黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2023-2024学年七年级下学期开学测试数学试题
1．（2024七下·哈尔滨开学考）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·哈尔滨开学考）已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·哈尔滨开学考）下列四个图形中，线段是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·哈尔滨开学考）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·哈尔滨开学考）以下列各组线段为边，则能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·哈尔滨开学考）如果三角形的三个内角的度数比是，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形或直角三角形
7．（2024七下·哈尔滨开学考）关于x的不等式的解集为，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七下·哈尔滨开学考）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·哈尔滨开学考）如果点 在第四象限，那么m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，的角平分线、中线相交于点O，则下列结论中：
①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024七下·哈尔滨开学考）不等式 的最大整数解是 ．
12．（2024七下·哈尔滨开学考）若是关于x、y的方程的一个解，则k的值是 ．
13．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，中，E在边上，D在延长线上，，，，则 °．
14．（2024七下·哈尔滨开学考）已知某文教店每本笔记本2元，每支钢笔5元．若小红用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，则小红最多能买的钢笔支数是 ．
15．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，在中，的边上的高与边上的高的比值是 ．
16．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，中，，将绕点O顺时针旋转得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为 ．
17．（2024七下·哈尔滨开学考）在中，的内角平分线交于点O，若，则 °．
18．（2024七下·哈尔滨开学考）在中，为边上的高，，则 ．
19．（2024七下·哈尔滨开学考）计算：
（1）解方程组：
（2）解不等式：
（3）解不等式组：
（4）解不等式组：
20．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）其中以AB为一边可以画出 个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出 个三角形.
21．（2024七下·哈尔滨开学考）请阅读下列材料：我们规定一种运算：，比如：．
按照这种规定的运算，请解答下列问题：
（1）填空：计算 ；
（2）若，且满足，请你求出k的整数值．
22．（2024七下·哈尔滨开学考）如图所示，在中，D是边上的一点，，求的度数．
23．（2024七下·哈尔滨开学考）已知关于x，y的方程组的解，则m的取值范围是多少？
24．（2024七下·哈尔滨开学考）某商店欲购进A、B两种商品，已知购进A种商品5件和B种商品4件共需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件共需440元．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，且商店将购进A、B共50件的商品全部售出后要获得的利润超过348元，问A种商品至少购进多少件？
25．（2024七下·哈尔滨开学考）如图
（1）如图1，这是一个五角星，求的度数．
（2）如图2，如果点B向右移动到上，直接写出的度数．
（3）如图3，当点B向右移动到的另一侧时，直接写出的度数．
（4）如图4，求的度数．
26．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，两坐标轴上有三点，其中a，b是二元一次方程组的解，连接，在上有一点，其中m是不等式的最小整数解．
图1 图2
备用图 备用图
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，过点E作轴于F，动点P从A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线向下匀速运动，连接，点D是线段的中点，连接，设运动时间为t秒，的面积为y，直接写出y与t之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，过B点做的垂线，交直线于点G，动点Q从点G出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点F匀速运动，点P、Q同时出发，其中一点停止运动，另一个点也停止运动，连接．当t为何值时，，并直接写出Q点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、7x+3y-z=0是三元一次方程，不符合题意；
B、2x+3y-1=0是二元一次方程，符合题意；
C、x2+3y-1=0是二元二次方程，不符合题意；
D、2x+3y-1＞0是二元一次不等式，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵，∴，故不符合题意；
B、∵，∴ ，故不符合题意；
C、 ∵，∴ ，故符合题意；
D、∵，
∴
∴ ，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由三角形搞得定义知：D项正确.
故答案为：D.
【分析】三角形的高：从一个顶点出发向对边作一条垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高，据此逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
移项得x＜1.
在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵2+3=5，∴2cm，3cm，5cm不能组成三角形，故不符合题意；
B、∵4+3＜9，∴3cm，4cm，9cm不能组成三角形，故不符合题意；
C、∵1+1＜3，∴1cm，1cm，3cm不能 组成三角形，故不符合题意；
D、∵5+6＞10，∴5cm，6cm，10cm能组成三角形，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵三角形内角和等于180°，且三个内角的度数比是，
∴三角形的最大内角为180°×=80°，
∴三角形为锐角三角形 .
故答案为：A.
【分析】求出三角形的最大内角的度数，继而判断.
7．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ∵关于x的不等式的解集为，
∴m+1＜0，
∴.
故答案为：A.
【分析】不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此解答即可.
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，
由题意得： .
故答案为：C.
【分析】 设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，由“ 3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶”列出方程组即可.
9．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点p（m，1-2m）在第四象限，
∴m＞0，1-2m＜0，解得：m＞ ，
故答案为：D．
【分析】横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限．
10．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AO平分∠BAE，故①正确；
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴DE是的中线，但不能确定AO=OD，故②错误，③正确；
由题中条件不能得出∠ADE=∠CDE，故④说法错误.
故答案为：B.
【分析】根据三角形角平分线及中线的定义分别判断即可.
11．【答案】-3
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】
所以，最大整数是：-3
故答案为：-3
【分析】先解不等式，再求最大整数解.
12．【答案】6
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程中，得2k-2×5=2，
解得k=6.
故答案为：6.
【分析】把代入方程中即可求出k值.
13．【答案】45
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=70°，
∵∠D=25°，
∴∠1=∠ABC-∠D=45°.
故答案为：45.
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用三角形外角的性质可得∠1=∠ABC-∠D，据此计算即可.
14．【答案】13
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小红买了x支钢笔，则购买（30-x）笔记本，
依题意得：5x+2（30-x）≤100，
解得x≤，
∵x为整数，
∴ 小红最多能买13支钢笔.
故答案为：13.
【分析】设小红买了x支钢笔，则购买（30-x）笔记本，根据总价=单价×购买数量≤100，列出不等式，求其最大整数解即可.
15．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵△ABC的边AB上的高为CE，边BC上的高为AD，且AB=2，BC=4，
∴△ABC的面积=AB·CE=BC·AD，
即×2CE=×4·AD，
∴=2.
故答案为：2.
【分析】根据三角形的面积相等列出比例即可.
16．【答案】82°
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将绕点O顺时针旋转得到，
∴∠BOB'=52°，∠B'=∠B=30°，
∴∠A'CO=∠BOB'+∠B'=52°+30°=82°.
故答案为：82°.
【分析】由旋转的性质可得∠BOB'=52°，∠B'=∠B=30°，利用三角形外角的性质可得∠A'CO=∠BOB'+∠B'，据此计算即可.
17．【答案】60
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，的内角平分线交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∵∠BOC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=120°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=60°.
故答案为：60.
【分析】利用三角形的角平分线及三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用三角形内角和求出∠A的度数即可.
18．【答案】30°或60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，当△ABC为锐角三角形时，
∵BD是AC边上的高，∠ABD=30°，
∴∠A=90°-∠ABD=60°，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠B=（180°-∠A）=60°，
如图，当△ABC为钝角三角形时，
同理得∠BAD=60°，
∵∠ABC=∠C，
∴∠C=∠ABC=∠BAD=30°，
∴∠C的度数为30°或60°.
故答案为：30°或60°.
【分析】分两种情况：当△ABC为锐角三角形时和△ABC为钝角三角形时，根据直角三角形的性质及三角形内角和定理进行求解即可.
19．【答案】（1）解：，
①×3+②得7x=6x+5，
解得x=5，
把x=5代入①得y=5，
∴方程组的解为
（2）解：去分母得：3（x-3）＞2（2x-5），
去括号得：3x-9＞4x-10，
移项合并得：-x＞-1，
系数化为1：x＜1.
（3）解：，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组的解集为x＞3.
（4）解：
解不等式①得：x≥-2，
解不等式②得：x＜，
∴不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1进行解不等式即可；
（3）分别求出两个不等式的解集，再求其公共部分即可；
（4）分别求出两个不等式的解集，再求其公共部分即可.
20．【答案】（1）3
（2）6
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】（1）以AB为一边可以画出3个三角形为：△ABE，△ABD，△ABC；
（2）以C为顶点可以画出6个三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE．
故答案为：3；6
【分析】（1）根据三角形的定义，再选择一个点，然后顺次连接可画出图形。
（2）利用三角形的定义，再在A、B、D、E中任意选择两点，然后顺次连接可画出图形。
21．【答案】（1）-4
（2）解：∵，
∴，
解得：，
∵，
∴1≤2（-2k）-7≤5，
解得-3≤k≤-2，
∴ k的整数值为-2，-3.
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）2×（-5）-（-6） =-4.
故答案为：-4.
【分析】（1）根据定义新运算进行列式计算即可；
（2）根据定义新运算及题目条件列方程组求出x、y值，再由列出不等式组，再求其整数解即可.
22．【答案】解：∵∠C=∠DAC，
∴∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2∠DAC，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-4∠DAC，
∵∠BAC=87°，
∴∠BAD+∠DAC=180°-4∠DAC+∠DAC=87°，
解得：∠DAC=31°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2∠DAC，利用三角形内角和可得∠BAD=180°-4∠DAC，由∠BAD+∠DAC=180°-4∠DAC+∠DAC=87°即可求解.
23．【答案】解：，
②×2-①得：x=2m-6，
把x=2m-6代入②得：y=-3m+11，
∴x+y=2m-6+（-3m+11）=-m+5，
∵，
∴-m+5＞0，
解得.
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法求出方程组的解，继而求出x+y的值，由建立关于m的不等式，解之即可.
24．【答案】（1）解：设A、B两种商品每件的进价分别为x元，y元，
由题意得：，
解得，
答：A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元.
（2）解：设购进A商品a件，则购进B商品（50-a）件，
由题意得：8a+6(50-a）＞348，
解得：a＞24，
答： A种商品至少购进25件 .
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B两种商品每件的进价分别为x元，y元，根据“ 购进A种商品5件和B种商品4件共需300元；购进A种商品6件和B种商品8件共需440元 ”列出方程组并解之即可；
（2）设购进A商品a件，则购进B商品（50-a）件，根据“ 获得的利润超过348元 ”建立不等式并求出最小整数解即可.
25．【答案】（1）解：如图1，∵∠EFH=∠B+∠D，∠EHF=∠A+∠C，∠EFH+∠EHF+∠E=180°，
∴∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，
（2）解：如图2，∵∠EFH=∠B+∠D，∠EHF=∠A+∠C，∠EFH+∠EHF+∠E=180°，
∴∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，
（3）解：如图3，∵∠EFH=∠DBE+∠D，∠EHF=∠A+∠C，∠EFH+∠EHF+∠E=180°，
∴∠DBE+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，
（4）解：连接BC，
∵∠BOC=∠EOF，
∴∠E+∠F=∠OBC+∠OCB，
在四边形ABCD中，∠A+∠D+∠ABC+∠DCB=360°，
∴=360°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质及三角形内角和定理即可求解；
（2）利用三角形外角的性质及三角形内角和定理即可求解；
（3）利用三角形外角的性质及三角形内角和定理即可求解；
（4）连接BC，利用三角形内角和定理及四边形内角和定理即可求解.
26．【答案】（1）解：解方程组得：a=4，b=3，
∴A（0，3），B（-4，0），C（0，-3），
∴BO=4，AC=6，
∴△ABC的面积=×6×4=12，
（2）解：解不等式，解得x≥1，
∵ m是不等式的最小整数解，
∴m=1，
E（-，-1），
∵EF⊥y轴，
∴F（0，-1），
由题意得P（0，3-3t），
∵点D是线段BP的中点，
∴D（-2，），
当0≤t≤2时，点P在线段AC上，如图，
S△BDE=S△BPE=（S△BPC-S△CPE）=[OB ·PC-EF·PC]
=PC·（OB-EF）=(3-3t+3)(4-)=2-t，
当t＞2时，点P在线段AC的延长线上，如图，
S△BDE=S△BPE=（S△BPC-S△CPE）=[OB ·PC-EF·PC]
=PC·（OB-EF）=(3t-6)(4-)=t-2，
∴y=t-2，
∴或；
（3）解：过点B作BG⊥EF于G，则G（-4，-1），
∵E（-，-1），F（0，-1），
∴GE=，GF=4，
当0≤t≤，点Q在点E的左侧，如图，连接EP，
∵，
∴3S△BDE=13S△BQE，即3×（2-t）=13××1×（-2t），解得t=，
∴Q（-，-1）；
当＜t≤2，点Q在点E的右侧，如图，连接EP，
∵，
∴3S△BDE=13S△BQE，即3×（2-t）=13××1×（2t-），解得t=，
∴Q（-，-1）；
综上所知：当t=，Q（-，-1）或t=，Q（-，-1）.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；三角形的综合
【解析】【分析】（1）解方程组求出a和b，再运用三角形面积公式即可求解；
（2）解不等式求出m，得出E（-，-1），再分两种情况：当0≤t≤2时，点P在线段AC上和当t＞2时，点P在线段AC的延长线上，据此分别画出图形，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况：当0≤t≤，点Q在点E的左侧和当＜t≤2，点Q在点E的右侧，由分别建立方程并解之即可..
1 / 1黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2023-2024学年七年级下学期开学测试数学试题
1．（2024七下·哈尔滨开学考）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、7x+3y-z=0是三元一次方程，不符合题意；
B、2x+3y-1=0是二元一次方程，符合题意；
C、x2+3y-1=0是二元二次方程，不符合题意；
D、2x+3y-1＞0是二元一次不等式，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
2．（2024七下·哈尔滨开学考）已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵，∴，故不符合题意；
B、∵，∴ ，故不符合题意；
C、 ∵，∴ ，故符合题意；
D、∵，
∴
∴ ，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
3．（2024七下·哈尔滨开学考）下列四个图形中，线段是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由三角形搞得定义知：D项正确.
故答案为：D.
【分析】三角形的高：从一个顶点出发向对边作一条垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高，据此逐一判断即可.
4．（2024七下·哈尔滨开学考）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
移项得x＜1.
在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可.
5．（2024七下·哈尔滨开学考）以下列各组线段为边，则能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵2+3=5，∴2cm，3cm，5cm不能组成三角形，故不符合题意；
B、∵4+3＜9，∴3cm，4cm，9cm不能组成三角形，故不符合题意；
C、∵1+1＜3，∴1cm，1cm，3cm不能 组成三角形，故不符合题意；
D、∵5+6＞10，∴5cm，6cm，10cm能组成三角形，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐项判断即可.
6．（2024七下·哈尔滨开学考）如果三角形的三个内角的度数比是，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形或直角三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵三角形内角和等于180°，且三个内角的度数比是，
∴三角形的最大内角为180°×=80°，
∴三角形为锐角三角形 .
故答案为：A.
【分析】求出三角形的最大内角的度数，继而判断.
7．（2024七下·哈尔滨开学考）关于x的不等式的解集为，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ∵关于x的不等式的解集为，
∴m+1＜0，
∴.
故答案为：A.
【分析】不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此解答即可.
8．（2024七下·哈尔滨开学考）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，
由题意得： .
故答案为：C.
【分析】 设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，由“ 3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶”列出方程组即可.
9．（2024七下·哈尔滨开学考）如果点 在第四象限，那么m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点p（m，1-2m）在第四象限，
∴m＞0，1-2m＜0，解得：m＞ ，
故答案为：D．
【分析】横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限．
10．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，的角平分线、中线相交于点O，则下列结论中：
①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AO平分∠BAE，故①正确；
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴DE是的中线，但不能确定AO=OD，故②错误，③正确；
由题中条件不能得出∠ADE=∠CDE，故④说法错误.
故答案为：B.
【分析】根据三角形角平分线及中线的定义分别判断即可.
11．（2024七下·哈尔滨开学考）不等式 的最大整数解是 ．
【答案】-3
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】
所以，最大整数是：-3
故答案为：-3
【分析】先解不等式，再求最大整数解.
12．（2024七下·哈尔滨开学考）若是关于x、y的方程的一个解，则k的值是 ．
【答案】6
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程中，得2k-2×5=2，
解得k=6.
故答案为：6.
【分析】把代入方程中即可求出k值.
13．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，中，E在边上，D在延长线上，，，，则 °．
【答案】45
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=70°，
∵∠D=25°，
∴∠1=∠ABC-∠D=45°.
故答案为：45.
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用三角形外角的性质可得∠1=∠ABC-∠D，据此计算即可.
14．（2024七下·哈尔滨开学考）已知某文教店每本笔记本2元，每支钢笔5元．若小红用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，则小红最多能买的钢笔支数是 ．
【答案】13
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小红买了x支钢笔，则购买（30-x）笔记本，
依题意得：5x+2（30-x）≤100，
解得x≤，
∵x为整数，
∴ 小红最多能买13支钢笔.
故答案为：13.
【分析】设小红买了x支钢笔，则购买（30-x）笔记本，根据总价=单价×购买数量≤100，列出不等式，求其最大整数解即可.
15．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，在中，的边上的高与边上的高的比值是 ．
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵△ABC的边AB上的高为CE，边BC上的高为AD，且AB=2，BC=4，
∴△ABC的面积=AB·CE=BC·AD，
即×2CE=×4·AD，
∴=2.
故答案为：2.
【分析】根据三角形的面积相等列出比例即可.
16．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，中，，将绕点O顺时针旋转得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为 ．
【答案】82°
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将绕点O顺时针旋转得到，
∴∠BOB'=52°，∠B'=∠B=30°，
∴∠A'CO=∠BOB'+∠B'=52°+30°=82°.
故答案为：82°.
【分析】由旋转的性质可得∠BOB'=52°，∠B'=∠B=30°，利用三角形外角的性质可得∠A'CO=∠BOB'+∠B'，据此计算即可.
17．（2024七下·哈尔滨开学考）在中，的内角平分线交于点O，若，则 °．
【答案】60
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，的内角平分线交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∵∠BOC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=120°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=60°.
故答案为：60.
【分析】利用三角形的角平分线及三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用三角形内角和求出∠A的度数即可.
18．（2024七下·哈尔滨开学考）在中，为边上的高，，则 ．
【答案】30°或60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，当△ABC为锐角三角形时，
∵BD是AC边上的高，∠ABD=30°，
∴∠A=90°-∠ABD=60°，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠B=（180°-∠A）=60°，
如图，当△ABC为钝角三角形时，
同理得∠BAD=60°，
∵∠ABC=∠C，
∴∠C=∠ABC=∠BAD=30°，
∴∠C的度数为30°或60°.
故答案为：30°或60°.
【分析】分两种情况：当△ABC为锐角三角形时和△ABC为钝角三角形时，根据直角三角形的性质及三角形内角和定理进行求解即可.
19．（2024七下·哈尔滨开学考）计算：
（1）解方程组：
（2）解不等式：
（3）解不等式组：
（4）解不等式组：
【答案】（1）解：，
①×3+②得7x=6x+5，
解得x=5，
把x=5代入①得y=5，
∴方程组的解为
（2）解：去分母得：3（x-3）＞2（2x-5），
去括号得：3x-9＞4x-10，
移项合并得：-x＞-1，
系数化为1：x＜1.
（3）解：，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组的解集为x＞3.
（4）解：
解不等式①得：x≥-2，
解不等式②得：x＜，
∴不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1进行解不等式即可；
（3）分别求出两个不等式的解集，再求其公共部分即可；
（4）分别求出两个不等式的解集，再求其公共部分即可.
20．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）其中以AB为一边可以画出 个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出 个三角形.
【答案】（1）3
（2）6
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】（1）以AB为一边可以画出3个三角形为：△ABE，△ABD，△ABC；
（2）以C为顶点可以画出6个三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE．
故答案为：3；6
【分析】（1）根据三角形的定义，再选择一个点，然后顺次连接可画出图形。
（2）利用三角形的定义，再在A、B、D、E中任意选择两点，然后顺次连接可画出图形。
21．（2024七下·哈尔滨开学考）请阅读下列材料：我们规定一种运算：，比如：．
按照这种规定的运算，请解答下列问题：
（1）填空：计算 ；
（2）若，且满足，请你求出k的整数值．
【答案】（1）-4
（2）解：∵，
∴，
解得：，
∵，
∴1≤2（-2k）-7≤5，
解得-3≤k≤-2，
∴ k的整数值为-2，-3.
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）2×（-5）-（-6） =-4.
故答案为：-4.
【分析】（1）根据定义新运算进行列式计算即可；
（2）根据定义新运算及题目条件列方程组求出x、y值，再由列出不等式组，再求其整数解即可.
22．（2024七下·哈尔滨开学考）如图所示，在中，D是边上的一点，，求的度数．
【答案】解：∵∠C=∠DAC，
∴∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2∠DAC，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-4∠DAC，
∵∠BAC=87°，
∴∠BAD+∠DAC=180°-4∠DAC+∠DAC=87°，
解得：∠DAC=31°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2∠DAC，利用三角形内角和可得∠BAD=180°-4∠DAC，由∠BAD+∠DAC=180°-4∠DAC+∠DAC=87°即可求解.
23．（2024七下·哈尔滨开学考）已知关于x，y的方程组的解，则m的取值范围是多少？
【答案】解：，
②×2-①得：x=2m-6，
把x=2m-6代入②得：y=-3m+11，
∴x+y=2m-6+（-3m+11）=-m+5，
∵，
∴-m+5＞0，
解得.
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法求出方程组的解，继而求出x+y的值，由建立关于m的不等式，解之即可.
24．（2024七下·哈尔滨开学考）某商店欲购进A、B两种商品，已知购进A种商品5件和B种商品4件共需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件共需440元．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，且商店将购进A、B共50件的商品全部售出后要获得的利润超过348元，问A种商品至少购进多少件？
【答案】（1）解：设A、B两种商品每件的进价分别为x元，y元，
由题意得：，
解得，
答：A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元.
（2）解：设购进A商品a件，则购进B商品（50-a）件，
由题意得：8a+6(50-a）＞348，
解得：a＞24，
答： A种商品至少购进25件 .
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B两种商品每件的进价分别为x元，y元，根据“ 购进A种商品5件和B种商品4件共需300元；购进A种商品6件和B种商品8件共需440元 ”列出方程组并解之即可；
（2）设购进A商品a件，则购进B商品（50-a）件，根据“ 获得的利润超过348元 ”建立不等式并求出最小整数解即可.
25．（2024七下·哈尔滨开学考）如图
（1）如图1，这是一个五角星，求的度数．
（2）如图2，如果点B向右移动到上，直接写出的度数．
（3）如图3，当点B向右移动到的另一侧时，直接写出的度数．
（4）如图4，求的度数．
【答案】（1）解：如图1，∵∠EFH=∠B+∠D，∠EHF=∠A+∠C，∠EFH+∠EHF+∠E=180°，
∴∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，
（2）解：如图2，∵∠EFH=∠B+∠D，∠EHF=∠A+∠C，∠EFH+∠EHF+∠E=180°，
∴∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，
（3）解：如图3，∵∠EFH=∠DBE+∠D，∠EHF=∠A+∠C，∠EFH+∠EHF+∠E=180°，
∴∠DBE+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，
（4）解：连接BC，
∵∠BOC=∠EOF，
∴∠E+∠F=∠OBC+∠OCB，
在四边形ABCD中，∠A+∠D+∠ABC+∠DCB=360°，
∴=360°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质及三角形内角和定理即可求解；
（2）利用三角形外角的性质及三角形内角和定理即可求解；
（3）利用三角形外角的性质及三角形内角和定理即可求解；
（4）连接BC，利用三角形内角和定理及四边形内角和定理即可求解.
26．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，两坐标轴上有三点，其中a，b是二元一次方程组的解，连接，在上有一点，其中m是不等式的最小整数解．
图1 图2
备用图 备用图
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，过点E作轴于F，动点P从A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线向下匀速运动，连接，点D是线段的中点，连接，设运动时间为t秒，的面积为y，直接写出y与t之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，过B点做的垂线，交直线于点G，动点Q从点G出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点F匀速运动，点P、Q同时出发，其中一点停止运动，另一个点也停止运动，连接．当t为何值时，，并直接写出Q点的坐标．
【答案】（1）解：解方程组得：a=4，b=3，
∴A（0，3），B（-4，0），C（0，-3），
∴BO=4，AC=6，
∴△ABC的面积=×6×4=12，
（2）解：解不等式，解得x≥1，
∵ m是不等式的最小整数解，
∴m=1，
E（-，-1），
∵EF⊥y轴，
∴F（0，-1），
由题意得P（0，3-3t），
∵点D是线段BP的中点，
∴D（-2，），
当0≤t≤2时，点P在线段AC上，如图，
S△BDE=S△BPE=（S△BPC-S△CPE）=[OB ·PC-EF·PC]
=PC·（OB-EF）=(3-3t+3)(4-)=2-t，
当t＞2时，点P在线段AC的延长线上，如图，
S△BDE=S△BPE=（S△BPC-S△CPE）=[OB ·PC-EF·PC]
=PC·（OB-EF）=(3t-6)(4-)=t-2，
∴y=t-2，
∴或；
（3）解：过点B作BG⊥EF于G，则G（-4，-1），
∵E（-，-1），F（0，-1），
∴GE=，GF=4，
当0≤t≤，点Q在点E的左侧，如图，连接EP，
∵，
∴3S△BDE=13S△BQE，即3×（2-t）=13××1×（-2t），解得t=，
∴Q（-，-1）；
当＜t≤2，点Q在点E的右侧，如图，连接EP，
∵，
∴3S△BDE=13S△BQE，即3×（2-t）=13××1×（2t-），解得t=，
∴Q（-，-1）；
综上所知：当t=，Q（-，-1）或t=，Q（-，-1）.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；三角形的综合
【解析】【分析】（1）解方程组求出a和b，再运用三角形面积公式即可求解；
（2）解不等式求出m，得出E（-，-1），再分两种情况：当0≤t≤2时，点P在线段AC上和当t＞2时，点P在线段AC的延长线上，据此分别画出图形，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况：当0≤t≤，点Q在点E的左侧和当＜t≤2，点Q在点E的右侧，由分别建立方程并解之即可..
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