山东省济宁市邹城市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题（含答案）

邹城市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考
数学试题
2024.05
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，复数,则（ ）
A．1 B．2 C． D．0
2．在中，内角A,B,C所对的边分别为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．直角梯形中，,现采用斜二测画法，若平面直角坐标系的x轴平行于上、下底边，则直角梯形的直观图的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．如图，四边形是平行四边形，点E,F分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，若,且,那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
6．如图，已知正三棱柱的棱长都相等，D为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．在棱长为1的正方体中，E、F分别为的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．当三棱锥的所有项点都在球O的表面上时，球O的表面积为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．点P为正方形内一点，当平面时，的最小值为
D．过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．若复数为z的共轭复数，则以下正确的是（ ）
A．z在复平面对应的点位于第二象限 B． C． D．为纯虚数
10．在中，D,E,F分别是边中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则是在的投影向量
D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为
11．如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面与棱交于点F,下列命题中真命题是（ ）
A．四棱锥的体积恒为定值；
B．四边形是平行四边形；
C．当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点E至少有两个；
D．若,则P、B、Q三点共线．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．设k为实数，若向量，且与共线，则_____________．
13．已知的内角A,B,C的对边为的面积为，且,则的周长为_____________．
14．意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，C、D为半圆弧上的点，，阴影部分为弦与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．该几何体的体积为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（1）已知平面向量、，其中,若，且,求向量的坐标表示；
（2）已知平面向量、满足，与的夹角为，且,求的值．
16．（15分）己知复数．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值；
（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
17．（15分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为,高为,圆锥的母线长为．
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）;
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
18．（17分）已知顶点在单位圆上的,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且．
（1）求的值；
（2）若,求的取值范围．
19．（17分）如图，四边形是平行四边形，点E,F,G分别为线段的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面;
（3）在线段上找一点H,使得平面,并说明理由．
邹城市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考
数学试题答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．A． 8．D
8．【解答过程】对于A:三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球，因为,可得外接球的半径,所以外接球的表面积，故A正确；
对于B:因为,则异面直线与所成角为,且，
可得，所以，
所以，异面直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对于C:取的中点M、Q、N,连接,
由题意可得：,则为平行四边形，所以,
因为四边形为正方形，M、N分别为的中点，则,
所以，四边形为平行四边形，所以，,
又因为,可得,
则为平行四边形，所以,可得,
因为平面平面,则平面,
因为,则四边形为平行四边形，则,
因为E、F分别为的中点，则,同理可得,则,可得,
因为平面平面,则平面,
因为平面,所以平面平面,
则点P在线段上，可得，
所以当点P为线段的中点时，取到最小值，且最小值为,故C正确；
对于D:连接,因为E、F为的中点，则,
又因为,则为平行四边形，可得,则,
过作,设,则,
可得,连接,设,
连接,
可得过点的平面截正方体所得的截面为五边形,
因为则，
可得，
所以截面周长为，故D错误；
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．BD 10．BCD 11．ABD
11．【详解】四棱锥的体积等于三棱锥的体积与三棱锥的体积之和，又长方体中，平面,则点E,F到平面的距离为定值，
则四棱锥的体积恒为定值．判断正确；
由平面与棱交于点F,可得平面平面,平面平面,
又平面平面,则;
又平面平面,平面平面,
又平面平面,则,又,四边形是平行四边形．判断正确；
由上可得，截面四边形是平行四边形．
当的值最小时，四边形的周长取得最小值．将侧面与侧面展开在同一平面，
当且仅当E为直线与交点时的值最小，
则当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点E仅有1个．判断错误；
直线与直线交于点P,直线与直线交于点Q,
则P、B、Q三点均为平面与平面的公共点，
由平面与平面有且仅有一条交线可得P、B、Q三点共线．判断正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12． 13．6 14．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】（1）设,由,可得,
由题意可得，解得或．
因此，或；
（2）
化简得，
即，解得
16．【详解】（1）若z是纯虚数，则，
,则m的值为1；
（2）若z在复平面内对应的点在直线上，
则,解得
（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，则，
,则m的取值范围为．
17．【详解】（1）设圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为l,高为,
则,可得,且,
所以笼具的体积．
（2）圆柱的侧面积,
圆柱的底面积,
圆锥的侧面积为,
故笼具的表面积．
故制造50个这样的笼具总造价为：元，
答：这种笼具的体积约为,生产50个笼具需要元．
18．【详解】解：（1）因为,
由正弦定理得，,
所以．
因为,且，所以．
（2）由（1）得,且，故，
因为的顶点在单位圆上，由正弦定理得，得,
所以．
因为,所以，即，
所以．
故的取值范围为．
19．【答案】（1）证明：分别是中点，
,
平面平面平面．
（2）证明：、G分别是中点，,
平面平面平面,
又平面平面平面,
又平面,∴平面平面．
（3）解：设与分别交于N,M两点，
则M,N分别为的重心，分别是中点，,
平面平面,
平面,即N点为所找的H点．