2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一（下）质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一（下）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知两点，，则与向量同向的单位向量是( )
A. B. C. D.
3.如图，在正方形中，下列命题中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
5.在边长为的菱形中，，若点，满足，，其中，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.在中，，点在上，，，则( )
A. B. C. D.
7.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处则点到达点所跳跃次数的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知平面内一正三角形的外接圆半径为，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动点，则最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为( )
A. 若，则
B. 若在复平面所在直线上，则
C. 若为纯虚数，则
D. 若在第四象限，则
10.已知复数，，则( )
A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限
C. D.
11.已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是( )
A.
B. 的面积为
C.
D. 在的外接圆上，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则与同向的单位向量为______．
13.在中，内角、、的对边分别为、、，满足，则 ______．
14.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，已知，．
求；
求的取值范围．
16.本小题分
在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位．
，，计算与；
设，，求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号．
17.本小题分
设的外接圆半径是均为锐角，且．
证明：不是锐角三角形；
证明：在的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求的取值范围；
若，点，，分别在等边的边，，上不含端点若面积的最大值为，求．
19.本小题分
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．
形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，称为虚数单位，当时，为实数；当且时，为纯虚数其中，叫做复数的模．
设，，，，，
如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．
叫做复数的三角形式．
设复数，，求、的三角形式；
设复数，，其中，求；
在中，已知、、为三个内角、、的对应边借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
；
，，．
注意：使用复数以外的方法证明不给分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，先化简，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
解决此类问题的关键是正确表达向量与求出向量的模，并且熟悉单位向量的定义．
根据两个点的坐标写出向量的坐标表示，进而求出其模并且求出与向量同向的单位向量．
【解答】
解：因为两点、的坐标为，，
所以．
所以，
所以与向量同向的单位向量为
故选：．
3.【答案】
【解析】解：正方形中，向量、方向不同，不是相等向量，A错误；
向量、大小相等，方向相反，不是相等向量，B错误；
向量与的方向不同，不是相等向量，C错误；
，模长相等，D正确．
故选：．
根据两向量的模长相等，方向相同，即可判断是相等向量．
本题考查了判断两向量是否相等的应用问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：在边长为的菱形中，，
则，
又点，满足，，其中，且，
则
，
当且仅当时取等号，
即的最大值为．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合基本不等式的应用求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．
选取，为基底，将用基向量表示后代入计算可得．
【解答】
解：因为中，，点在上，，，
故，
所以，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：每次跳跃的路径对应的向量为
，，，，，，，，
因为求跳跃次数的最小值，则只取，，，，
设对应的跳跃次数分别为，，，，其中，，，，
可得，
则，两式相加可得，
因为，，则或，
当时，则次数为；
当时，则次数为；
综上所述：次数最小值为．
故选：．
根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果．
本题考查归纳推理，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：建立如图所示坐标系，
则点，
设点，且，
则
故当，时，有最大值为，
故选：．
建立直角坐标系，可以表示出，，的坐标，再设点，即可用与表示出，即可求出答案．
本题考查了向量模长的最值问题，建立合适的坐标系，利用参数法求解是解题关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查实数与复数，属于基础题．
根据已知条件，结合实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义逐项判断即可求解．
【解答】
解：，
对于，若，
则，解得，故A错误；
对于，若在复平面所在直线上，
则，解得，故B错误；
对于，若为纯虚数，
则，解得，故C正确；
对于，在第四象限，
则，解得，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
由已知分别利用复数代数形式的四则运算及复数模的求法逐一核对四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
【解答】
解：，，
是纯虚数，故A正确；
，对应的点的坐标为，位于第四象限，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：在三角形中，由余弦定理，
，故，故B正确；
在中，由余弦定理得：，
，故A正确；
由余弦定理可知：，，
平分，，
，
在三角形中，由正弦定理可得：，故AD，故C错误；
，，，，
，
为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为，
显然当取得最大值时，在优弧上．
故，设，则，，
，
，，
，其中，，
当时，取得最大值，故D正确．
故选：．
利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，根据面积公式计算三角形的面积，利用正弦定理计算，设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值．
本题考查了正弦定理、余弦定理，考查三角恒等变换，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
与平行的单位向量可以为．
故答案为：．
由已知向量的坐标，利用求得与平行的一个单位向量．
本题考查平行向量与单位向量的概念，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：法：，
而，
．
法：由射影定理，，
又由题意，，，
故，
，
，，故．
故答案为：．
解法，先用正弦定理边角互化，再用和差和诱导公式求解即可；
解法：先用射影定理化简，用正弦定理边角互化即可求解．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：在中，，，
由正弦定理可得：，整理可得：，即：，
，解得：，可得：为钝角，为锐角．
要取最大值，则取最大值，，取最小值，从而，取最小值．
，解得：，
，可得：，即：，解得：，
又，整理可得：，
，
当取最大值时，，，此时，由余弦定理可得：，
从而求得即取最大值为．
故答案为：．
由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：，可得为锐角，可得要取最大值，则，取最小值，由，解得，
由的范围即可解得，从而可求的范围，结合余弦定理即可解得的范围，从而由余弦定理即可求得的最大值．
本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，正切函数的图象和性质，大边对大角等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，熟练掌握和应用相关公式定理是解题的关键，属于中档题．
15.【答案】解：由题意，，
根据正弦定理可得，，
则，
展开可得，
，
，
，
；
由正弦定理，
则
，其中，
是锐角三角形，
，
，
，
．
【解析】利用正弦定理边化角，再借助三角函数和差角公式化简可解；
利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式化简求范围．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：，
，，
；
证明：，，
，，
，，
，
，当时取“”，此时．
【解析】根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，可知，然后进行数量积的坐标运算即可；
容易求出，从而求出，并可求出，然后作差即可判断出，进而得出，并且可得出时取等号．
本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：证明：记在中，，，所对的边分别长度为，，．
根据正弦定理，所以，，．
由，得，有，
得到，
因为，都是锐角，根据的复合函数单调性得到，
所以，所以，所以不是锐角三角形；
因为，所以，
所以，所以，得到，
设外接圆圆心为，
则有，
得到对平面上所有成立，必须有，
根据是直角和平面几何知识，得到在外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到唯一．
【解析】由正弦定理，根据，得到，由的单调性证明；
由，得到，即，设外接圆圆心为，再利用向量运算证明．
本题考查正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
即，
所以，因为，所以，
所以，
因为，所以，
在中，有
，
，；
由可知，由于面积的最大值为，
则，得，所以的最大值为，
因为，所以，
因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得所以，得，
在中，由正弦定理得，
所以，得，
所以
，
其中，所以当时，取得最大值，
所以，
所以，所以，
即，所以，
解得或舍去．
【解析】借助正弦定理及三角恒等变换公式可得，借助余弦定理与正弦定理可将表示为正弦型函数，借助正弦型函数的性质即可得解；
借助面积公式，可得的最大值，设，结合正弦定理可将表示成正弦型函数，借助正弦型函数的性质可得取得最大值时的．
本题考查正弦定理，余弦定理，两角和差公式，属于中档题．
19.【答案】解：
，
．
设，，的模为，的模为，，，
对于，有，，
对于，有，，
所以，，，，
所以．
，所以无意义，
即的角的终边在轴上，又，
所以，．
证明：如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，
则，所以，
即，即，
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，
所以，，
同理，，
，所以，
，，．
【解析】利用复数的三角形式的要身份证求解即可．
设，，的模为，的模为，，，利用复数的三角形式，结合辐角主值，转化求解即可．
在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则，根据复数的相等，结合正弦定理，转化求解即可．
本题考查复数的几何意义的应用，复数的三角形式的运算，考查转化竖线研究计算能力，是中档题．
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