例4 如图，将一个直角三角尺的直角顶点放置在直线MN上的点O处，并在∠AOB的内部画射线OC.
(1)若OA平分∠MOC，试说明OB平分∠NOC.
(2)若OC平分∠AON，且∠BON＝2∠BOC，求∠AON的度数.
解:(1)证明:由图可得∠AOC＋∠COB＝90°，
所以∠MOA＋∠BON＝90°.
又因为OA平分∠MOC，
所以∠AOC＝∠MOA，
所以∠COB＝∠BON，
所以OB平分∠NOC.
(2)因为OC平分∠AON，
所以∠AOC＝∠CON.
又因为∠BON＝2∠BOC，
设∠BOC＝x，
所以∠BON＝2x，
所以∠CON＝∠AOC＝3x.
因为∠AOC＋∠BOC＝90°，
所以3x＋x＝90°，
解得x＝22.5°，
所以∠AON＝6x＝135°.
[变式演练]如图，若∠AOM＝α，∠BOC＝4∠BON，OM平分∠CON，则∠MON的度数为 .(用含α的式子表示)
利用分类思想求解
例5 在平面内有三点A，B，C.若A，B，C三点共线，且AB＝20 cm，BC＝14 cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，求线段EF的长.
①当点C在线段AB的延长线上时，如图1:
因为E，F分别是AB，BC的中点，AB＝20 cm，BC＝14 cm，
所以AE＝AB＝×20＝10 cm，BF＝BC＝×14＝7 cm，
所以EF＝EB＋BF＝10＋7＝17 cm；
解:有两种情况:
②当点C在线段AB上时，如图2:
根据题意，BE＝AB＝10 cm，BF＝BC＝7 cm，
所以EF＝BE－BF＝10－7＝3 cm.
综上可知，线段EF的长度为17 cm或3 cm.
[变式演练]把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP＝PB，从P处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为24 cm，则绳子的原长为( C )
A.32 cm B.64 cm
C.32 cm或64 cm D.64 cm或128 cm
C
例6 已知∠AOB＝70°，OC是∠AOB内部的一条射线.
(1)如图1，当OC是∠AOB的角平分线，求∠AOC的度数.
(2)如图2，当∠BOC＝30°时，∠AOD是∠AOB的余角，OE是∠COD的角平分线，请补全图形，并求∠AOE的度数.
(3)若把“∠AOB＝70°，∠BOC＝30°”改为“∠AOB是锐角，且∠AOB＝n°，∠BOC＝n°”，(2)中的其余条件不变，请直接写出∠AOE的度数: .(用含n的式子表示)
解:(1)因为∠AOB＝70°，OC是∠AOB的角平分线，
所以∠AOC＝∠AOB＝×70°＝35°.
(2)因为∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝40°.
因为∠AOB＝70°，∠AOD是∠AOB的余角，
所以∠AOD＝90°－∠AOB＝20°.
如图1，当∠AOD在∠AOB外部时，
因为∠COD＝∠AOC＋∠AOD＝60°，OE是∠COD的角平分线，
所以∠COE＝∠COD＝×60°＝30°，
所以∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10°；
因为∠COD＝∠AOC＋∠AOD＝60°，OE是∠COD的角平
分线，
所以∠COE＝∠COD＝×60°＝30°，
所以∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10°；
如图2，当∠AOD在∠AOB内部时，
因为∠COD＝∠AOC－∠AOD＝20°，OE是∠COD的角平分线，
所以∠COE＝∠COD＝×20°＝10°，
所以∠AOE＝∠AOC－∠COE＝30°.
所以∠AOE的度数为10°或30°.
(3)由(2)知，∠AOE的度数为45°－n°或45°－n°或n°－45°，
故答案为45°－n°或45°－n°或n°－45°.
[变式演练]∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP的度数为 15°或45° .
15°或45°
利用整体思想求解
例7 已知点C在直线AB上，点D，E分别是AC，BC的中点.
(1)当点C在线段AB上时，如图1，
①若AC＝5，BC＝3，则DE＝ ；
②若AC＋BC＝a，你能猜想出DE的长度吗？写出你的猜想并说明理由.
(2)当点C在线段BA的延长线上，且AC＝m，BC＝n时，你能猜想出DE的长度吗？请在图2上画出图形，并直接写出你的猜想结果.
解:(1)①因为D，E分别是AC，BC的中点，
所以DC＝AC，CE＝BC.
因为AC＝5，BC＝3，
所以DE＝DC＋CE＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝(5＋3)＝4，
故答案为4；
②因为D，E分别是AC，BC的中点，
所以DC＝AC，CE＝BC，
因为AC＋CB＝a，
所以DE＝DC＋CE＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝a.
(2)DE＝(n－m).
如图，
因为D，E分别是AC，BC的中点，
所以DC＝AC，CE＝BC，
因为AC＝m，BC＝n，
所以DE＝CE－CD＝BC－AC＝(n－m).
[变式演练]如图，C，D为线段AB上两点，AC＋BD＝a，若AD＋BC＝AB，用含a代数式表示CD的长为( B )
A.a B.a C.a D.a
B
