数学：7.4平方差公式1教案（北京课改版七年级下）

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教学课题：§7.4平方差公式（1）
教学目标：
1.使学生能正确运用平方差公式进行简单的计算；
2.经历从多项式的乘法到乘法公式再运用公式计算的探索过程，使学生了解“特殊到一般，再到特殊”的认识规律，体验和学习研究问题的方法；
3.在观察、归纳平方差公式及用文字语言概括规律中，进一步发展符号感，培养学生的思维能力；
4.使学生认识平方差公式的几何背景，并从中培养学生数形结合的思想方法．
教学重点：经历公式的发现和推导过程，会运用公式进行简单的计算。
教学难点：理解公式中字母的广泛含义；理解公式几何证明中割补方法的运用。
教学方法：引导发现法
教学用具：多媒体
教学过程：
一、创设问题，引导发现：
师：上节课，我们学习了多项式的乘法，下面我们来做一个活动：
[学生活动1] 请你举出1个多项式相乘的例子，并进行计算。
（让学生2人一组举例，互相交换计算，并交换检验结果。同时，请其中一组在黑板上板演完成，并请他们适当讲解计算思路。）
在活动1中学生复习了多项式相乘的知识，接下来安排第二个活动。
[学生活动2] （板书）比一比谁算的快！
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
说明：在计算时要求学生写全计算过程，并请计算快的学生将过程写在黑板上，师生共同纠正。
在学生正确计算的基础上提出如下问题：
[思考] 1、通过计算你发现了什么规律？你能用字母表示这个规律吗？
2、你认为具有什么特征的整式乘法才有这样的规律？你能用语言叙述这些特征吗？
组织学生认真观察上述5个算式的计算过程，进行讨论，交流（教师可在学生思维受阻处进行引导）后，
第一，总结出规律：
第二，发现特征：左边是两个数的和与这两个数的差的积。
右边是这两个数的平方差。
引导学生由特征出发，尝试用文字语言把规律概括出来，从而得到：
（板书） 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
在学生得出规律的基础上提出问题：
[思考] 在你总结规律时选用了字母，那么它们可以表示什么呢？
通过对前面竞赛中的5个小题的观察，引导学生深入明确：
规律中的可以表示数或代数式。
如：100，，等。
二、讨论交流，证明公式：
师：我们通过一些具体的有特征的整式乘法例子总结了规律，那么这个规律是否正确呢？怎样证明这个规律的一般性呢？
让学生分组讨论证明的思路，引导学生得出代数证法（这对于学生来说应该是不难的），并为可确定正确性的规律命名为“平方差公式”。
（板书） 证明：∵
∴ 平方差公式
师：我们从多项式乘法的角度说明了规律的正确性，那么还有没有其他方法能证明平方差公式的正确性呢？（引起学生的兴趣）
下面，我们来看这样一个问题：
如图，从一个边长为的正方形中截去一个边长为的小正方形，你能表示剩下图形的面积吗？
组织学生进行讨论，交流，并尝试画图说明思路，师生归纳明确：
思路一：剩下图形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积
∴剩下图形的面积可表示为：
思路二：剩下图形的面积=长方形Ⅰ的面积+长方形Ⅱ的面积
∴剩下图形的面积可表示为：
说明：上述2种思路中，思路一学生容易想到，思路二得出的式子形式比较复杂，但只需引导学生利用整体的思想，逆用乘法分配律就可变形为：。学生不难得出：，公式即得证。
提问：你能否将思路二中的图形拼成一个长方形呢？
师生讨论并动手画图或尝试用纸拼接分析，从而引出下面的思路。
思路三：剩下的图形可通过割补手段变成一个长方形，
∴剩下图形的面积可表示为：
也可得证公式：
师：从我们上面的学习中，我们不但证明了平方差公式的正确性，而且我们还通过几何图形的方法证明了代数问题，这就是数形结合的思想。
三、运用新知，巩固深化：
师：现在，我们已经知道了具有“两个数的和与这两个数的差的积”的形式的整式乘法结果是“这两个数的平方差”，那么就让我们运用这个公式尝试一些实际计算吧！
例1：下列算式中：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
问题：1、判断这些算式哪些可用平方差公式。
2、能用平方差公式进行计算的，指出谁是公式中，并将题目改写成的形式进行计算。（学生板演改写及计算过程，要求他们写出“平方差”这一步）
3、不能用公式计算的说出计算的方法。
组织学生分组讨论上述问题，并在交流的过程中明确以下内容：
（1） 判断结果：（3）与（5）不能用平方差公式计算，其他都可以。
用平方差公式计算的判断依据是：算式是两项和与这两项差的积
即：两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）让学生边说边在黑板上改写。
题目 公式中的 公式中的 按公式形式改写
不变
（3）第3题中的两项均互为相反数，第5题中的两项的系数正好反了，所以它们都不能用平方差公式计算，只能应用多项式乘法来解决。
练习一：（口答）运用平方差公式进行计算。
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）（7）（8）
说明：先让学生独立解答，然后以提问的形式让学生先确认公式中，再说出计算结果。
例2：用平方差公式计算：
（1） （2） （3）
教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．
并引导学生分析出解答中的注意点：（请学生板演）
1） 第（2）题只需将中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算．
2） 第（1）（2）题中的项比较复杂，平方时不要漏项。
解： （1）
注意加括号
（2）原式．
（3）解法1： 解法2：
说明：在第3题的解答中，让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况后让采用不同解法的两个学生进行板演；并让学生对比两种方法：
1） 解法1：把－4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出后得出结果．
解法2：先用了提出负号的办法，使两个乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．
2） 采用解法1的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案．
练习二：运用平方差公式进行计算。
（1） （2）
（3） （4）
教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．
例3：（机动）街心花园有一块边长为的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长2米，而东西方向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
分析：组织学生画图分析明确，计算长方形的面积，
就要知道它的长和宽是多少？
改变后草坪的长为米，宽为米。
（板书）解：= 2
=
答：改造后的长方形草坪的面积是米2。
四、课堂小结：
学生以自由发言的形式回顾本节课的学习过程，师生共同归纳出如下两方面的内容：
1． 知识总结：
整式乘法的一个特例：两数和乘以它们的差。
平方差公式：
注意：（1）公式中的字母取值具有广泛性。可以代表数，单项式，多项式等等。
（2）公式应用的条件：中一项相同，另一项互为相反数。
有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．
2．方法归纳：
通过观察具体算式，发现、总结有特征的整式乘法的规律，得出平方差公式，再到应用公式简捷的进行计算，我们遵循了“从特殊到一般再到特殊”的认识规律，这也是数学中常见的研究问题的方法，在以后的学习中我们会经常用到。
五、作业：
必做题：书93页 习题7—4 A组 1，2（1）—（4）
合作题：以小组为单位，每人编5个题目，请组内的一名学生做答后评判打分。
选做题：举一个生活中应用平方差公式的例子。
板书设计：
§7.4平方差公式（1）
1、平方差公式：………… 例1：……………… 例2………………… [赛一赛]………………
文字：…………………… ……………… ………………… …………………
2、应用条件：…………… ……………… ………………… …………………
3、代数证明：…………… ……………… ………………… …………………
………………………… ……………… ………………… …………………
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