2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中市郊联体高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中市郊联体高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，均为等差数列，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是( )
A. 数列为递减数列 B.
C. 的最大值为 D.
4.若，，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的导函数的图象如图，以下命题正确的是( )
A. 是函数的极大值点
B. 是函数的最小值点
C. 在区间上单调递增
D. 在处切线的斜率小于零
6.已知数列满足，若数列是公比为的等比数列，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于( )
A. B. C. D.
8.设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. ，则
B. ，则
C.
D. 设函数且，则
10.设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且为数列的唯一最大项，则
D. 若，且，则使得成立的的最大值为
11.函数，，下列命题中正确的是( )
A. 不等式的解集为
B. 函数在上单调递增，在上单调递减
C. 若函数有两个极值点，则
D. 若时，总有恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一个数列中，如果，都有为常数，那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知数列是等积数列，且，，公积为，则______．
13.某个体户计划同时销售，两种商品，当投资额为千元时，在销售，商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入千元销售，两种商品，为使总收益最大，则商品需投______千元．
14.已知实数，满足，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象经过点，且在处取得极值．
求，的值；
求经过点且与曲线相切的切线方程．
16.本小题分
已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足．
分别求数列和的通项公式；
将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
17.本小题分
已知函数．
若，求在上的最大值和最小值；
若，当时，证明：恒成立；
若函数在处的切线与直线：垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列满足，且．
证明：是等比数列，并求的通项公式；
在数列中，，，求的通项公式；
记数列满足，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ若，的导数在上是增函数，求实数的最大值；
Ⅲ求证：对一切正整数均成立．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，两式相加可得，，
则．
故选：．
分别根据等差数列的下标和性质化简计算．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
，
解得．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
3.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
由题意，，在等差数列中，，且，
，故B错误；
，数列为递增数列，A错误；
当时，，当时，，的最小值为，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：构造函数，，则，
令解得；令，解得；
可得在上单调递增，在上单调递减，
，，且，
，即，就是．
故选：．
结合，，的特征，构造函数，利用其单调性即可比较大小．
本题考查导数的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由函数的导函数的图象可知，
对于：左侧的导数小于，而右侧的导数大于，
所以是函数的极小值点，故A错误；
对于，：左侧的导数大于，右侧的导数大于，
不是函数的最小值点，故B错误；
当时，，单调递增，故C正确；
对于：由图象得，
所以在处切线的斜率大于零，故D错误；
故选：．
利用函数的导函数的图象对，，，四个选项逐个判断即可．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为数列是公比为的等比数列，且，
所以，
所以，
由得：，
分别取，，，，得，
，
，
，
，
，
以上各式左右分别相加得：，
所以．
故选：．
由等比数列的通项公式可得，从而得到，由累加法即可求得．
本题考查等比数列的通项公式和累加法求数列的通项，涉及等比数列求和，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设曲线的切点为，而，
故切线为，即；
设曲线的切点为，
故切线为，即，
由题意是同一条直线，故，解得，或，
当时，切线为，不符合题意，舍去；
当时，切线为，即，所以．
故选：．
分别设切点求出各自的切线方程，然后两切线相等求出切点坐标，即可求出，的值．
本题考查导数的几何意义以及公切线的求法，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．
构造函数，求出导数，判断在上递增．原不等式等价为，运用单调性，可得，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．
【解答】
解：可构造函数，
，
由，可得，即有在上递增．
不等式即为，，即，．
即有，即为，
由在上递增，可得，解得．
故不等式的解集为，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，，A正确；
，B错误；
，C正确；
，，，，D错误．
故选：．
根据基本初等函数、积的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可．
本题考查了基本初等函数、积的导数和复合函数的求导公式，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，若，则有，
结合，可得，故A不正确；
对于，若，则有，
可知，B正确；
对于，若，且为数列的唯一最大项，
则公比，且，即，解得，故C正确；
对于，若，且，
则，且，即，，可知，
由此得到，，当时，均小于．
综上所述，使得成立的的最大值为，故D正确．
故选：．
根据题意利用等比数列的通项与性质，对各项中的结论依次进行验证，即可得到本题的答案．
本题考查等比数列的通项公式与等比数列的性质，考查了计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又当时，，且，，
所以的图形如图所示：
对于：数形结合可知的解集为，故A正确；
对于：由知在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于：若函数有两个极值点，
即有两个极值点，
又，
所以需要在有两个根，
即在上有两个根，
即直线与的图像有两个交点，
所以，即，故C错误；
对于：若时，总有，
所以恒成立，
构造函数，
则对任意恒成立，
所以在单调递增，
则在恒成立，
即在区间恒成立，
而的最大值为．
故．
故选：．
对于：利用函数的单调性和导数，求出不等式的解，即可判断是否正确；
对于：求导得，分析的符号，即可判断是否正确；
对于：根据题意可得有两个极值点，又，即在上有两个根，即可判断是否正确；
对于：根据题可得时，总有恒成立，构造函数，只需对任意恒成立，即可判断是否正确．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：依题意，数列是等积数列，且，，公积为，
，即，
．
同理可求，，，
是以为周期的数列，
，
，
．
．
故答案为：．
根据“等积数列”的概念，，，公积为，可求得，，，利用数列的求和公式即可求得答案．
本题考查数列的求和，求得是以为周期的数列是关键，考查分析观察与运算能力．
13.【答案】
【解析】解：设商品需投千元，则商品为千元，
则：，，
所以，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
所以当商品投入千元时，总收益最大．
故答案为：．
设总收益为，利用导数即可求解．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，，
，则，
由，，得，
即．
故答案为：．
由已知两等式可得，再由，得到，求出，则答案可求．
本题考查对数的运算性质，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：由题意得，
因为函数的图象经过点，且在处取得极值，
所以，则．
由和，可得，，
又因为经过点，
所以切线方程为：，即．
【解析】求导数得和，可求得，的值．
求导数求出切线的斜率，又经过可得切线方程．
本题主要考查利用导数求切线方程和极值，属于中档题．
16.【答案】解：因为正项等差数列满足，，
所以，；
因为，
所以，，
当时，两式相减得，，即，
当时，适合上式，
故；
由得，数列的前项分别为，，，，，，，，对应数列的第，，，，，，，项，
结合一次函数及指数函数的增长速度可知，前项中共有项重复，
故数列的前项为的前项，剔除数列的前项，
则．
【解析】结合等差数列的求和公式及通项公式先求出，结合数列和与项的递推关系及等比数列的通项公式可求；
先分析两数列相同项的特点，然后结合等差与等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式及求和公式的应用，还考查了数列递推关系在数列通项公式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，
则，
令可得，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故递减区间为，递增区间为，
函数的极小值，是唯一的极小值，无极大值，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是；
证明：因为，所以，
则，
当时，，则在上单调递增，
所以当时，，
所以恒成立；
因为函数的图象在处的切线与直线：垂直，
所以，即，解得，
所以，
因为对，恒成立，
所以对，恒成立，
令，则，
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，
解得，
所以实数的取值范围为．
【解析】先求出，根据的符号得到的单调性，进而求出在上的最大值和最小值；
设，求导可知在上单调递增，进而得到；
由导数的几何意义可知，所以，及对，恒成立，令，求导可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，从而求出的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
18.【答案】证明：因为，
变形得：，
又，
故，
所以是首项为，公比为的等比数列，从而，即；
解：由题意可得，
所以当时，，，，，
上式累加可得，，
又，所以，当时，满足上式，
所以；
由得，，
则在前项中，，
，
，
作差得，
，
从而．
【解析】由已知递推关系变形得：，结合等比数列的通项公式即可求解；
由题意可得，然后结合累加法即可求解；
由得，然后利用分组求和，结合等差数列的求和公式及错位相减求和即可求解．
本题主要考查了数列的递推关系及等比数列的通项公式在数列通项公式求解中的应用，还考查了累加法的应用，错位相减求和方法的应用，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ的导数为，
当时，恒成立，可得在上递增；
当时，由，解得，
当时，，递增；当时，，递减．
所以，时，的增区间；时，的减区间为，增区间为；
Ⅱ若，，
，由在上是增函数，
可得在上恒成立，
所以在上恒成立，而，所以，
即，可得的最大值为；
Ⅲ证明：由Ⅱ可得，当时，，
在上是增函数，即有，
则在递增，则，即，
所以，，，，
相加可得
．
【解析】Ⅰ求得的导数，对讨论，分，，解不等式可得所求单调区间；
Ⅱ求得的解析式和导数，由题意可得在上恒成立，由参数分离和不等式恒成立思想可得所求最大值；
Ⅲ由Ⅱ结合函数的单调性推得，再由累加法和裂项相消求和、不等式的性质可得证明．
本题考查导数的运用：求单调性，以及不等式恒成立问题解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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