重庆市重点高中2023-2024学年高一下学期5月期中考试 数学试题（PDF版含答案）

高 2023 级高一下期期中考试
数学试卷
（考试时间 120 分钟，满分 150 分）
一、选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1．已知复数 z满足 2 i z 3 i，则 z的虚部是（ ）
A． 1 B．1 C． i D．i

2．若OA 1,2 ，OB 1, 1 ，则 AB等于（ ）
A． 2,3 B． 0,1 C． 1,2 D． 2, 3
3．已知一个圆锥的母线长为 2，其侧面积为 2π，则该圆锥的高为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
4．在 ABC中， a 3,b 1,B
π
，则 A （ ）
6
π π 5π 2π π 2π
A． B． 或 C． D． 或
3 6 6 3 3 3

5．若 a 1, 3 b 3 a ， ， 2b 2 ，则向量 a与b 的夹角为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
6．如图，在 ABC中，点D是线段 AB上靠近 A的三等分点，点E是线段CD的中点，则
（ ）
1 1 AE AB AC AE 1

A． B． AB
1
AC
3 2 6 2
1 1 1 1
C． AE AB AC D． AE AB AC
6 2 3 2
1
7．在 ABC中， sin(B A) ,2a 2 c 2 2b 2 ,则sinC （ ）
3
A. 2 B. 1 C. 3 D. 2
3 2 2 3

8．已知向量 a,b, c满足： b为单位向量，且 a 2 b与a 2 b相互垂直，又对任意 R不等式

a b a b 恒成立，若 c (u 2) a (4 u) b(u R)，则 c 的最小值为（ ）
A.4 B. 5 C. 6 D.7
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二、多项选择题:本题共 3个小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
2
9．已知复数 Z ，则下列说法正确的为（ ）
1 i
A. Z 2 B. Z 2 2i C. Z 1 i D. Z在复平面上对应的点在第四象限
10．在 ABC中，已知 a：b： c 7：5：3，下列结论中正确的是（ ）
A．这个三角形被唯一确定 B． ABC一定是钝角三角形
C． sinA： sinB： sinC 7 15 3：5：3 D．若b c 8，则 ABC的面积是
2
11．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，下列命题正确的是（ ）

A B AC

A．若 BC 0，则 ABC为等腰三角形

AB AC
B．若b 3,a 4,B 45 ，则此三角形有两解
C．若 a cosA b cosB，则 ABC为等腰三角形
D 3 2 2．若 a b c cosA cosB ，且 c 1，则该三角形内切圆面积的最大值是 π
4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
12．三个平面最多将空间分成 个部分．

13 b．已知a，b为平面向量，b 2，若 a在b 方向上的投影向量为 ，则 a b b .
2
14．一个棱长为 2 的正四面体盒子内部放置了一个正方体，且该正方体在铁盒内能任意转动，
则该正方体棱长的最大值为 _.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分 13分）
a

已知向量 1，2 ，b 4， 3 .

（1）若向量 c / /a，且 c 2 5 ，求 c的坐标；

（2）若向量 a kb 与 a kb互相垂直，求实数 k的值.
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16．（本小题满分 15分）
在 ABC中， sin 2C 3 sinC ．
（1）求 C ；
（2）若b 6，且 ABC的面积为6 3，求 ABC的周长．
17．（本小题满分 15分）
如图，在正方体 A1B1C1D1 ABCD中，E是DD1的中点.
（1）求证： A1C1 //平面 ACE；
（2）设正方体的棱长为 1，求三棱锥B AEC的体积．
18.（本小题满分 17 分）
在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，若D是 AC边上的一点，且
AD :DC 1: 2,BD 1.
（1）若 AB : AD 2 :1时，求 ABC面积的最大值；

2sin A sinC CA CB
（2）若
sinC BA BC
①求角 B的大小；
②当 a 3c取得最大值时，求 ABC的面积.
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19.（本小题满分 17分）
1712年英国数学家布鲁克 泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来
逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算，函数拟合，计算机科学上有着举足轻重的作
用。如下列常见函数的 n阶泰勒展开式为：
2 3 n
ex 1 x x x x 2! 3! n!
3
sin x x x x
5 2n 1

3! 5! ( 1)
n x
(2n 1）!
x2 x4 x2nncos x 1
2! 4! ( 1) (2n)!
其中 n! 1 2 3 n，读作 n的阶乘。
1748年瑞士数学家莱昂哈德 欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式，即
欧拉公式ei cos i sin ei ，特别的欧拉恒等式 1被后世称为“上帝公式”。欧拉公式
建立了复数域中指数函数与圆函数（正余弦函数）的关系，利用欧拉公式还可以完成圆的 n等
n n
分，即棣莫弗定理 r(cos i sin ) r (cosn i sin n )的应用.
（1）请写出复数 Z 1 i的三角形式，并利用泰勒展开式估算出 e的 3阶近似值（精确到 0.001）；
（2）请根据上述材料证明欧拉公式，并计算 cos(i)与sin(i)；
（3）记 Z 3 1 cos0 i sin 0，由棣莫弗定理得
3
r(cos i sin ) 3 r3 (cos3 i sin 3 ) cos0 1 i sin 0 ，从而得 r (k Z )，复数
3 0 2k
Z1 cos
2 i sin 2 1 3 i，Z 2 cos
4 i sin 4 1 3 i，Z3 cos
6
i sin 6 1
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3
我们称其为 1在复数域内的三次方根.若 X i (i 1,2,3,4,5,6)为32在复数域内的6次方根.
求 X i X j 取值构成的集合，其中i, j 1,2,3,4,5,6 .
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参考答案
1——8 BDCDABAC
9—11 ACD BC ABD
2
12：8 13：-2 14：
3
15：（1）（6分）

解：设 c x，y ，

因为 c / /a ， a 1，2 ，所以 2x y ，-------------------------------2 分
c 因为 2 5 ，所以 x2 y2 20 -------------------------------------4 分
x 2 x 2
解得 或 ，--------------------------------------------5 分
y 4 y 4
c 所以 2，4 或 c 2， 4 -----------------------------------------6 分
（2）（7 分）

因为向量 a kb 与 a kb 互相垂直
a 所以 kb a kb 0 ，-----------------------------------------8 分
a

即 2 k 2b 2 0

而 a 1，2 ， b 4， 3 ，所以 a2 5，b 2 25 ，----------------10 分
因此 5 25k 2 0 ，
k 5解得 ------------------------------------------------------13 分
5
16. （1）（7 分）
解： sin 2C 3 sinC ，由正弦的二倍角公式得 2sinC cosC 3 sinC ，--3 分
3
因为 ∈ 0， ， ≠ 0，所以 cosC ，------------------------6 分
2

所以 C ； ---------------------------------------------------7 分
6
（2）（8 分）
1
因为 S ABC 6 3 ，所以 ab sinC 6 3 ， a 4 3 ，--------------10 分2
由余弦定理 c2 a2 b2 2ab cosC ，得 c 2 3，-----------------------13 分
所以 ABC 周长为 6 3 6 .-------------------------------------------15 分
17. （1）（7 分）
证明：因为在正方体 A1B1C1D1 ABCD 中， AA1 //CC1， AA1=CC1，-------2 分
所以四边形 AA1C1C为平行四边形，所以 A1C1 //AC，-------------------------4 分
又因为 A1C1 平面 ACE， AC 平面 ACE，------------------------------6 分
所以 A1C1 //平面 ACE .---------------------------------------------------7 分
（2）（8 分）
1
因为正方体的棱长是 1，E 是DD1的中点，所以 ED ，-----------------9 分2
1 1
三角形 ABC 的面积 S 1 1 ，---------------------------------------12 分
2 2
1 1 1 1 1
三棱锥 B AEC的体积VB AEC VE ABC S ED .---------15 分3 3 2 2 12
18. （1）（6 分）
2+1 2 1
解：在 1中， = ， = ， = 1，所以 = 9
3 2
，
3
2 3 5 1
又因为 = 1 = ，所以 = ，因此 = 2.--------------------------2 分 1 2 4 3
1 3 5 1
2 3 5 2
所以 2 4 2 = = 1 2 = 1 --------------------------3 分2 4 4 4 4
= 3 9 2 1 1 1 2 = 1 9 2 1 9 9 2 ≤ 1 16 = 1 ----------5 分
4 4 4 4 4 4 4
9
当且仅当 2 1 = 9 9 2，即 = 2 5时取等。-----------------------------6 分
4 4 3
说明：若借用阿波罗尼斯圆来分析点 轨迹，获得面积最大的几何法可酌情给分。
2 =
2
（2）（4 分）因为

，所以 = = ，---------8 分

所以得 2 = ，即 2 = ( + ) = ，
因为 ∈ 0， 1 ， ≠ 0，所以 = ，即 = . ------------------------10 分
2 3
（3）（7 分）
在 中， = ， = ， = 1 ， = 2 ， = 1.
3 3
所以有 = 1 + 2 ，两边平方得 2 = 1 2 + 4 2 + 4 ，
3 3 9 9 9
1 = 1即 2 + 4 2 + 2 ，---------------------------------------------12 分
9 9 9
1 1 2 1
变形为 + + 2 = 1，
3 3 3
1 + 1 =
3 3 = 3 令 1 ， 所 以 ， 故 + 3 = 2 3 + 3 = = = 3 3
3
21 2 3 + 3 = 21 + ，---------------------------------------------------14 分
21 21
其中 = 2 3， = 3 ，θ ∈ 0,2 ，此时 + 3 = 21 + ≤ 21
21 21
当 + = 1 时，取最大值，此时 = = 2 3， = = 3 ，
21 21
= 3 = 6
即 21 ，-----------------------------------------16 分
= 3 3 = 3
21
此时 1的面积为 = =
3 3
.--------------------------------17 分
2 14
说明：若采用再构三角形等其它方法可酌情给分。
19. （1）（4 分）
解： = 1 + = 2 + ---------------------------------------------------------2 分
4 4
≈ 1 + 1 + 1 + 1 = 2 2 ≈ 2.667---------------------------------------------------------4 分
2 6 3
（2）（7 分）
由 的 2n + 1阶泰勒展开式，即
2 3 2 2 +1 = 1 + + + + + + + ，用 替换其中的
2! 3! 2 ! 2 +1 !
2 3 4 5 2 2 +1
得 = 1 + + + + + + + + + -------------------------6 分
2! 3! 4! 5! 2 ! 2 +1 !
= 1 +
2
+
4 2 3 5 2 +1+ + + + + + + + +
2! 4! 2 ! 3! 5! 2 +1 !
2 4 2 3 5 2 +1= 1 + + + 1 + + + + + 1 + ----7
2! 4! 2 ! 3! 5! 2 +1 !
2 4 2 3 5 2 +1= 1 + + + 1 + + + + + 1 +
2! 4! 2 ! 3! 5! 2 +1 !
= + ------------------------------------------------------------------------------------9分
+
由 = +
=
，可得
2
=
，
=
2
2 2 1 2 2
= + = + =

=
1 1= 所以 ， .-----------------11 分
2 2 2 2 2
（3）（6 分）
5 5
由题意记 = 26
+ ， = 26
+ ，
3 3 3 3
其中 ， ∈ 1，2，3，4，5，6 ，
5
= 2 则 6 +

3 3 3 3
5 2 2
所以 = 26
+
3 3 3 3
5 2 2
= 2 + 2
2 2
6 + + 2
3 3 3 3 3 3 3 3
5
= 2 2 2 6 +
3 3 3 3
5
= 26 2 2 ---------------------------------------------------------------------------13 分
3
因为 5 ≤ ≤ 5，且 ∈ ，
同时又考虑到 = ，
所以 取值只考虑 0，1，2，3，4，5.------------------------------------------------------------14 分
5 5 5 5
所以 = 26 2 2 = 26，或者
2
6 6 ，
3 = 2 2 2 = 2 33
5 11 5 5
或者 = 26 2 2
3 = 2 6，或者 = 26 2 2
4 = 26 3，
3 3
5 5 5
或者 = 26 2 2
5 = 26，或者 = 26 2 2 0 = 0-------16分3
5 5 11
因此综上所述：集合为 0，26，26 3，2 6， .-------------------------------------------------17分