九年级数学上册试题 25.3 解直角三角形 同步测试-沪教版（含解析）

25.3解直角三角形
一、选择题．
1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（　　）
A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50°
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，下列四个选项中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，3），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么tanα的值是（　　）
A． B． C． D．3
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是高，如果AB＝m，∠A＝α，那么CD的长为（　　）
A．m sinα tanα B．m sinα cosα
C．m cosα tanα D．m cosα cotα
5．在△ABC中，如果sinA，cotB，那么这个三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
6．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（　　）
A． B． C．2 D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝2，tanB＝2，那么AC＝（　　）
A．1 B．4 C． D．2
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴的夹角α的余切值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，cosC，则△BCD与△ABD的面积比是（　　）
A．1：3 B．2：7 C．2：9 D．2：11
二、填空题
11．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tanB＝　 　．
12．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是　 　．
13．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tanC，那么DP的长是　 　．
14．在直角坐标平面内有一点A（12，5），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么cosθ＝　 　．
15．已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sinB，那么∠C＝　 　度．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是　 　．
17．如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝　 　．
18．如图，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝30°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，即可得∠D＝15°．如果设AC＝t，则可得CD＝（2）t，那么cot15°＝cotD2．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是　 　．
三、解答题
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求AD的长；
（2）求∠EBC的正切值．
22．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
23．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求：△ABC的面积和∠C的度数．
24．如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB．
（1）求线段BC的长；
（2）求∠BOC的正弦值．
答案
一、选择题．
1．
【分析】根据直角三角形的边角关系可得结论．
【解析】在Rt△ABC中，
∵cosB，∠B＝50°，AB＝10，
∴BC＝AB cosB＝10 cos50°，
故选：A．
2．
【分析】根据含30°直角三角形的性质得到AB＝2BC，BC＝2BD，设BD＝x，则BC＝2x，AB＝4x，根据勾股定理求得AC＝2x，CDx，逐项代入判断即可得到结论．
【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝2BD，
设BD＝x，则BC＝2x，AB＝4x，
∴AC2x，CDx，
∵，
∴A不合题意；
∵，
∴B符合题意；
∵，
∴C不合题意；
∵，
∴D不合题意；
故选：B．
3．
【分析】如图，过P点作PA⊥x轴于A，则∠POA＝α，利用P点坐标得到OA＝1，PA＝3，然后根据正切的定义求出tan∠POA的值即可．
【解析】如图，过P点作PA⊥x轴于A，
则∠POA＝α，
∵点P的坐标为（1，3），
∴OA＝1，PA＝3，
∴tan∠POA3，
即tanα＝3．
故选：D．
4．
【分析】在Rt△ABC中，由锐角三角函数的意义可求出AC＝m cosα，在Rt△ADC中，由锐角三角函数的意义可求出CD＝m cosα sinα，进而得出答案．
【解析】如图，在Rt△ABC中，
∵cosA，AB＝m，∠A＝α，
∴AC＝m cosα，
在Rt△ADC中，
∵sinA，AC＝m cosα，∠A＝α，
∴CD＝m cosα sinα，
故选：B．
5．
【分析】求出∠A，∠B的值即可判断．
【解析】∵sinA，cotB，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：D．
6．
【分析】过点C（2，1），作CD⊥x轴于D，则OD＝2，CD＝1，由三角函数定义即可得出答案．
【解析】过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：
则OD＝2，CD＝1，
在Rt△OCD中，tanα．
故选：B．
7．
【分析】根据正切函数的定义求解即可．
【解析】如图，
在Rt∠ACB中，∵∠C＝90°，
∴tanB2，
∴2，
∴AC＝4．
故选：B．
8．
【分析】根据余切函数的定义解答即可．
【解析】如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴cotB，
故选：A．
9．
【分析】过点A作AB⊥x轴，构造直角三角形，由坐标得出OB＝2，AB＝3，再根据余切的意义求出结果即可．
【解析】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，
在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα，
故选：B．
10．
【分析】作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质，解直角三角形得到ACCD，即可得到，然后根据三角形面积公式求得．
【解析】作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BE＝ECBC，
∵在Rt△AEC中，cosC，
∴AC＝3EC，
∴ACBC，
在Rt△BCD中，cosC，
∴BC＝3CD，
∴ACCD，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】设AB＝k，则AC＝2k，BCk，根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义作答．
【解析】根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BCk，
∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
∴tanB2．
故答案是：2．
12．
【分析】首先作过AAH⊥BC，再利用∠B＝60°，AB＝5，求出AH，即可得出结果．
【解析】过A作AH⊥BC于H，如图所示：
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠B＝60°，AB＝5，
∴sinB，
∴AH＝AB sinB＝5×sin60°＝5，
∴S△ABCAH BC8＝10，
故答案为：10．
13．
【分析】由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP∥CD，则∠C＝∠APB，由tan∠APB，求得BP＝4，PC＝6，在Rt△CDP中，tanC，CD，得出，即可得出结果．
【解析】∵DP⊥AP，CD⊥DP，
∴AP∥CD，
∴∠C＝∠APB，
∵AB⊥BC，
∴tan∠APB，
∵tanC，
∴，
∴BP＝4，
∴PC＝BC﹣BP＝10﹣4＝6，
在Rt△CDP中，tanC，CD，
∴，
解得：DP或DP（不合题意舍去），
故答案为：．
14．
【分析】根据题意，作出合适的平面直角坐标系，然后作AB⊥x轴于点B，再根据点的A的坐标和勾股定理，可以得到OA的长，然后即可得到cosθ的值．
【解析】作AB⊥x轴于点B，如右图所示，
∵点A（12，5），
∴OB＝12，AB＝5，∠ABO＝90°，
∴OA13，
∴cos∠AOB，
即cosθ，
故答案为：．
15．
【分析】过A作AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，解直角三角形求出AD和BD，求出CD＝AD＝4，再求出答案即可．
【解析】过A作AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵sinB，AB＝5，
∴AD＝4，
由勾股定理得：BD3，
∵BC＝7，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝45°，
故答案为：45．
16．
【分析】如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题．
【解析】如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB cos60°＝6，AH＝AB sin60°＝6，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE，
∴EF＝4，
∴DF3，
∵S△CDE＝6，
∴ CD EF＝6，
∴CD＝3，
∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC，
∴，
∴CH＝9，
∴BC＝CH﹣BH＝96．
故答案为：96．
17．
【分析】如图，取格点E，连接AE、BE，通过计算得直角三角形△ABE，利用CD∥BE，得到∠AOC＝∠ABE．在Rt△ABE中，依据正切值的意义可求解．
【解析】如图，取格点E，连接AE、BE，
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE，
AE．
由网格可以看出：∠AED＝45°，∠BED＝45°．
∴∠AEB＝45°+45°＝90°．
同理，∠ACD＝90°．
∴CD∥BE．
∴∠AOC＝∠ABE．
∴tan∠AOC＝tan∠ABE．
在Rt△ABE中，tan∠ABE．
∴tan∠AOC＝3．
故答案为：3．
18．
【分析】利用题中的方法构建一个Rt△ADC，使∠D＝22.5°，然后利用余切的定义求解．
【解析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠D，
∵∠ABC＝∠BAD+∠D，
∴∠D∠ABC＝22.5°，
设AC＝t，则BC＝t，ABt，
∴CD＝BC+BD＝tt＝（1）t，
在Rt△ADC中，cotD1，
∴cot22.5°1．
故答案为1．
三、解答题
19．（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cosA，
∴，
∴AB＝10，
∴BC8，
又∵D为AB中点，
∴AD＝BD＝CDAB＝5，
∴∠DCB＝∠B，
∴cos∠DCB，cos∠B，
∴，
∴CE；
（2）作EF⊥AB交AB于F，
由（1）知CE，
则BE＝8，DE，
设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，
在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2，
∴（5﹣x）2x2，
解得x，
∴sin∠BDE．
20．（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，
∵∠BCA＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝EC，
∵cotB，
在Rt△BEA中，，
设BE＝3x，AE＝2x，
∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，
∴x＝2，
∴BE＝6，EA＝EC＝4，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2．
即AB2＝36+16＝52．
∴AB．
（2）由（1）知AB＝2，
又∵D为AB的中点，
∴BD＝AD，
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴DF∥AE，
∵BD＝AD，
∴BF＝FEBE＝3．
∴DFAE＝2，
∴FC＝FE+EC＝3+4＝7．
∴tan∠DCB．
21．（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，
∵CD＝CA，
∴AH＝DH，
∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝∠ABC，
∴sin∠ACH＝sin∠ABC，
在Rt△ACH中，sin∠ACH，
∴AD＝2AH＝2；
（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC，
∴AB＝3AC＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，
∵∠E＝90°，
而∠EDB＝∠HDC，
∴∠HCD＝∠EBD，
∴sin∠EBD，
∴DEBD，
∴BE，
在Rt△EBC中，tan∠EBC．
22．（1）过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC2，sin∠BAC，
∴∠BAC＝30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴BD，
Rt△ADF中，DF＝AD sin∠BAC，
Rt△BDF中，sin∠ABE；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：
∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴，
∵BC＝2，CD＝AD，BD，
∴，解得AH，HD，
∵∠AEB＝∠BAC＝30°，
∴HE，
∴BE＝BD+DH+HE，
∵EG∥AC，
∴∠BDC＝∠BEG，
而∠CBD＝∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴，即，
∴EG．
方法二：过E作EG⊥BC于G，
∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABD∽△ABE，
∴，
即，
∴BE，
∵DC⊥BC，EG⊥BG，
∴DC∥BG，
∴，即，
∴EG，
∴点E到直线BC的距离为．
23．作AD⊥BC于D，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，
由勾股定理可得：，
解得：x＝2.5，
即CD＝2.5，
∴∠ACD＝60°，
∴AD，
∴．
24．（1）如图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴AB＝OC＝2，OD＝BD＝1，
∴∠C＝30°，
∴CD，
∴BC1；
（2）如图，过点B作BE⊥OC于点E，
∵∠C＝30°，
∴BEBC，
∴sin∠BOC．