2023-2024学年甘肃省天水市秦安二中等校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省天水市秦安二中等校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为虚数单位，若，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.如图，在四边形中，设，，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知某地、、三个村的人口户数及就困情况分别如图和图所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.设，是非零向量，“”是“”的
( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知为第二象限角，，则( )
A. B. C. D.
6.一艘船向正北方向航行，速度为每小时，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．行驶小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．此时船与灯塔的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知平面内三点，，，则向量在的方向上的投影数量为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的最小角为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据的方差和平均数为、，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的倍，所得到的一组数据的方差和平均数是( )
A. 方差是 B. 方差是 C. 平均数是 D. 平均数不变为
10.已知向量，，则( )
A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为
11.下列公式正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.中，，，，则的面积为______．
14.已知，，均为锐角，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求实数的值，使得复数分别是：
实数；
纯虚数．
16.本小题分
已知，．
求与的夹角的余弦值；
若，求实数的值．
17.本小题分
求证：．
18.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，．
若，，求；
若的面积为，，求．
19.本小题分
已知函数，且函数的最小正周期为．
求的解析式，并求出的单调递增区间；
将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时的取值集合．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，先求出，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：如图，在四边形中，
，，，
，
，
故选：．
如图，在四边形中，观察图形知，由此能得到．
本题考查向量的加减运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，样本容量为：，
抽取村贫困户的户数为：．
故选：．
利用分层抽样、扇形统计图和条形统计图直接求解．
本题考查频数的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分条件，必要条件的判断，向量的数量积，向量共线的定义，属于中档题．
分别讨论充分性和必要性，即可得到答案．
【解答】
解：，
时，，
，
，
“”是“”的充分条件；
时，的夹角为或，
，或，
即得不到，
“”不是“”的必要条件，
综上可得，“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：为第二象限角，，
两边平方可解得：，
．
故选：．
原式两边平方，由二倍角的正弦公式即可化简求值．
本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．
6.【答案】
【解析】【分析】
利用条件求出中的已知量，利用正弦定理列式求解．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
【解答】
解：由条件有，，，．
由正弦定理有，代入数据得，解得．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量数量积的坐标运算，投影数量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
可求出，然后即可求出和的值，从而可得出在方向上的投影数量．
【解答】
解：，
，，
在方向上的投影数量为：．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：在中，，，，
由大边对大角可知，边所对的角最小，
由余弦定理可得：．
，．
故选：．
由三角形中大边对大角可知，边所对的角最小，然后利用余弦定理的推论求得，则答案可求．
本题考查余弦定理的应用，考查了三角形中的边角关系，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：由平均数和方差的性质可知，新的数据的方差为，平均数为．
故选：．
利用平均数和方差的性质求解．
本题主要考查了平均数和方差的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，若与垂直，则，所以，故A错误；
对于，若，则，解得，所以，
所以，故B正确；
对于，若，则，所以，
则，故C正确；
对于，若，则，
又因为，所以与的夹角小于，故D错误．
故选：．
由判断；由平面向量共线的坐标表示求出，再由数量积的坐标表示计算即可判断；由向量模的坐标表示判断；由夹角公式判断．
本题考查平面向量平行与垂直的坐标表示，数量积与夹角的坐标运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由差角余弦公式有，所以选项错误；
由倍角余弦公式有，选项正确；
由诱导公式有，选项正确；
由倍角余弦公式有，选项正确．
故选：．
根据两角差的余弦公式、二倍角公式、诱导公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了两角差的余弦公式、二倍角公式、诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：在中，，，，由余弦定理可得：，化为：，
解得：．
．
故答案为：．
利用余弦定理可得，再利用三角形面积计算公式即可得出．
本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为为锐角，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
由已知结合同角平方关系及和差角公式先求出，进而可求．
本题主要考查了同角平方关系，和差角公式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：由题知，复数为实数当且仅当，即或，
所以当或时，复数为实数．
复数为纯虚数当且仅当，即，
唯一满足此条件的的值是，
所以当时，复数为纯虚数．
【解析】根据复数为实数时解决即可；
根据纯虚数的定义，即可求解；
本题主要考查实数、纯虚数的定义，属于基础题．
16.【答案】解：，，．
．
，，
又，，
解得．
【解析】利用即可得出．
，可得，解得．
本题考查了向量数量积运算法则、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】证明：，
成立．
【解析】由条件利用三角函数的恒等变换化简所给式子的左边，可得它等于等式的右边，从而证得等式．
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．
18.【答案】解：因为，，所以，
由正弦定理，可得；
因为的面积为，
所以，因为，，
所以，解得，
由余弦定理可得，即．
【解析】先求出角，结合正弦定理可得答案；先利用面积求出，结合余弦定理可得答案
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
19.【答案】解 ．
由函数的最小正周期，
所以，，
令，，
解得，，
故的单调递增区间为，；
，
根据正弦函数的性质可知，的最大值为，
此时，即，，
解得，，
所以当取得最大值时的取值集合为．
【解析】先利用二倍角公式，二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；
先求出的解析式，然后结合正弦函数的最值取得条件可求．
本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
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